(完整word版)全等三角形证明提高题

1、全等三角形提高题精选全等三角形是能够完全重合的两个三角形， 它们的对应边相等，对应角相等。对于某些 竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。一、与线段相等有关的竞赛题例1(成都市初二数学竞赛题)如图】，PE。求证：AC = AB。简证：连 AP。因为/ PDA =ZPEA = 90, PD = PE, 所以Rt PDA 也Rt PEA ( HL )。 所以 AD = AE。因为Z1=90 -ZCAB=Z2,所以Rt ACE 也Rt ABD (AAS )。所以 AC = AB。图2AC=BC,ZACB=90,ZA 的平分线 AD1交 BC 于点 D， 过点 B 作 BE

2、 丄 AD 于点 E。 求证： BE = AD。2简证：延长 BE、AC 交于点 F。因为Z1=Z2,AE=AE, ZAEB=ZAEF=90,所以 AEB 也厶 AEF (ASA )。1所以 BE = FE= BF。2因为Z3=90-ZF=Z2,BC=AC, 所以Rt BCFABC 的两条高 BD、CE 相交于点 P,且 PDPA = PA,图1例2(天津市初二数学竞赛题)如图2,也Rt ACD ( ASA )。1所以 BF = AD , BE = AD。2二、与角相等有关的竞赛题例3(赣州市初三数学竞赛题)如图,ABC中，ZACB = 90, AC = BC , BD 是中线， CE丄BD于

3、点E,交AB于点F。 求证：ZADF=ZCDE。简证：过点 A 作 AG 丄 AC 交 CF 的延长线于点 G。因为Z1=90 -Z3=Z2,AC=BC,所以Rt CAG 也Rt BCD (ASA )。所以 AG = CD = AD ,ZG=ZCDE。因为Z4=45=Z5,AF=AF,所以 ADF 也厶 AGF (SAS )。所以/ ADF=ZG=ZCDE。简证：过点 C 作 CF 丄 AD 交 AD 的延长线于点 因为Z2=Z3,AC=AC,所以Rt ACF 也Rt ACE (AAS )。所以 CF = CE , AF = AE。因为 AD + AB =2AE , AB = AE + EB

4、,所以 EB = AE AD。因为 FD = AF AD ,所以 EB = FD。所以Rt CEB 也Rt CFD ( SAS )。所以/ ABC=Z5。所以/ ADC+ZABC= ZADC+Z5=180。全等三角形（竞赛题选讲）【例题讲解】例题 1 .（第 17 届江苏省竞赛题）如图 17 -1 所示，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分/ BAD , AB AD，下列结论正确的是（）A. AB-ADCB-CDC.AB -ADvCB -CD小关系不确定图4ABCD 中，AC 平分/ BAD , CE 丄 AB(AD + AB )。求证：/ ADC+ZABC = 180。F。图3例4(上

5、海市初中数学竞赛题)如图4,四边形1于点 E， AE =2B.AB -AD=CB - CDD . AB -AD 与 CB - CD 的大A【解密】【解密】 在 AB 上截取 AE = AD,利用角平分线翻折构造 全等三角形.在BCE中，运用三边关系比较相关线段的大小.【解】【解】 At由/AECADC.得EC = CD,在甘EC中*BEBC-EC即AB-ADCBCD.【探密】【探密】当面临以下惜况时，常需要构造全等三角形：(D 从条件出发*无法证明图形中的三角形全等*(2)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形.例题 3.如图 17 -3 所示，/ B = 2/C, AD 丄 B

6、C 于 D，求证：AB + BD= CD .【解密】【解密】 建长DB于吏BE = AB.连结AE.【解【解】 延长DE至E,使BE = AB.连结A /ABC = 2ZE = 2ZC,即ZC = ZE.又叮ADBCf故在ACD与 AADE 中，AD = AD,JzADC =ZADE,，zc = ZE,二ADC 旦ADE,故CD= DE.而DE = DE + BE = BD + A吕,AB +BD -CD. ”例题 4.如图 17 -6 所示，已知 ABC 中，AD、BE 既是 ABC 的角平分线，又是ABC 的高，试判断厶 ABC 的形状.【解【解密】密】 由于 AD 既是ABC的角平分线，

7、又是ABC的高，因此AED仝ACD,可得 AB=AC,同理可得 A 出=_ ” CB,(Ml 丁AD既是ABC的角平分线，又是ABC的高，:.ZBAD = ZCAD, ZADB = ZADC = 90：ZBAD = ZCADt在厶ABD与 4ACD中 ”AD =AD.ADB =J/ADC,A AABD AACD, AAB - AC -同理可得AB- CB. AAB = AC CB.:A AABC 是等边三角形.【探密】对于文字题，一般先分清题设、结论”画出图形，再结合图形写出“已如 S “求(或求证严严解(或证明)t例题 5.如图所示，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90. CD 丄 A

8、B，垂足为 D , AF 平分/CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,且 EG / AB 交 CB 于 G.求证：CF = GB.【解密】因为 AF 是ZBAC的角平分线，所以可把ACF沿 AF 翻折，得下面通过证明箜FH& 得CG(解】 过 F 作FH 丄垂足为 H- A.ACF = AIIF- 90J在 ACAF 与HAF 中，rZACF = ZAHF Z.CAF= ZHAF,AF = AF,:.ACAF 竺 AHAF.二CF = HF.1ZACD + ZCAB = 90V ZACB = 90 A Z.CAE +Zfi = 90 AACD =ZB、:Z1 = ZACD 十 Z

9、CAE, Z2 = Z + ZBAF, AZ1 = Z2.代CE = CF,ACE FH.VEG /AB,AZCGE = ZCEG= ZCDB = 90：(ACEG = ZFHB= 90在厶CEG与厶FHB中”ZCGE = Z 乩ICE=FH,二 ACEG 旦FHE* 讥CG - FB.二CG一FG = FB一 FG,即 CF = GR.例题 7.如图所示， ABC 的/ A 的平分线为 AD , M 为 BC 的中点，AD / ME .1求证：BE = CF= (AB+AC).=FB,从而可证CF = GB.【解密】因为 M 是的中点；所以延长到吏 GM =FM.连结则可 乜造BGM 与UF

10、A1 全等，从而BG = CF.再研ABGE中的线段关系*【解】【解】 延长 FM 至 G,使MG = MF,连结BGr在AEGM与 ZiCFM 中，GM = FM*1 ZBMG = ZCMF,BM = CM二 ABGM 空CFM.BG= CF, ZG = Z3, 丫 Zl = Z2,AD /EM,Z3 =上务二 Z1 =乙E,Z2 =今仁ZG = ZE =Z4.二BG = BE. AE = AF.:.2BG =AB+AE + CF=ABrAC 即BE = CF =y（AB 十AC）.【练习巩固】r （武汉市选拔赛试题）如图 17-13 所示丫 A 在 DE 上，F 在 AE 上，且AC =

11、CEfZ1 =Z2 = Z3.则 DE 的长等于ADf下列结论中正确的是.（）A.AB-ADCB-CDB+AB - AD CB-CDCAB -ADCB -CDDABAD与CBCD的大小关系不确定.3. 山东省竞赛如图 L7-15 所示，在 ZVL 目匸中，=AC 与 2AB 之间的关系是_-.（）A.AO2AB K AC = 2ABC.AC2ABD,ACAEEPB.AEAPEPDEPAEAPA.，A图17-17A. 1B. 2C. 3D. 4【答案与提示】2. A提示：在ABJz截取点 E,使得AEAD,则厶AECAADC,A EC = CD玉D提示：延feCH 至 E 点，使HE AB.连结

12、 AE.4.A 提示*是律命题”、是假命题.鼠 B 延长 AB 至 E,使AE = AC,连结 DE，可证AEDACD.A ZC- ZE = 30 笃再证BD = EE.ZLBDE二 ZE = 30% ZABD - 60。6.C 提示：满足条件的三角形为：(4. 4t40, (4,4, 3). 3, 1),2, 2), (2, 2, 2)+(2, 2, 1), (b b 1)+7.C 提示：AFC 旦 zlDCA* ABCD ADBA,ABO 空DCO*AOE 仝DgAAOE 空ACOF,AADE也 ACBF, ADCF 旦 ABAE.& A 由EE = jBD- DC,有 ABEC

13、ACDA.则 ZAPE = ZPAC + ZCf =CD + ZACP= 60：又ZF60 = ZAPAEEP.丄 D 提示：由厶ACDABCF.AD平分BAC及 AD_LE,得正确.【证明与计算】10.如图 17 28 所示， ABC 中；AC = BC,ZACB = 90 ,D 是 AC 上一点，且 AE 丄BD 的延长线于 E,又 AE =丄 BD.求证：BD 是/ ABC 的平分线.2提不：延长 AE 及 BC 交于点 F,证 RtAAEB RtAFEB.11.如图所示，已知 AB = CD = AE = BC+DE = 2，/ ABC =ZAED = 90,求五边形 ABCDE的面积

14、.提示：延长 DE 至 F,使 EF = EC,连 AC、AD、ZF,可证明ABCAAEF,AACD 旦AFD,故务边糾眈证= 4.18、如图，等腰直角三角形 ABC 中，/ ACB = 90, AD 为腰 CB 上的中线,CE 丄 AD 交 AB 于 E.求证/ CDA = / EDB .19、在 Rt ABC 中，/ A/ BC 交 AB 于 G,求证：20、如图，已知 ABC 是等边三角形，/ BDC = 120o 说明 AD=BD+CD 的理由21、如图，在 ABC 中，AD 是中线，BE 交 AD 于 F 且 AE=EF，说明 AC=BF 的 理由22、女口图，在 ABC 中，/ A

15、BC=100o，AM=AN,CN=CP,求/ MNP 的度数23、如图，在 ABC 中,AB=BC,M,N 为 BC 边上的两点，并且/ BAM= / CAN,MN=AN,求/ MAC 的度数.AE =90p24、如图，已知/ BAC=90o,AD 丄 BC, / 仁/2,EF 丄 BC, FM 丄 AC,说明 FM=FD的理由25、用两个全等的等边三角形 ABC 和厶 ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合，两边分别 与 AB、AC重合.将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD

16、相交于点 E、F 时（如图所示），通过观察或测量 BE、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 E、F 时（如 图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。26、（ 1）如图，在正方形一边上取中点，并沿虚线剪开，用两块图形拼一拼，能 否拼出平行四边形、梯形或三角形？画图解释你的判断 （2）如图（2）E 为正方形 ABCD 边 BC 的中点，F 为 DC 的中点，BF 与 AE 有 何关系？请解释你的结论。27、如图A、B、C、D四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件, 其余一个作为结论，构成一个真命

17、题，并进行证明. NACE=ND,AB=CD, AE = BF，NEAG=FBGF，D28、 直线CD经过BCA的顶点C, CA=CB . E、 F分别是直线CD上两点， 且 .BEC =/CFA=4(1) 若直线 CD 经过 BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问 题：1如图 1,若/BCA = 90/ = 90：，则 EF _ BE-AF (填 “” ”或“号)；2如图 2,若0_BCA 180，若使中的结论仍然成立，则 与.BCA 应满足的关系是_；(2)如图 3,若直线 CD 经过 BCA 的外部，. /BCA，请探究 EF、与 BE、AF三条线段的数量关系，并

18、给予证明.如图， ABC 中，/ ABC=45 ，CD 丄 AB 于 D，BE 平分/ ABC，且 BE 丄 AC 于E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G1(1) BF=ACCE=2BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何30、如图，ACB 和厶 ECD 都是等腰直角三角形，A，C，D 三点在同一直线上，连结 BD， AE， 并延长 AE 交 BD 于 F.求证： ACEBCD (2)直线 AE 与 BD 互相垂直图 2图 3知:图131、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC , BF 是/ ABC 的平分线，AF / DC,连 接AC、

19、CF,求证：CA 是/ DCF 的平分线。32、如图甲，在 ABC 中，/ ACB 为锐角点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF .解答下列问题：D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF、BD 之间的位置 ，数量关系为D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？第 28 题图（2）如果 AB 工 AC,/ BAC 工 90q 点 D 在线段 试探究：当 ABC 满足一个什么条件时， 相应图形，并说明理由.（画图不写作法）33、如图 1,四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点

20、. AEF”6，且EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF .经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M，连接 ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以 AE 二 EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2,如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除B, C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立， 你认为小颖的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（1）如果AB=AC，/BAC=90o.1当点 关系为2当点BC 上运动.CF 丄 BC（点 C、F 重合除外）？画出图甲（2）小华提出：如图 3,点