30知识讲解_基本不等式_提高

1、基本不等式【学习目标】1. 理解基本不等式的内容及其证明 2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题【要点梳理】要点一：基本不等式1.对公式aa + bab < 的证明 b2 2ab及-b , ab的理解2(1) 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求 a,b都是正数;(2) 取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是当且仅当a b时取等号22 b2.由公式a b 2ab和ab可以引申出常用的常用结论2 -a 2（ a,b同号）；a b b a 2（ a,b异号）；a b2 a ba2 b2卡 a b 2 a2 b2 厂 ab2 0力 0）或

2、ab （二）2 （a 0,b 0）a b要点诠释:a2 b2 2ab可以变形为:aba2 b2 a b2 ， 2< ab可以变形为:ab号）2要点二：基本不等式方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形设直角三角形的两条直角边长为a、b ,那么正方形的边长为-.a2 b2 .这样，4个直角三角形的面积, 2 2的和是2ab，正方形ABCD的面积为a b .由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以:a2 b2 2ab .当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有a2 b2 2ab.得到结论：如果 a,b R+，那么a2 b2

3、2ab （当且仅当a b时取等号“=）特别的，如果a 0, b 0,我们用.a、. b分别代替a、b，可得：如果a 0，b 0,则a b 2 , ab，（当且仅当a b时取等号“=）.通常我们把上式写作：如果a 0，b 0, , a 乞上，（当且仅当a b时取等号“=）2方法二：代数法2 2 2/ a b 2ab （a b） 0,当 a b时，（a b）20 ;当 a b时，（a b）20.所以（a2 b2） 2ab,（当且仅当a b时取等号“=）.要点诠释：特别的，如果a 0, b 0,我们用.5、. b分别代替a、b，可得:如果a 0, b 0,则a b2 ab ,（当且仅当a b时取等号

4、“=”.通常我们把上式写作：如果a0, b 0, . aba b,（当且仅当a2b时取等号“=)”.要点三:基本不等式ab丈虫的几何意义2如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC a,BCb，过点C作DC AB交圆于点D,连接AD、BD.易证 Rt ACD Rt DCB，那么 CD2 CA CB，即 CD ab .这个圆的半径为 红一，它大于或等于CD，即 王一. ab，其中当且仅当点 C与圆心重合，即a b2 2时，等号成立要点诠释：a b1在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称、ab为a,b的几何平均数.因此基本不等式可叙2述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2. 如果

5、把 ab看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以2叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项要点四：用基本不等式、，石b求最大(小)值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值要点诠释：1 两个不等式：a2 b2 2ab与-b , ab成立的条件是不同的，前者要求a, b都是实数，后者2要求a, b都是正数如(3)2 ( 2)2 2 ( 3) ( 2)是成立的，而(3) ( 2 2

6、 .(3) ( 2)是不成立 2的.2两个不等式：a2 b2 2ab与 乞卫 .ab都是带有等号的不等式，对于当且仅当时，取“=”2号这句话的含义要有正确的理解 当a=b取等号，其含义是 a b. ab ；2仅当a=b取等号，其含义是a b.2综合上述两条，a=b是-_-, ab的充要条件23 基本不等式的功能在于和积互化”若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的和式”中的各项的 积”为定值，则 和”有最小值，对于给出的积式”中的各项的 和”为定值，则 积”有最大值4 利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： 各项都是正数； 和(或积)为定

7、值； 各项能取得相等的值5 基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； 在定义域内，求出函数的最大或最小值； 写出正确答案【典型例题】a b 类型一：对公式 a b 2ab及 x ab的理解2例1. a 0 , b 0，给出下列推导，其中正确的有 (1)ab的最小值为1 1（2）（a b）（）的最小值为4 ；a b1（3）a的最小值为 2.a 4【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”【答案】（1）；（

8、 2），三个条件缺一不可等号）【解析】（1)： a0 , b 0，二 a.ab 2ab2.2（当且仅当a b子时取0，(ab)(-a1)b4 （当且仅当a b时取等号）.0，a4 2 (a 4)（当且仅当1,3时取等号） a 0 ,与 a3矛盾，上式不能取等号,【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件:正”二定”三取等，缺举一反三:【变式1】下列结论正确的是（）A .当 x>0 且 xmi 时，lg x1lg xB .当x>0时,1C .当x2时，X的最小值为2X1D .当0<xW2时，X 一无最大值X【答案】B2a x【变式2】(2016 上海模拟)已

9、知函数f(x) , (a> 0) , x ( 0,b),则下列判断正确的是 ()xA .当b a时，f (x)的最小值为 2. aB .当0b 、.a时，f (x)的最小值为2 . aC .当0a b2b . a时，f (x)的最小值为bD .对任意的b> 0, f (x)的最小值均为2、a【答案】a x2af (x)xxx当 ba 时，f (x)2、, a,当且仅当x 一，即x . a时取等号；x当0 b. a , y=f (x)在(0, b) 上单调递减,a b2 f(x)，故f (x)不存在最小值； b故选A。类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知a、b、c都是正数，求证

10、：(a b)(b c)(c a) 8abc【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。【解析】 a、b、c都是正数 a b 2.0b 0 (当且仅当a b时，取等号)b c2. bc 0(当且仅当bc时，取等号)c a2 ca 0(当且仅当ca时，取等号) (ab)(b c)(ca) 2 ab 2bc 2 ca 8abc (当且仅当 a b c时，取等号)即(ab)(b c)(ca) 8abc.【总结升华】1. 在运用 abab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质，进行变形22. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号3. 在

11、利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式举一反三：【变式】已知x、y都是正数，求证：（x y）（x2 y2）（x3 y3） 8x3y3.【答案】 x、y 都是正数， x 0, y 0,x20 ,y20 ,x30,y30x y 2 xy 0 （当且仅当x y时，取等号）x2 y22、x2y20 （当且仅当x y时，取等号）x3 y3 2. x3y3 0 （当且仅当x y时，取等号） (x y)(x2 y2)(x3 y3)2 xy Z x2y2 2、x3y3 8x3y3（当且仅当x y时，取等号）即(x y)(x2y2)(x

12、3 y3)8x3y3.例3.已知4a 3，求证：a 3【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法【解析】4 a 4 (a 3) 32a 3 a 3a43(a 3) 3 2 打 3 74（当且仅当a 3即a 5,等号成立）.a 3【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明举一反三:【变式1】已知x、y都是正数，求证：1仝2.xy【答案】x、y都是正数， 0y0,yxx y2 lx y 2 (当且仅当-即x y时，等号成立）y x,y xxy【高清课堂： 基本不等式392186例题3】【变式2】已知a > 0, b> 0, c> 0,

13、求证:bc ca ab ,a b c. abc【答案】证明:/ a> 0, b> 0, c>0,bc ac2abc2 2c,abacaba2bc2a,2、bc.bcbcabab2c2b.2、ac- acbccaabb c. aabc类型三：利用基本不等式求最值9例4.求函数f(x) 4x(x 5)的最小值.x 5【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为(x-5 )的倍数.【解析】T x 5，二x f(x) 4(x 5)x 5202 ；4(x 5)丄Vx 52032(当且仅当4(x 5)13x 时，函数2【总结升华】故当f(x)4x53时，取等号)29( x

14、5)的最小值为 32.x 52.利用基本不等式求最值时、亠a ” ，应注意一正 ”定”三相等”的条件.举一反三：【变式1】已知x0，当x取什么值时，函数f(x)x2 卑 的值最小？最小值是多少?x【答案】x0, 2 x0 , f (x) x2爭2*：22 18(当且仅当2 x812 x即x3时，取等号)0 ,AO, B 0)的函数的最值可以用基本不等式求最值;1.形如f (x)Ax 旦(xx故当x3时，x281的值最小为x18.【变式2】已知求 f(x) 204x16的最大值.x【答案】0 ( x)2(x)上x4 （当且仅当4-，即x2时，等号成立）x f(x) 20 4( x)4-x204

15、（当且仅当 x4，即x2时，等号成立）x故当x 2时，f （x）的最大值为4.6x=4,y=12时，x+y取最小值16.方法二:y> 0,1 (y9)19例5.已知x > 0, y> 0,且1，求x+y的最小值.x y【思路点拨】要求x y的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】方法一：.191, x y(x y) , x=4, y=12910上9xxyxyxy/ x > 0,y> 0,y处2 y9x 6xy xyy 9x（当且仅当，即y=3x时，取等号）x y/ y>9,. y 9&g

16、t;0,9r99（当且仅当y 9，即y=12时，取等号，此时 x=4）y 9当x=4, y=12时，x+y取最小值16.【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求举一反三：【高清课堂： 基本不等式392186例题1】1 1【变式1】已知x>0, y>0，且2x+ y= 1，则一 一的最小值为 ；x y【答案】3 22【变式2】（2015福建文）若直线-y 1（a0,b 0）过点（1 , 1），则a+b的最小值等于（）a bA. 2 B . 3 C . 4 D . 51 1【答案】由已知得一一1 ,a b则 a b (a b)(一 一)2 b

17、a,a bab因为a>0,b> 0,所以ba2、ba2,ab:ab因为a>0,b> 0,所以ba2、ba2,ab ab故 a+b>4,当ba即a=b：=2时，取等号.ab，例6.已知a, b0,（1 ）若ab 4,求 a b的最小值；（2）若a b 4,求ab的最大值.【解析】(1)方法-:/ a,b0且ab4, ab2ab4，即ab4 （当且仅当a b 2时取等号） ab2, ab的最小值为4.方法二/ a,b0且ab4,-ab4a -a2侶4,即a b 4（当且仅当a b 2时取等号）2 , a b的最小值为4.方法一：a, b 0 , 4 a b 2 . a

18、b ,即4 ab （当且仅当a b 2时取等号） a b2 , ab的最大值为4.方法二：a,b 0， ab2 , ab的最大值为屮4,4.（当且仅当a b2时取等号）方法三： a,b 0, a b2- ab a(4 a) a 4a2(a 2)44 （当且仅当a2时取等号） a b 2 , ab的最大值为4.【总结升华】1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值，即若a, b，且a b M , M为定值，则ab4，等号当且仅当a2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值，即若 a,bR，且ab P , P为定值，则a b 2-P，等号当且仅当- P时成立.举一反三:【变式1】已知xxy 9，求

19、 xy的最小值.【答案】 x 0 ,xy由 x y 2 xy等号当且仅当 x y3时成立）故当x y 3时，xy的最小值为6.【变式2】已知xx y 8，求xy的最大值.【答案】解法一：/ x 0, xy x(8 x)(y)216（当且仅当x 8 x即x 4时，等号成立）故当x 4时，xy的最大值为16.【解析】由题意可得解法二： x 0, y 0, 8 x y 2 xy,即.xy X y -4，可得xy 16 ,(当且仅当x y 4时，等号成立)v 2 2 故当x 4时，xy的最大值为16.类型四：利用基本不等式解应用题例7.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y (单

20、位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为 8m2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？1 y 2x- y28 x_4x(0 x4 2).曰是，框架用料长度为l 2x2y(2兰2：16(3扬4 6 4三.当(28 4 2时等号成立.此时,x 2.343, y 2 22.828.故当x约为2.343 m , y约为2.828 m时用料最省.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行:(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3) 在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4) 正确写出答案.举一反三：其他各面用【变式1】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙, 钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积 最大？若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?【解析】设每间虎笼长为 x m,宽为y m,则由条件知4x+ 6y= 36，即2x+ 3y= 18.设每间虎笼面积为 S,则S= xy.由于 2x 3y 2 2x 3y 2、6xy ,2, 6xy 18，得 x