35知识讲解_空间直角坐标系_基础

1、空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画 点的位苣.通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公 式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系从空间某一左点0引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz,点 0叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确泄一个坐标平面，分别是xOy平 面、yOz平面、zOx平面.2. 右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的

2、正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组（x, y, z）来表示，有序数组（x, y, z）叫做点A的坐标，记作A（x, y, z）,其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1. 空间宜角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确左平而的平行平而，此平而交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已 知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点（0,0,0）；轴上的点的坐标分别为（x,O,O）,（O,y,O）,（O,O,z）：坐标平而xOy, yOzxOz 上的点的坐标分别为（x,y,0）,（0,y

3、,z）,（x,O,z）.2. 空间倉角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点P（x,y,z）,则有点P关于原点的对称点是片（一x,y,z）:点P关于横轴（x轴）的对称点是P、（x,y,乙）：点P关于纵轴（y轴）的对称点是Py （一兀,，,一乙）；点P关于竖轴（z轴）的对称点是片（-x,-y,z）:点P关于坐标平而xOy的对称点是P5 （x,y,-z）:点P关于坐标平而yOz.的对称点是化（-x, y, z）:点P关于坐标平而xOz.的对称点是片（x, y, z） 要点三、空间两点间距离公式1. 空间两点间距离公式空间中有两点4（召,x,©）,8（吃,力,），则此两点间的距离d =

4、> ABl= Jg 花），+（y】一北）'+G e），特别地，点A(兀”2)与原点间的距离公式为OA = yx2+y2+z22. 空间线段中点坐标空间中有两点4(召，另爲),3(尤2，旳,22)，则线段AB的中点c的坐标为"上I '.I 222 丿【典型例题】类型一：空间坐标系例1.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别是BB】、D】Bi的中点，棱长为1,建立空间直角坐标 系，求点E. F的坐标。（1、1 1 、10，F ,-,11 2丿U 2丿【答案】E【解析】 法一：如图，以A为坐标原点，以AB, AD, AA】所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空

5、间直角坐标系，点E在xOy而上的投影为B (1, 0, 0),1 1 A点E竖坐标为一、：E 1,0, o2 I 2丿F在xOy面上的投影为BD的中点G,竖坐标为1,法二：如解法一所建立空间直角坐标系，VBi (1, 0, 1), Di (0, 1, 1), B (1, 0, 0)E为BB的中点，F为B】Di的中点，岸時'罟卜屈)F的坐标为1 + 0 0 + 1 1 + 1、（1 1 J点评：本题主要考查空间中点的坐标的确肚，关键是建立坐标系找到各个坐标分量。由于正方体的棱 AB, AD, AAi互相垂直，可以以它们所在直线为坐标轴建系。点的各个坐标分量就是这个点在各个坐标 轴上的投影

6、在相应坐标轴上的坐标。举一反三：【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABCDiAiBiCi是单位正方体，N仏 是BB的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标.【答案】0 (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (L 1, 0), C (0, b 0), Di (0, 0,/1 x1), Ai (1, 0, 1), Bi (1, 1, 1), Cj (0 L 1), N (h L )。2例2.在平而直角坐标系中，点P (x, y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1) 关于原点的对称点是P' (x, y)：(2) 关于x轴的对称点是P”(x, -y)；(3) 关于y轴的

7、对称点是P01 (-X, y).那么，在空间直角坐标系内，点P（X, y, z）的几种特殊的对称点坐标为： 关于原点的对称点是P.: 关于横轴（x轴）的对称点是P； 关于纵轴（y轴）的对称点是P）； 关于竖轴（z轴）的对称点是P4: 关于xOy坐标平而的对称点是P5: 关于yOz坐标平而的对称点是P: 关于zOx坐标平而的对称点是P7.【答案】（一x, y, z）（x, y, z） （一x, y, z） （一x, y, z）（x, y, z） （一x, y, z） （x, y, z）【解析】类比平而直角坐标系，在空间直角坐标系有如下结论：Pi（X, y, z）；P2 （x, y, z）；P3

8、（ x, y, z）： ®P4 （ x, y, z）：P5 （x, y, z）：P6 （x, y, z）：P? （x, y, z）.【总结升华】上述结论的证明，可类比平而直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点Pi， 则有PPi的中点为原点。由中点坐标公式即可求出Pi点坐标.上述结论的记忆方法："关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵、 竖坐标变为原来的相反数；关于xoy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反.举一反三：【变式1】（2015春福建厦门期末）在空间直角坐标系Oxyz,点P （1, 2, 3）关于xOy平而的对 称点是（

9、）A. （-1, 2, 3） B. （-1, -2, 3） C. （1, 2, 一3） D. （1, -2, 一3）【答案】C【解析】空间直角坐标系中任一点P Sb, c）关于坐标平面xOy的对称点为RS，c）；由题 意可得：点P（1, 2, 3）关于xOy平而的对称点的坐标是（1, 2, -3）.故选：C.【总结升华】本题考査空间向量的坐标的槪念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记 住某些结论性的东四将有利于解题.空间直角坐标系中任一点P （“，b, c）关于坐标平而xOy的对称点 为人（“，b, c）：关于坐标平面的对称点为4 （一“，b, c）：关于坐标平而xOz的对称点为4

10、 （“， b, c）.类型二：两点间的距离公式例3.空间坐标系Oyyz中，点A在x轴上，点B （1, 0, 2）,且则点A坐标为.【思路点拨】根据点A在x轴上，设点A （a-, 0, 0）,再由AB=y/5结合空间两点距离公式，建立 关于*的方程，解得x值，从而得到点A坐标.【答案】（0, 0, 0）或（2, 0, 0）【解析】点A在x轴上，:可设点 A （x, 0, 0）,又：B （b 0, 2）,且I 1= >/5 ,. 7U-l）2+（O-O）2+（O-2）2 = >/5 ,解之得*0或2,所以点A的坐标为：（0, 0, 0）或（2, 0, 0）；故答案为：（0, 0, 0）

11、或（2, 0, 0）.【总结升华】本题给出X轴上一点到空间两个已知点的距离相等，求该点的坐标，着重考査了空间两 点的距离公式和含有根号的方程的解法.举一反三：【高清课堂：空间宜角坐标系381528知识点3中的例题1】【变式1】在空间中，已知点A(1,O, 1), B(4,3, -1),求A、B两点之间的距离.【答案】IABA3血【变式2 (2016湖南衡阳模拟)四棱锥S-ABCD中，底而边长为2,侧棱长为3, £是侧棱SC的中 点，建立如图所示的空间直角坐标系，试求点A、C、E的坐标.【思路点拨】根据如图所示的空间坐标系，即可求出点A、C. £的坐标.【答案】E(【解析】四

12、棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为正方形，SO丄平而ABCD, SO 丄 AC,VAB=2, SO = >JSC2-OC2 =V32-2=>/7 >点 A(>/l0,0), C(VI,00) 5(0,0,77),E(-¥，o£)例4在正方体ABCDAjBjCtD)中，P为平而AiBQDi的中心，求证：PA丄PB】【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz,设棱长为1,则A(l, 0, 0), Bi (L1), p2 2丿由两点间的距离公式得AP=2I PBJ= =当,IAB,I=712 + 12 =>/2oVIAPP+IPB!I-IAB l2

13、=2, AP丄 PBI 【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比 较，也更体现岀了坐标法解题的优越性.依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间中两点间的距离公式可以求距离、证垂直、求角 度等，为我们提供了新的解题方法.举一反三：【变式1】如下图所示，已知PA丄平而ABCD,平面ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点,【解析】如图所示，以A为坐标原点，分别以AB、AD. AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系，则 A (0, 0, 0),设 B (a, 0, 0), D (0, b, 0), P (0, 0, c),因为 N 分别是 AB、PC 的中点，所以%,0,0