2022年2022年高三数学试题数列的极限

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载数列的极限1.数列极限的定义：一般地,假如当项数n 无限增大时,无穷数列 an 的项 an 无限地趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0）,那么就说数列 an 以 a 为极限 .注： a 不肯定为 an中的项 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.几个常用的极限： （ |q| 1） .lim c=c（c 为常数） ;nlimn1 =0;nlim qn=0n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.数列极限的四就运算法就：设数列an.bn,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 lim an=a、nlim bn=b 时 ,n

2、lim（an±bn） =a±b;n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim（ an· bn）=a· b;nlimnan =bna （b 0） .b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点击双基1.以下极限正确的个数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limn1=0（ 0）nlim qn=0n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 n limn2n3nn = 13lim c=c（c 为常数）n精品学习资料精选学习资料 -

3、- - 欢迎下载a.2b.3c.4d.都不正确解析 :正确 .答案 :b2.lim n（1 1 ）（1 1 ）（ 1 1 ）（ 11）等于n345n2a.0b.1c.2d.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :lim n（1 1 ）（1 1 ）（1 1 ）（ 11）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n345n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= lim n× 2 ×n33 × 4 ××n1 45n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= lim2n=2.nn2答案 :c典例剖析【 例 1】求

4、以下极限：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） limn2n 25n 2n7;（2）7lim （n 2 nn n） ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） lim （2nn 2+ 4+ 2n ）.n 2n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载剖析 :（1）由于分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法就, 可通过变形分子分母同除以n2 后再求极限；（2）因n2n 与n 都没有极限,可先分子有理化再求极限；（ 3）由于极限的运算法就只适用于有限个数列,需先求和再求极限.精品学习资料精选学习资料 - -

5、 - 欢迎下载解:（ 1） limn2n 25n 2n7 =7limn172nn275= 2 .5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） lim（n2nn n） =limnnn 2n= limnn1111n= 1 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（ 3）原式 = lim2462n = limnn1 = lim （ 1+ 1 ）=1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnnn 2nnlim 2n2n7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评述 :

6、对于（ 1）要防止下面两种错误： 原式 = n=1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limn5n27精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 lim （ 2n 2+n+7）、nlim （ 5n2+7）不存在,原式无极限.对于（ 2）n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要防止显现下面两种错误：lim （n 2 nn n ） =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limn2n lim n= =0;原式 = limn2n

7、lim n=不存在 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnnn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于（ 3）要防止显现原式 = limn2+ lim n 2n4+ lim n2n2n =0+0+0=0 这n 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载样的错误 .【例2】已知数列 an为由正数构成的数列,a1 3,且满意 lganlgan1 lgc,其中 n 为大于 1 的整数, c 为正数（ 1）求数列 an的通项公式及前n 和 sn；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）求limn2n 12 na nan 1的值精品学习资料精选学习资料 - -

8、 - 欢迎下载解:（ 1）由已知得an ·an1、 a 为以 a 3,公比为c 的等比数列,就a 3· n 1.n1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 sn3n 311c n c c1c0且c1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）lim2 n 1an lim2 n 13c n 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2nan 1n2 n3c n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 c=2 时,原式当 2 时,原式1 ;4lim

9、n 2 n 13c2 n 1 1 ;c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 3cc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 02 时,原式 =lim13 c n 12 1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n23c c n 122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评述 :求数列极限时要留意分类争论思想的应用.【 例 3】已知直线l :xny=0（ nn * ）、圆 m :（ x+1）2+（y+1）2=1、抛物线:y=（ x1）2、又 l 与 m 交于点 a.b,l 与交于点 c.d,| ab |2求 lim2 .n| cd |精品学习资料精选学习资

10、料 - - - 欢迎下载剖析 :要求limn| ab |2| cd |2的值,必需先求它与n 的关系 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:设圆心m（ 1、1）到直线l 的距离为d、就 d2= nn21 2.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 r =1、|ab|2=4（ 1 d2） =18n.n 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设点 c（x1、y1） 、 d（ x2、y2）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由xnyy x01 2nx2（ 2n+

11、1） x+n=0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x1+x2= 2n1 、 x1· x2=1.n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ xx ） 2=（ x+x ）24x x= 4n1 、（ y y ）2=（ x1 x2 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载122= 4n1 、n4121 2n 212nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 |cd|2=（ x1x2） 2+（ y1 y2）2=41（ 4n+1）（n2+1） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n| ab|28n 58精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

12、下载 lim2= lim22 = lim=2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n|cd |n4n1 n1n11 2 41nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评述 :此题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限,需先求22| ab|、这就要求把握求弦长的方法.|cd |【例4】如数列 an 的首项为a1=1、且对任意n n*、 an 与 an+1 恰精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为方程 x2 bnx+cn=0 的两根 、其中 0 |c| 1、当lim（ b1+b2+bn）n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3、求 c 的取值范畴 .解:第一

13、、由题意对任意n n*、 an· an+1=cn 恒成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an 1an 2= an2 = c1n=c.a · a=a =c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载anan 1a nc n又122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a1、a3、a5、a2n 1、为 首 项 为1、 公 比 为c的 等 比 数列、a2、a4、a6、a2n、为首项为c、公比为c 的等比数列 .其次、由于对任意 n n*、 an+an+1 =bn 恒成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bnbn2 = an 2a

14、nan 3an 1=c.又 b1=a1+a2=1+c、b2=a2+a3=2c、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 b1、b3、b5、b2n 1、为 首 项 为1+c、 公 比 为c的 等 比 数列、b2、b4、b6、b2n、为首项为2c、公比为 c 的等比数列 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 lim（b1+b2+b3+bn）=nlim （b1+b3+b5+）+nlim （b2+b4+）n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= 1c +2c1c1c 3.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 c 1

15、 或 c1. 0|c|1、 0c 1 或 1 c0.33故 c 的取值范畴为（1、0）（ 0、 1 .3评述 :此题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式、即将 bn 的各项和表示为关于c 的解析式 、明显“桥梁”应为一元二次方程根与系数的关系、故以根与系数的关系为突破口.闯关训练夯实基础精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.已知 a.b.c 为实常数,且anlimnbnc =2、climnbn2cn2c =3、就 lim bnan2ccn2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的值为a.2b.3c. 1d.62精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解

16、析 :由anlimnbnc =2、 得 a=2b.c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 limnbn 2cn 2c =3、 得 b=3c、c= 1 b.b3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a =6.can 2ccan2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limncn 2= limanca= cn2=6.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案 :d2.（北京）如数列 an的通项公式为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载na = 32 n1 n 3 n2 n 、n=1、2、就（a +a+

17、a）等于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nlim12n2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.d. 252411b.2417c. 192424精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 n解析 :an=3 n2 n3 n22 n3 n2 n 2 n n为奇数 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 n为偶数 、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 n即 an= n为奇数 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 n n为偶数 . 1 35 2 4 6 a +a +a =（2+2+2

18、+） +（3+3+3+） .12n1112精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n lim （ a1+a2+an） =212 2313 22+9111149= 19 .24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案 :c3.（春季上海）在数列 an 中,a1=3,且对任意大于1 的正整数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n、点（an、a n1）在直线xy3=0上,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limnan= .n1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

19、迎下载解析 :由题意得an a n 1 =3（n 2） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an 为公差为3 的等差数列,a1 =3 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an =3 +（ n 1）·3 =3 n.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an=3n2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 liman=lim3n 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n= limn n13121nn 2nn=3.2n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资

20、料 - - - 欢迎下载答案 :34.（上海 、4）设等比数列 an （ n n ）的公比q=（ a1+a3+a5+a2n 1）= 8 、就 a1= .31 、 且2limn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :q=答案 :21 、2lim（a1+a3+a5+a2n 1）=a1 n114= 8 .a1=2.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. （湖 南 、理8）数列 an 中 、a1=（ a1+a2+an）等于1 、an+an+1=565n 1、n n *、 就limn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.d. 4 252 b.52c. 174精品学

21、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :2（a1+a2+an） =a1+（ a1+a2） +（a2+a3） +（a3+a4）+精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载+（ an 1+an） +an= 15+6256+ 6 + 63n55+ an.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原式 = 1 1 +25+ lim an= 1 （ 1 +3 + lim an） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2511n52510n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an+an+1=6、lim an+ lim an

22、+1=0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5n 1nn lim an=0.n答 案 :c 6.已知数列 an满意（ n 1）an+1=（ n+1）（ an1）且a2=6、设精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bn=an+n（ nn* ） .（ 1）求 bn 的通项公式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）求lim （1nb2+12b3+12b4+12bn）的值 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:（ 1）n=1 时,由（ n1） an+1 =（n+1）（ an 1）、得 a1=1.n=2时, a2=6代入 得a3=15. 同 理a4=

23、28、再 代 入bn=an+n、 有b1=2、b2=8、b3=18、b4=32、由此猜想bn=2n2.要证 bn=2n2、只需证 an=2n2 n.当 n=1 时, a1=2×12 1=1 成立.假设当n=k 时, ak=2k2k 成立 .那么当n=k+1 时,由（ k 1）ak+1 =（ k+1）（ak 1）、得 a k+1 = k1k1（ ak 1）= k1 （ 2k2k1） = k1 （ 2k+1）（ k 1）=（ k+1）（2k+1） =2k1k1（ k+1） 2（ k+1）.当 n=k+1 时, an=2n2 n 正确,从而bn=2n2.精品学习资料精选学习资料 - - -

24、 欢迎下载（ 2） lim （1nb2+12b3+12bn） = lim （2n1 + 1+6161）2n 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= 1lim 1+2 n131+24 n11n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= 1lim 11 + 1 1 +11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 n324n1n1= 1lim 1+ 1 1 1 = 3 .4 n2nn18培育才能7.已知数列 an . bn 都为无穷等差数列、其中a1=3、b1=2、b2 为a2与

25、 a3 的等差中项 、且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limnan = 1 、求极限bn2lim（n1a1b1+1a2 b2+1）的值 .an bn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: an . bn 的公差分别为d1.d2. 2b2=a2+a3、即 2（ 2+d2）=（ 3+d1） +（3+2d1） 、 2d23d1=2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 limnan = lim3 bnn2 n1d1 n1d 2= d1d 2= 1 、即 d2=2d1、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 d1=2、d2=4. an=a1+（ n 1

26、）d1=2n+1、bn=b1+（ n 1）d2=4n2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1=anbn2n11 4n= 1 （1242n1）.12n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原式 = limn1 （ 1142n） = 1 .14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.已知数列 an. bn 都为由正数组成的等比数列,公比分别为p.q、其中 p q 且 p1、q 1、设 cn=an+bn、sn 为数列 cn 的前n 项和,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求 limnsn.sn 1精品学习资料精

27、选学习资料 - - - 欢迎下载a 1p n b 1q n 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:sn=1+1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1p1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a11sn1p n pb1 11q n q.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sn 1a1 11p n 1 pb1 11q n 1 q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 p 1 时, pq0、得 0q 1、上式分子.分母同除以pn 1,p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 1p n 1

28、pb1 1p n 1qnp n 1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载snsn 11pa 111b 1q.qn 1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1p n 11p1p n 1 p 1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limnsn sn 1=p.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 p 1 时, 0qp 1、探究创新limna1sn= 1p sn 1a11pb11q =1.b11q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9.已知数列 an 满意 a1=0、a2=1、an= an 1an 2

29、2、 求 lim an.n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:由 an= an 1an 2 、 得2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2an+an1=2an 1+an 2、2 an+an 1 为常数列 . 2a2+a1=2、 2an+an1=2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an2 =31 （ an 122 ） .3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an2 为公比为31 、首项为22 的等比数列 .3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 2 =2 ×（1 ） n 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n332精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a = 2 2 ×（1 ）n