2022年2022年高三数学教案第四节函数的连续性及极限的

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载第四节函数的连续性及极限的应用1.函数在一点连续的定义: 假如函数 f x在点 x=x0 处有定义,limfx存在,且limf x=fx0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么函数fx在点 x=x0 处连续 . 2 .函数 fx在点 x=x0 处连续必需满意下面三个条件.1函数 fx在点 x=x0 处有定义；xx0xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 limfx 存在；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 limfx

2、 =fx0,即函数fx在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0假如上述三个条件中有一个条件不满意,就说函数fx在点x0 处不连续 .那依据这三个条件,我们就可以给出函数在一点连续的定义3.函数连续 性的 运算:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 fx,gx 都在点 x0 处连续,就fx± gx , fx.gx ,x 0 处连续；f xg xgx 0也在点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 ux 都在点 x 0 处连续, 且 fu 在 u0=ux 0处连续 、就复合函数fux 在点 x0 处连续；4.函

3、数 fx在 a, b内连续的定义：假如函数 fx在某一开区间 a,b 内每一点处连续,就说函数 fx在开区间 a,b内连续,或 fx为开区间 a, b内的连续函数.fx在开区间 a, b内的每一点以及在a.b 两点都连续,现在函数fx的定义域为 a, b,如在 a 点连续,就f x在 a 点的极限存在并且等于fa,即在 a 点的左.右极限都存在,且都等于fa, f x在a,b内的每一点处连续,在a 点处右极限存在等于fa ,在 b 点处左极限存在等于fb.5.函数 fx在 a, b上连续的定义：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 fx在开区间 a,b内连续,在左端点x=a 处有

4、limf x=fa,在右端点x=b 处有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xalimfx= fb、就说函数fx在闭区间 a, b上连续 、或 f x为闭区间 a, b上的连续函xb数.6. 最大值最小值定理假如 fx为闭区间 a, b上的连续函数,那么fx在闭区间 a, b上有最大值和最小值7.特殊留意：函数fx在 x=x 0 处连续与函数fx在 x=x 0 处有极限的联系与区分；“连续必有极限,有极限未必连续；”二.问题争论点击双基1.f（ x）在 x=x0 处连续为f（ x）在 x=x0 处有定义的 条件 .a. 充分不必要b. 必要不充分c.充要d. 既不充分又不必要解析：

5、f（ x）在 x=x0 处有定义不肯定连续.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案： a2.f（ x） =cosxcos的不连续点为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. x=0b. x=2x（ k=0、± 1、± 2、 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2k1c.x=0 和 x=2k（ k=0、 ± 1、± 2、 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d. x=0 和 x=22k（ k=0、 ± 1、±2、 ）1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 +解析：由 cos =0、

6、 得 （ k z） 、 x=2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=kxx2kz2k1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 x=0 也不为连续点 、应选 d答案： d3.以下图象表示的函数在x=x0 处连续的为yy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ox0xox0x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yya. b. c.d. 答案： a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.四个函数 : f（ x） =1 ; go（ x） =xs0inx;f （xx）=|x|;f （ x）o=ax3+bxx20+cx+d.其中x在x=0x精品学习资料精选

7、学习资料 - - - 欢迎下载处连续的函数为 .（把你认为正确的代号都填上）答案：例 1： 争论以下函数在给定点或区间上的连续性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) f x1e x11e x11 x0x0,点 x=0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) f xx22 xx4x1,点 x= 1；1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）当 x 0时, 11, lim e x0 ,因此1xlime1= 1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0x01e x1精品学习资料精选学习资料 -

8、 - - 欢迎下载而lim1e x11=lim12 =1 ,limf xlimf x ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0e x1x0x0x0e x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 f x 在 x=0 处极限不存在,因此f x 在 x=0 处不连续；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）limf xlim x 223 , limf xlim x43 , f 13 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x1x1x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limx1f x3f 1,因此函数f x 在 x= 1 处连续；精品学习

9、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【思维点拨】 函数在某点连续当且仅当函数在该点左.右连续（闭区间的端点例外）；例2.优化p208例1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x>01争论函数 fx=0x=0-1x<0、在点 x0处的连续性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 争论函数 fx=x x-3在区间0、3上的连续性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载剖析：（ 1）需判定lim f（ x） = limf（ x） =f（ 0） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0（ 2）需判定f

10、（ x）在（ 0、3）上的连续性及在x=0 处右连续 、在 x=3 处左连续 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:（ 1）lim f （x） = 1、limf（ x） =1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim f（ x） limf（x） 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limf（ x）不存在 . f（ x）在 x=0 处不连续 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0（ 2） f（x）在 x=3 处无定义 、 f（ x）在

11、x=3 处不连续 .f （ x）在区间 0、3上不连续 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习：争论函数f xx 24x2的连续性；适当定义某点的函数值,使f x 在区间 3、3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内连续；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 明显函数的定义域为、22、 ,当 x2 时,f xx2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 f x 在 、2 上连续,在2、 上连续；而f x 在 x2 处不连续；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x24又 limlim x24

12、,不妨设f 24 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2x2x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 f xx24x24x x22 此时,f x 在区间 3、3 内连续；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3.优化p208例2exx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设函数 fx=axx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当a为何值时 、 函数 fx为连续的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 : limf（ x ） =lim（ a+x ） =a、limf（ x ） =limex=1、 而f（ 0） =a、 故当a=1

13、时 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0x0x0lim f（ x）=f （0） 、x0即说明函数f（ x）在 x=0 处连续 、而在 x0 时、f （x）明显连续 、于为我们可判定当a=1时、f（ x）在（ 、+）内为连续的.评述：分段函数争论连续性、肯定要争论在“分界点”的左.右极限、进而肯定连续性.例 4.如图 、在大沙漠上进行勘测工作时 、先选定一点作为坐标原点 、然后采纳如下方法 : 从原点动身 、在 x 轴上向正方向前进 aa>0个单位后 、向左转 900、前进 ar 0<r<1 个单位 、再向左转 900 、以前进 ar2 个单位、 .、如此连

14、续下去(1) 如有一小分队动身后与设在原点处的大本营失去联系 、且可以肯定此小分队的行动与原定方案相同 、就大本营在何处查找小分队.y(2) 如其中的 r 为变量 、且 0<r<1 、 就行动的最终目的地在怎样的一条直线上.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载备用：例题： 利用连续函数的图象特点,判定方程：2 x 35x1ox0 为否存在实精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数根；解： 设f x2x35x1,就f x 在 r 上连续,又f 01、 f 3380 ,因此在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 3, 0 内必存在点x 0 使得f x0 0 ,所以 x0 为方程2x35x10 的一个实数根,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此方程2 x 35x10 有实根；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【思维点拨