视觉化表征及其在数学学习中的作用

1、视觉化表征及其在数学学习中的作用整理自唐剑岚的数学多元表征学习与教学20世纪90年代以来，随着现代信息技术在数学教育领域的应用，数学视觉化表征的研究一直是国际数学教育心理学持续探讨的重要课题。了解数学表征、数学视觉化表征的内涵和形式，探讨视觉化表征在数学学习中的作用，可以为有效的数学教学提供新的视角。一、数学表征的内涵(一)数学表征的内涵表征最初的含义是指信息在心理活动中的表现和记载的方式，也叫心理表征。随着信息技术在教育中的应用，人们已不再局限研究心理表征了。表征的含义得到了拓展。在教育领域中，表征是指可反复指代某一事物的任何符号或符号集，其本质是学习对象的一个替代符号。在数学学习中，数学表

2、征的本质是数学学习对象的一个替代符号。研究数学表征，需要区分外在表征与内在表征，数学外在表征是数学学习对象的一个替代符号。数学内在表征是学习对象的外在表征内化在人脑中的心理表征。它在本质上也是外在数学学习对象的一个替代符号。因为数学对象的高度抽象性等特征，直接学习数学对象是难以把握和认识数学对象的，而通过学习代替数学对象的表征而间接认识数学是一个可行的途径。从某种意义上说，与其学习数学，不如学习数学的外在表征。因此，对数学外在表征的研究显得特别重要。(二)视觉化表征的内涵及其形式数学表征从本质说是数学学习对象的替代符号，因此可以根据表征与被表征对象的结构相似性，数学表征可分为言语化表征和视觉化

3、表征两类本质不同的表征。言语化表征在本质上是抽象符号，它是运用言语对被表征的对象进行相对抽象的描述。言语化表征与被表征对象之间不存在相似性或同构性等天然的联系，但它与约定俗成的内容相连。数学学习内容中的话语文本、书写文本、数学公式和逻辑表示等都属于此类。譬如，a(b+c)=ab+ac、sin(A+B)=sinA+sinB，从数学意义上讲，a(b+c)=ab+ac是正确的，sin(A+B)=sinA+sinB是错误的，因为这些符号又必须与数学共同体约定的内容紧密相关。视觉化表征在本质上是图像符号，它主要是运用图元素对被表征的对象进行相对形象的描绘。这些符号与被表征的对象在具体水平上或在某些抽象水

4、平上有天然的联系。视觉化表征的形式有很多，譬如静态的几何图形、动态的图像、教学模型、甚至用以传递动作与情感经验的各种手势、表情动作，这些表征形式在外在结构上与被表征对象的结构具有一定程度的相似性或相关性。图表、曲线图(如函数图象)、图形组织者(如概念图、思维导图)等逻辑图，虽然它们与被表征对象的外在结构不具有相似性，但它们的内在结构与被表征对象的结构具有某种对应关系。譬如，概念图可用来组织概念内部(概念本质属性、符号、实例)与概念外部之间的关系，以直观、形象的方式表征概念与概念之间的结构关系。下图呈现了言语化表征与视觉化表征的主要区别。二、视觉化表征在数学学习中作用视觉化表征描绘了具体的、形象

5、的、直观的意义，便于人们较为快捷地视觉化数学的整体结构和意义，这些表征既是人脑右半球的功能特点，也是右半球发展的外在促进。因此，视觉化表征在数学学习中有着举足轻重的作用。在数学学习中，视觉化表征有很多种形式，下面主要探讨静态图形表征、动态视觉化表征和图形组织者在数学学习中作用。(一)运用图形表征，促进数学理解，提高学习信心在数学教学中，如果仅仅提供学生符号化、形式化的言语化表征，常常使学生望而却步，难以理解数学符号的本质，甚至使学生丧失学习数学的信心。但如果将与言语化表征基本一致的图形表征，将极大地促进和增强学生的数学理解，提高学生学习数学的信心。譬如，学生在学习等差数列求和公式时，如果仅仅从

6、代数符号的运算上给出证明，学生很难理解为什么会出现倒序相加这种方法?但若再呈现如图2的视觉化表征，学生会立刻想到，这不是求面积或计算中常用到的凑整的方法吗? 再如，给学生讲授证明不等式：，如果运用形式化证明，也是比较简单的，但对学生来说并不很明晰，沮丧感由此而生。若把表示为坐标点(b，a)，从原点到(b，a)所连接的直线的斜率就是，因而从图像上看分数越多，直线的斜率越大。图3是的情形，同理可证的一般情况(图4)。平行四边形强调了“中间”，并且是性质的论据，所以给符号代数证明添加了直观意义和说服力，增强了学生的理解和信心，并领略到数学丰富活泼的一面。(二)运用视觉化表征，协调直觉信念，纠正潜在假

7、设大量研究表明，学生的数学信念深藏在他们的行为表现、认知过程、情感体验的背后，像一只无形的手，指引着学习过程，深刻影响着学习结果。学生的直觉信念更是一把“双韧剑”，可以促进学习，但也因产生“潜在假设”而强势阻碍学习。“潜在假设”是指存在于潜意识中的，未经证实其正确性的直觉假设，误用潜在假设，是使学生出现错误的重要原因之一。图形表征的本质具有直观的意义。在数学教学中，若恰当提供图形表征，不仅仅能够激发学生原有的直觉，而且可以协调学生原有的直觉信念，纠正潜在假设。譬如，当要求学生解决“设想有一线段围绕地球(假设此地球表面是光滑的)圆周，欲在高于地球表面18m的地方放置以上所述围绕地球的线段，那么线

8、段应该会长出多少”这个问题时，大多数学生在计算之前都有一个潜在假设：“地球很大，需要的线段应该会长出很多。”然而通过直接的代数表征得：，结果小于12m,，这展示了大多数人的期望和符号化表征获得之间的差距。若这时运用图形表征向学生提供下面的解决方法：如图5，高出地球表面m的线段一周，当围绕地球的角时，线段相当于围绕成一个半径为h的圆，多出的线段都在角上，4个14圆周长构成一个圆周，即。然后对正方形地球进行持续地变形，使之趋向于圆形地球。对于正八边形地球，多出的线段是在角上的弧段之和。如果把它们拼凑起来就是半径为h的圆周。无论正八边形大小，也无论是正多少边形，其圆周都是一样的(如图6)。这种解答，

9、不仅仅在直观上是令人信服，而且也协调了学生原有的直觉信念、为学生纠正潜在假设提供直观机会。再如，在概率概念的学习中，学生头脑中经常存在大量诸如“代表性启发法”和“可用性启发法”等对学习无效的直觉信念，这些直觉信念是学生学习概率概念的一大障碍。在教学中，若运用诸如概率游戏、树形图、列表、面积图等视觉化表征，通过“问题情境一猜测结果一试验并收集试验数据一分析试验结果一验证试验结果一建立模型”的教学活动，将有利于协调和破除学生无效的直觉信念，帮助学生理解概率模型和树立新的有效信念。(三)运用动态视觉化表征，拓展思维空间、促进思维投入一般来说，如果仅仅运用语言表达、板书、课本上的文字等叙述性表征，教师

10、是难以传达二维或二维以上思维空间的，即使这样，学生也会难以理解。但如果运用几何画板等“可看得见的、清楚的呈现”的动态数学技术或平台，能够产生动态视觉化表征。视觉化表征，这一方面将抽象的数学思维变得具体可见、譬如立体几何图形与原理的形成、截面的生成，解析几何对象的性质、轨迹生成，概率统计的不确定思维的形成等；另一方面，动态地表征数学学习对象，但数学学习对象所蕴涵的数学关系却在动态变化中保持不变。当前，在数学教学中，最常用的动态数学技术主要是几何画板平台。在这个平台上，可以对数学对象直接进行操作(譬如局部放大、测量、变换等)、可以通过拖动图形的某些点，虽然图形发生变化，但数学关系(如角平分线性质、

11、椭圆的定义等)在动态联系中保持不变，这个不变的性质实质是数学公式、定理等。譬如，高中立体几何的教学是个难点，传统的课堂教学经常依靠立体的几何模型展开，配合教师的手势表征来帮助学生理解复杂的空间的几何关系，但这是有一定困难的。如给学生解释清楚正方体被一个平面所截得到的截面的可能形状，就难以演示。但如果借助几何画板、立体几何画板等课件，随意拖动某个图形上的点进行放大、缩小、旋转等对图形进行多维度的几何变换，从而使空间图形间的几何关系一目了然，这不仅拓展了学生的思维空间，还因为图形变化生动、形象、有趣，促进学生更多的思维投入。(四)运用图形组织者、丰富知识结构、优化认知结构数学认知结构是数学知识结构

12、在学生头脑中的反映。优化的认知结构既是学会数学的必要条件，也是学好数学的必然结果。脑科学研究表明，人脑通过它的感觉系统一视觉、听觉、嗅觉、触觉、味觉一将外部世界咬碎，大口大口地吞咽；然后，被消化过后的世界，以脑细胞间无数的神经联结的形式重新组合，存放起来。这些神经联结一直不断地生长或消失，变得更强或更弱，而这些变化取决于这一顿盛宴的丰富程度。也就是说，要想使学生形成优化的数学认知结构，必然需要丰富、且组织良好的知识结构。在传统教学中，常常运用过多的言语化表征，学生的认知结构也常常表现为：知识点单一、孤立、破碎、缺乏联系，缺失生长点。若运用概念图、思维导图、故事地图、鱼骨图等图形组织者，将极大地改善这种情况。图形组织者是凸显知识结构的一种视觉化表征，能够形象地说明一个概念或过程的各个组成部分及其相互之间的关系。这样能够让学生既使用左脑也使用右脑，既以语言表征又以图像表征信息。大量的研究表明，在教学过程中，运用图形组织者能帮助学生澄清各种关系，组织自己的想法，形成计划或步骤；使学生积极地使用排序、比较、分类、分析和问题解决等策略；当学生被要求修改有组织的信息结构时，他们会从自己的错误中学习；图形组织者还允许就彼此的联系有根据是否来交流观点，帮助