2016年四川省高考数学文科试题含答案(Word版)

1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第 I 卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.设 i 为虚数单位，则复数(1+i)2=(A) 0(B)2(C)2i(D)2+2i2.设集合 A=x11x5,Z 为整数集，则集合 AZ 中元素的个数是(A)6(B) 5(C)4(D

2、)33.抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2)(B) (0,1)(C) (2,0)(D) (1,0)3  ) 的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点4.为了得到函数 y=sin ( x +p(A)向左平行移动p                   

3、           p个单位长度     (B) 向右平行移动  个单位长度3                           

4、60; 3pp(C) 向上平行移动个单位长度(D) 向下平行移动个单位长度335.设 p:实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，q: 实数 x，y 满足 x+y>2，则 p 是 q 的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件6.已知 a 函数 f(x)=x3-12x 的极小值点，则 a=(A)-

5、4(B) -2(C)4(D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018 年(B) 2019 年(C)2020 年(D)2021 年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州 (现四川省安岳县)人，他在所著的

6、数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为uuur     uuur  uuur    uuur 2(A)35(B) 20(C)18(D)99.已知正三角形 ABC 的边长为 2 3 ，平面 ABC 内的动点

7、60;P，M 满足 AP = 1 ， PM = MC ，则 BM 的最大值是(A)43      49 37 + 6 3       37 + 2 33(B)          (C)

8、60;             (D)4 4 4              410.  设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)=  íì- ln x,0 < x 

9、< 1,î ln x, x > 1,图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，则PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1)(B) (0,2)(C) (0,+)(D) (1,+ )第 II 卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共&

10、#160;5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11、sin7500=。12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是。侧视图俯视图13、从 2、3、8、9 任取两个不同的数字，分别记为 a、b，则 log b 为整数的概率=。a514、若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0<x<1 时，f（x）=4 x，则 f (- ) 

11、+ f (1) =。215、在平面直角坐标系中，当 P（x，y）不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P' (y     - x,      ) ，当 Px2 + y 2 x2 + y 2是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点 A 的“伴随点”是点A 

12、9;，则点A '的“伴随点”是点 A.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。其中的真命题是。（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（本小题 12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每

13、人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5）， 0.5,1），4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图。0.500.42（I）求直方图中的 a 值；（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数说明理由；（）估计居民月均用水量的中位数。17、（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90°， BC = CD =P12AD 。BC

14、AD（I）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由；（II）证明：平面 PAB平面 PBD。18、（本题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且（I）证明：sinAsinB=sinC；cos A  cos B  sin C+      =a   

15、  b     c。（II）若 b2 + c2 - a 2 =65bc ，求 tanB。19、（本小题满分 12 分）已知数列 an的首项为 1， Sn为数列a  的前 n 项和， Snn+1= qS + 1 ，其中 q>0， n Î N

16、60;* .n（）若 a , a , a + a成等差数列，求a  的通项公式；2323na（）设双曲线 x2 -y2= 1 的离心率为 e ，且 e = 2 ，求 e 2 + e 2 + ××× + e 22 n 2 1 2&#

17、160;nn                                                 

18、                        .()设不过原点 O 且斜率为的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭20、（本小题满分 13 分）x221已知椭圆

19、60;E：a2 + b2 =1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P( 3 ，2 )在椭圆 E 上。()求椭圆 E 的方程；12圆 E 交于 C，D，证明：MA·MB=MC·MD21、（本小题满分 14 分）1e设函数 f(x)=ax2alnx，g(x)=x ex ，其中 aR，e=2.718为自然对数的底数。（）讨论 f(x)的单调性；（）

20、证明：当 x1 时，g(x)0；（）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)g(x)在区间（1，+）内恒成立。2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题1.C2.B3.D4. A5.A6.D7.B8.C9.B10.A二、填空题11.31               112.     &

21、#160; 13.        14.-2      15.32               6三、解答题16.（本小题满分 12 分）（）由频率分布直方图，可知：月用水量在0,0.5的频率为 0.08×0.5=0.04.同理，在0.5,1)，(1.5,2，

22、2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)等组的频率分别为 0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由 10.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得 a=0.30.（）由（），100 位居民月均水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300000×0.

23、13=36000.（）设中位数为 x 吨.因为前 5 组的频率之和为.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以 2x<2.5.由 0.50×（x2）=0.50.48，解得 x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.17.（本小题满分 12 分）PBCAD（I）取棱 AD 的中点&#

24、160;M(M 平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点.理由如下：因为 ADBC,BC= 12AD，所以 BC AM, 且 BC=AM.所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB.又 AB Ì 平面 PAB,CM Ë 平面 PAB,所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 

25、MN 上任意一点)（II）由已知，PAAB, PA  CD,因为 ADBC,BC= 12AD，所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA平面 ABCD.从而 PABD.因为 ADBC,BC= 12AD，所以 BCMD,且 BC=MD.所以四边形 BCDM 是平行四边形.所以 BM=CD= 12AD，所以 BDAB.（）根据正弦定理，可设  a又 A

26、BAP=A,所以 BD平面 PAB.又 BD Ì 平面 PBD,所以平面 PAB平面 PBD.18.（本小题满分 12 分）bc= k (k > 0)sin Asin Bsin C则 a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.代入  cos Acos Bsin C+=abc中，有cos Acos Bsi

27、n C+=，可变形得k sin Ak sin Bk sin Csin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin (A+B).在ABC 中，由 A+B+C=，有 sin (A+B)=sin (C)=sin C，所以 sin A sin B=sin C.cos A =    

28、60;     =  .a（）由已知，b2+c22= 65b + c2 - a 2322bc5所以 sin A= 1 - cos2 A = 45bc，根据余弦定理，有.所以  4由（），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，43sin B=cos B

29、+sin B，555故 tan B= sin Bcos B=4.19.（本小题满分 12 分）（）由已知， Sn+ 1= qS + 1,Snn+ 2= qSn+ 1+ 1, 两式相减得到 an+ 2= qan+ 1, n ? 1.又由 S = qS + 1 得到 a =

30、 qa ，故 a2121n+ 1= qa 对所有 n 1 都成立.n所以，数列 a  是首项为 1，公比为 q 的等比数列.n从而 a =qn- 1 .n由 a ，a ，a +a 成等差数列，可得 2a =a + a + a ，所以 a =2 a ,

31、 ，故 q=2 .2323322332所以 a = 2n- 1 (n ? N * ) .n（）由（）可知， a = qn- 1 .n所以双曲线 x2 -y2a 2n= 1 的离心率 e = 1+ a 2 = 1+ q2(n- 1) .n n由 e&#

32、160;=1+ q2 = 2 解得 q =3 .所以，2?e 2 + e 2 + 鬃e 2 = (1+ 1) + (1+q2 ) + 鬃 1+ q2( n- 1) 12nq2 -  1         

33、0; ，?= n + 1+ q2 + 鬃q2( n- 1)  = n +q2n - 1= n + 12(3n - 1).20.（本小题满分 13 分）（I）由已知，a=2b.1= 1(a > b > 0) 过点 P(  3,   ) ，故

34、又椭圆x2a2+y 2b21      32     4b2+ 4 = 1 ，解得 b2 = 1.b2所以椭圆 E 的方程是x24+ y 2 = 1.2ïï 4  + y 2 = 1,所以 M 点坐标为 (-m, 

35、60;m（II）设直线 l 的方程为 y = 1 x + m(m ¹ 0) ， A( x , y ), B( x , y ) ，1122ì x2由方程组 í得 x2 + 2mx + 2m2 - 2 = 0 ，ï 

36、;y = 1 x + m,ïî2方程的判别式为 D = 4(2 - m2) ，由 D > 0 ，即 2 - m2 > 0 ，解得 - 2 < m <由得 x + x = -2m, x x = 2m 

37、;2 - 2 .121 21) ，直线 OM 方程为 y = -x ，222 .ïï 4 + y 2 = 1,ì x2由方程组 í得 C (- 2,ï y = - 1 x,ïî22      

38、;    2), D( 2, -   ) .2          2所以 MC × MD =5           5         &#

39、160;5(-m + 2) ×   ( 2 + m) =  (2 - m 2) .2           2          44      4 &

40、#160;                  16又 MA × MB =1      1                  

41、60; 5AB 2 = ( x - x )2 + ( y - y )2  =  ( x + x )2 - 4 x x 1 2 1 2 1 2 1 255=4m2 - 4(2m2 - 2) =(2 -&

42、#160;m2 ) .164所以 MA × MB = MC × MD .(x > 0).21.（本小题满分 14 分）12ax 2 - 1（I） f '(x) = 2ax -=xx+当a £ 0时， f '(x) <0， f ( x)

43、0;在（0，¥）内单调递减.由当a > 0时， f '(x) =0，有 x =12a.当 x Î（0,1) 时， f '(x) <0， f ( x) 单调递减；2a当 x Î（12a+，¥) 时， f '(x) >0， f ( x) 单调递增.（I

44、I）令 s( x) = e x-1 - x ，则 s '(x) = ex-1 - 1 .当 x > 1 时， s '(x) >0，所以 e x-1 > x ，从而 g ( x) =1  1-x  ex-1>0.（iii）由（II），当 x > 1 时， g ( x) >0.当 a £ 0 ， x > 1 时， f ( x) = a