【备考2018】高考理科数学大题21(第七期)

1、【备考 2018：就题论题之高考理科数学大题 21】备考 2018：我一题一题讲，你一题一题学！就题论题之高考数学复习题型入门总述：我们经常讲高考是有规律的。的确，正是固定的题目模式给了我们研究高考的方向。因此我们打算每个题每个题给同学们讲述，让同学们逐题突破。这种固定的题目模式我们叫做题型。我们每个学科先给同学们考试题型的分布和具体分数设置，然后具体逐个突破。高考数学试卷结构：一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二、填空题：本题共

2、0;4 小题，每小题 5 分，共 20 分。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。（二）选考题：共10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）23选修 45：不等式选讲（10

3、 分）从以上我们可以看出：试卷总体分三个部分，分选择题、填空题和解答题。两道选考，二选一做答。所以，想要获得自己理想分数，不是指望哪个题要拿满分，而是那一些题该拿多少分，不要因小失大。有些同学总是以为只要自己不断练习就会获得 130、140 这样的高分，但是如果你的分数只有 90、100 这样，难免好高骛远了，所以在每一次考试明确自己那个该得分，得多少分我们都应该明白，而在哪个分数或者说要达到哪个分数我们会给出一些参考。【十进制标准】所谓十进制标准，就是把自己的目标设置为在自己的原有的分数上再加 10 分。比如你现在

4、0;90 分，那么你下一次考试目标就是 100 了，但是当你考 140 的时候，目标不可能 150，因为这几乎不可能！所以当分数到达普通高考极限时，你要做的就是能提一分算一分。【导函数特点】导数与函数的结合是整张卷子最难的，一般大型考试该题不会出现简单题的现象，当然也会有很多考试空白交卷，虽然不提倡，但是如果前面做的好，该题成不了拉分题，所以可以适当放弃。【解题步骤&知识准备】正面战场：.先按自己的方法做一遍，不会的同学可省略此步骤；.准备敌后战场。敌后战场：收集做过的题目；.进行归类，适当总结；.识记，做适当练习，如此重复即

5、可。我们这一期来探讨一下高考数学卷的高考理科数学大题 21。我们看看 2017 年刚刚考完的新课标卷：21.（12 分）f已知函数 （x) = ae2x+(a2) exx.（1）讨论 f ( x) 的单调性；（2）若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围.【题目短答案长】第一问就会开始考查分类讨论的思想，总结好分类讨论的一般步骤，做题时步步为赢。（21.解： 1）f ( x)&#

6、160;的定义域为 (-¥, +¥) ，f ¢( x) = 2ae2 x + (a - 2)e x - 1 = (aex - 1)(2ex + 1) ，（）若 a £ 0 ，则 f ¢( x) < 0 ，所以 f&

7、#160;( x) 在 (-¥, +¥) 单调递减.（）若 a > 0 ，则由 f ¢( x) = 0 得 x = - ln a .当 x Î (-¥, - ln a) 时 ， f ¢( x )<&

8、#160;0； 当 x Î (- ln a, +¥) 时 ， f ¢( x) > 0 ， 所 以 f ( x) 在(-¥, - ln a) 单调递减，在 (- ln a, +¥) 单调递增.（2）（）若 a £&#

9、160;0 ，由（1）知， f ( x) 至多有一个零点.（  ） 若 a > 0 ， 由 （ 1 ） 知 ， 当 x = - ln a 时 ， f ( x) 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为1f&

10、#160;(- ln a) = 1 -+ ln a .a当 a = 1 时，由于 f (- ln a) = 0 ，故 f ( x) 只有一个零点；当 a Î (1,+¥ ) 时，由于1 -1a+ ln a > 0 ，即 f&

11、#160;(- ln a) > 0 ，故 f ( x) 没有零点；当 a Î (0,1) 时，1 -1a+ ln a < 0 ，即 f (- ln a) < 0 .又 f (-2) = ae-4 + (a - 2)e-2 

12、+ 2 > -2e-2 + 2 > 0 ，故 f ( x) 在 (-¥, - ln a) 有一个零点.设正整数 n  满足 n  > ln(   - 1) ，则 f (n ) =e  n0( aea- 

13、n  >2n0- n > 0  .0003n0+a -2) - n >e0n00 03由于 ln( - 1) > - ln a ，因此 f ( x) 在 (- ln a, +¥) 有一个零点.a综上， a 的取值范围为 (0,1) .新

14、课标：（2）证明： f ( x) 存在唯一的极大值点 x  ，且 e-2 < f ( x ) < 2-3 .21.（12 分）已知函数 f ( x) = ax3 - ax - x ln x, 且 f ( x) ³ 0 .（1）求

15、 a；00【问（1）】说一说：第一问求某个值，说明高温比较简单，建议考生看见时要留时间做，但如果没有也不必紧张。21.解：+（1） f (x )的定义域为 (0，¥ )设 g (x ) = ax - a - lnx ，则 f (x ) = xg (x ) , f (x ) ³ 0 

16、;等价于 g (x ) ³ 0因为 g (1)=0，g (x ) ³ 0,故g' (1)=0,而g' (x ) = a -1x,g' (1)=a - 1,得a = 1x )若 a=1，则 g' ( =1 -1 .当 0x1 时，g'

17、; (x )0,g (x )单调递减；当 x1 时，g' (x )0，xg (x ) 单调递增.所以 x=1 是 g (x ) 的极小值点，故 g (x ) ³ g (1) =0综上，a=1（2）由（1）知 f (x ) = x 2 - x -

18、0;x ln x ,f '(x ) = 2x - 2 - ln x设 h (x ) = 2x - 2 - ln x ,则h '(x ) = 2 -1x当 x  Î ç 0,   ÷ 时

19、，h '(x )0 ；当 x  Î ç,+¥ ÷ 时，h '(x )0 ，所以 h (x )在 ç 0,   ÷ 单调递减，在 ç,+¥ ÷ 单调递增(  )   æ 1 &

20、#246;又 h  e -2  0,h ç   ÷ 0,h (1) =  0 ，所以 h (x )在 ç 0,   ÷ 有唯一零点  x0，在 ê   ,+¥ ÷ 有唯一零æ1 &

21、#246;æ 1öæ1 öè2 øè 2øè2 øæ 1öè 2øæ1 öé 1öè 2 øè2 øë 2øhh,h点 1，且当 x Î (0,x )时， (x

22、 )0 ；当 x Î (x ,1)时， (x )0 ，当 x Î (1+ ¥ )时， (x )0 .00因为 f '(x ) = h (x )，所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点由 f '(x0) = 0得 ln x

23、 = 2(x - 1),故f (x0 00) =x (1 - x00)由 x   Î (0,1)得 f '(x )0014e因为 x=x0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由e-1 Î (0,1),f '( -1 ) ¹ 0 得ef (x 

24、)f ( -1 ) = e -20所以e -2f (x )2-20【入门题一】21（本小题满分 12 分）设函数 f ( x ) = ( x + b)ln x,g( x ) = a ln x + 1 - a2y = f ( x ) 

25、;在点 (1, f (1) 处的切线与直线 x + 2 y = 0 垂直.() 求 b 的值；x 2 - x(a ¹ 1) , 已知曲线() 若对任意 x1，都有 g( x ) >aa - 1，求 a 的取值范围.21（本小题满分 12 分）解g(x)x

26、(1a)x1   x   çx1a÷  (x1). -5 分2   1a调递增.  所以，对任意 x1，都有 g(x)    aa1                  a11 &#

27、160; ，解得 a   21 或   21  a -8 分若  a1，则   1，故当 xç1，1a÷时，g(x)0；当 xç1a，÷21a时，g(x)0.f(x)在ç1，1a÷上单调递减，在ç1a，÷上单调递增.所以，对任意 x1，都有 g(x)    a

28、1a2（1a） a1a12所以  a1                 -10 分(1)曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2，-2 分又 f(x)ln x b 1，即 ln 1b12，所以 b1.-4 分x(2) g(x)的定

29、义域为(0，)，a1aæa öèø1a若 a ，则1，故当 x(1，)时，g(x)0，g(x)在(1，)上单a的充要条件为 g(1) ，即1aa12a12a   ö1aææ aöèøèøa   öææ aöèøèøaæ a 

30、46;æ a ö            è   ø  a1   è   øa1的充要条件为 gç1a÷.而 gç1a÷aa2aa1aln在 a1 上恒成立，12若 a1，g(x)在1，)上递减，不合题

31、意。综上，a 的取值范围是( - ¥ ， 21)( 21，1).-12 分【入门题二】221已知函数 f（x）（ax2lnx）（xlnx）1（aR）（1）.若 ax2lnx，求证：f（x）axlnx1；.若 $x0 Î (0, +¥) ，f（x0）1x0lnx0ln2x0，求 a 的最大值；（3）求证：当 1x2 时，f（x）ax（2ax）21（1）.证明：设 g（x）xlnx

32、（x0），则 g ¢( x) = 1 -  1x - 1=xx，当 0x1 时，g（x）0，函数 g（x）递减；当 x1 时，g（x）0，函数 g（x）递增，所以当 x0 时，g（x）g（1）1ax2lnx，ax2lnx0，f（x）ax2lnx12.由 f（x0）1x0lnx0ln2x0 得 ax0 - 2ln x0 = 0&#

33、160;或 x0lnx00（由（1）知不成立舍去），即 a = 2ln x0 ，x20（x0），则 h¢( x) =设 h( x) =2ln x                  2(1- 2ln x)2x    

34、60;                  x3，当 0 < x < e 2 时，h（x）0，函数 h（x）递增；当 x > e 2 时，h（x）0，函数111         1h（

35、x）递减，所以当 x0 时， h( x)max1= h(e 2 ) = ， a = e max e= (ln x -      )2 + 1 -        = (ln x -    &#

36、160; )2 + 1 -         1 -         （3）证明：f（x）（ax2lnx）（xlnx）1ln2x（xax2）lnxax31x + ax2( x + ax2 )2= (ln x -)2 + ax3 + 1

37、0;-24x + ax2( x - ax2 )2x + ax2x2 (ax - 1)2x2 (ax -1)224244当 1x2 时，x2（4，1）， 1 -x2 (ax -1)241 - (ax -1)2 = ax(2 - ax) 故 f（x）ax（2ax），等号若成立，则 í 

38、0;   2  即 lnxx，由（1）ìx + ax2ïln x =îïax = 1知 lnxx 不成立，故等号不成立，从而 f（x）ax（2ax）【入门题三】21.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = x ln x - a2x 2 + 1 .（

39、1）若 y = f ( x) 在 (0, +¥) 恒单调递减，求 a 的取值范围；（2）若函数 y = f ( x) 有两个极值点 x , x ( x < x ) ，求 a 的取值范围并证明 x + x > 2 .12121221.(1)

40、 因 为 f '(x) = ln x - ax + 1(x > 0) , 所 以 由 f '(x) £ 0 在 (0, +¥) 上 恒 成 立 得a ³ ( ln x + 1)xmaxx 

41、Π(0,+¥ ) ,令 g(x) =  ln x +1    x Î (0, +¥) ,易知 g ( x) 在 (0,1) 单调递增 (1,+¥) 单调递减,  所以 a ³ g (1)= 1 ,x即得：a&

42、#160;³ 15 分(2)函数 y = f (x) 有两个极值点 x , x (x < x ) ,1212即 y = f '(x) 有两个不同的零点,且均为正， f '(x) = ln x - ax + 1(x > 0) ,令 F

43、 ( x) = f '(x) = ln x - ax + 1 ,由 F '(x) = - a =11 - axxx(x > 0) 可知2.  a > 0 时,   y = F (x) 在 (0,

44、0;  ) 是增函数在 (   , +¥) 是减函数,此时 f (  ) 为函数的极大值,也是最大值.当 F (  ) £ 0 时,最多有一个零点,所以 F (  ) = ln> 0 才可能有两个零点,此时又因为< <,  F (&

45、#160; ) = -< 0 ,  F () = 3 - 2ln a -   (0<a < 1) ,1. a £ 0 时,函数 y = f (x) 在 (0, +¥) 上是增函数,不可能有两个零点.11aa1a111aaa得： 0&

46、#160;< a < 17 分1a11e2e2e2eaa2eea2aa2  > 0 , j (a) 在 (0,1) 上单调递增,  所以令 j(a) = 3 - 2ln a -e2          2  e2  e2&#

47、160;- 2aa ,j '(a) = - a + a2 =j(a) < j(1) = 3 - e2,即 j (e2a2) < 0由于 y = F (x) 在 (0,   ) 是增函数在 (   , +¥) 是减函数,&

48、#160; 0 < x  < ,  可构造出 a - x1 > aa            a                    

49、; a构造函数  m(x) = F (   - x) - F (x) = ln(   - x) - a(   - x) - (ln x - ax)  (0<x £)综上,所以 a 的取值范围是 (0,1)8 分下面证明 x + x >2121112112221aaaa2a(x -   )2