固体物理导论部分思考题1

1、固体物理问题一1 如何理解什么是晶体结构。1 理想晶体：An ideal crystal is constructed by the infinite repetition of identical structural units in space.本质在于长程有序。2 晶体结构（Crystal structure） = lattice + basis1) 点阵（lattice）：a regular periodic array of points in space.选取不唯一，不同的基元可能对应不同的点阵。2) 基元（basis）：the group of atoms。选取不唯一，体积最小

2、和原子数最小的基元是原胞（初基基元），对应着初基晶轴，这两个是唯一的。3) 基矢（Primitive translation vectors ）：，（晶轴），晶轴选取不唯一，初基晶轴选取也不唯一；初基平移矢量对应于初基基元，因此初基基元形状不唯一。晶格平移矢量（Lattice translation vector）：where ， and are integers.基元中第j原子的相对位置（The center position of an atom j inside the basis）：where 3 原胞（Primitive lattice cell）：形状不唯一。 1）Primitiv

3、e lattice cell is the minimum volume cell in the lattice。最小体积为其中，称为初基晶轴。2）There is always one lattice point per primitive lattice cell。同原胞中一个格点相联系的基元称为初基基元，初基基元是包含原子数目最少的基元。注意是一个格点，而不是一个原子。3）维格纳-赛兹原胞（Wigner-Seitz cell） 原则上是所有的点，但通常近邻的点即可，由近到远。在倒异空间的维赛原胞就是布里渊区。4）惯用晶胞（The conventional cell）can be same

4、 or sometimes bigger than the primitive cell。2 晶格有哪些基本类型。立方晶格及简单晶体结构的基本特点。晶格平移矢量具有任意性，因此给出的一般性晶格通常都称为斜方晶格；布拉维晶格（Bravais lattice）是对某种具体晶格类型的通称。对称性使然。1二维晶格：五种不同的类型正方晶格，长方晶格，六角晶格，有心长方晶格（不是原胞），一般的斜方晶格。2 三维晶格：七大晶系十四种晶格类型一般的晶格类型为三斜晶格。七大晶系（惯用晶胞）：立方（3），四角（2），正交（4）；三角（1），六角（1）；单斜（2），三斜（1）（二斜和三斜的对称性一样）。3 立方晶格

5、：简单立方（sc），体心立方（bcc），面心立方（fcc）1）三个最近邻点作初基晶轴（这只适合于立方晶格）。2）最近邻数和堆积比率正相关。3）体心立方晶格的原胞是109°28的菱面体；面心立方的是60°菱面体。（三角晶格）4简单晶体结构1）密堆结构（Close-packed structures）六角密堆结构（hcp）：ABAB 面心立方结构（fcc）：ABCABC 二者最近邻数都是12，堆积率一样（0.74）；并且结合能（自由能）仅取决于每个原子的最近邻键的数目，因此两种结构在能量上没有差别。hcp原胞有2个原子，fcc原胞不是3个原子，而是一个原子！fcc沿着体对角线方

6、向进行堆积。2）金刚石结构（Diamond structure）图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在一个fcc格子上；在1/4和3/4处的点是处在另一个相似的格子上（两套fcc，体对角线方向平移1/4）。如果看作单个的fcc晶格，基元是由位于（000）和（1/4,1/4,1/4）的两个全同原子组成（原胞中应该是相邻的原子，满足式）。每个原子有4个最近邻，因此堆积率很低，只有0.34；碳、硅、锗，锡都能结晶为金刚石型结构。3）氯化纳型结构（NaCl）面心立方，基元由一个Na+和一个Cl-组成，间距为一个单位立方体体对角线的一半，每个原子有6个异类原子作为最近邻。（一个大一个小，填充）。问

7、题是面心立方的基元怎么会两个原子？这也是两个面心立方合在一起的结果，距离长才构成离子晶体。4）氯化铯型结构（CsCl）（典型的离子晶体）简单立方，基元由一个Cs+和一个Cl-组成，每个原子有8个异类原子作为最近邻。5）立方硫化锌型结构（ZnS）（介于离子键和共价键之间）面心立方，类似于金刚石结构，错开于立方体体对角线的1/4，不同的是不存在一个反演对称操作中心。6）立方钡钛矿结构（BaTiO3）:Ba在顶点，Ti在体心，O在面心。3 如何确定晶面指数。1求晶面指数Step 1: find the intercepts, h, k and l, on the axes in the terms

8、of lattice constants a1, a2, a3.Step 2: take the reciprocals of these numbers and multiply the same ratio to have three integers, usually the smallest three integers, h, k, and l, enclosed them into brackets (hkl).（反过来时则只需要求倒数，因为晶面是一系列可通过晶格平移矢量移动的平面，只有不可以移动时才是不等价的，例如（200）与（100）2 具体情况Case1: all h, k

9、and l >1 multiply a number to 1/h, 1/k and 1/l to have the smallest three integers.Case2: any h, k and l < 1 multiply a number to 1/h, 1/k and 1/l to have three integers. E.g. (200) plane, (222) plane.Case3: any h, k and l is infinity the corresponding index is zero.Case4: any h, k and l = 0 t

10、ake another origin point, repeat step 1.3 注意The indices (hkl) may denote a single plane or a set of parallel planes.negative index：Due to the symmetry, the planes with different indices might be equivalent inside the crystal. All can be denoted as 100The distance between two adjacent plane denoted a

11、s (hkl), d, is re1lated to the indices h, k, and l. The bigger h, k and l, the smaller d.4扩展How to index a direction:The indices uvw of a direction in a crystal are the set of the smallest integers that have the ratio of the components of a vector in the desired direction, referred to the axes.In cu

12、bic system, the hkl direction is perpendicular to the (hkl) planes.4 证明Bragg定律。如何理解晶体衍射条件和Laue方程与Bragg定律的关系。1 布拉格定律为证明如下图所示，当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生相长干涉。条件：elastic scattering（弹性散射）periodic lattice（周期性的晶体结构）波长局限性：does not refer to what kind of lattice and basis, because no information of the intensi

13、ty.（具体的点阵与峰的排列有关，原胞与结构因子有关，而结构因子与峰强度有关；这里没有涉及到峰的信息，即峰的排列和强度，因此不能确定具体的点阵和基元）2 衍射条件定理：一组倒格矢G决定了可能存在的X射线反射。由散射振幅最大时即为产生衍射，因此可推导衍射条件为其中。在弹性散射时，。由此结合式，可推导弹性散射的衍射条件为可证明，结合式和晶面指数的定义，即可推导出布拉格定律。3 Laue方程由一般的衍射条件式，结合初基基矢和倒格矢的关系，可推导劳厄方程4 晶格衍射条件和Laue方程与Bragg定律的关系衍射条件与Laue方程是等价的，当为弹性散射时，则是Bragg定律。5 如何理解什么是倒格子。立方

14、晶格和六角密堆结构的倒格子。1 倒格子在计算电子数密度n时，我们利用n(r)的周期性，进行了傅里叶变换，由此在k空间下研究晶体，称之为倒易空间。值得注意的是，电子数密度n是我们研究的出发点。定义倒格子的轴矢量为其中。倒格矢为性质：1）2）3）倒格矢垂直晶面，两个平行的晶面的距离为。注意这里不局限于立方晶格。4）倒易空间的原胞体积为2 立方晶格和六角密堆结构的倒格子1）sc晶格2）体心立方晶格3）面心立方晶格4）六角密堆结构6 什么是布里渊区，如何理解布里渊区和衍射条件的关系。1 布里渊区布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-赛茨原胞。2 第一布里渊区第一布里渊区为倒格子的中央晶胞（我们把倒易空间

15、成为倒格子空间，倒格子）。作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的完全封闭的最小体积就是第一布里渊区（通常只需做最近邻的几个点）。3 布里渊区和衍射条件的关系布里渊区边界包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢。这和定理“一组倒格矢G决定了可能存在的X射线反射”是一致的。由弹性散射的衍射条件得从原点出发，布里渊区边界总是垂直方向，并且距离原点的距离是，因此满足的波矢都在布里渊区边界处（注意不一定是第一布里渊区边界）。7 什么是晶格的结构因子。体心立方、面心立方、金刚石结构的结构因子。1 晶体的结构因子对于一个含有N个晶胞晶体，把衍射条件式代入散射振幅表达式，散射振幅可写

16、成其中就是结构因子，它的对象是晶胞。对电子数密度展开，并定义原子的形式因子（对象是原子），可得结构因子的具体表达式为其中j是一个晶胞里的第j个原子（注意不一定的原胞，更多的是惯用晶胞）。2 体心立方、面心立方、金刚石结构的结构因子1）体心立方结构惯用晶胞中含有两个全同原子，分别处于。2）面心立方结构惯用晶胞中含有四个全同原子，处于。3）金刚石结构惯用晶胞中含有八个全同原子，处于、。（用排列组合法）8 什么是晶体的内聚能、晶格能。哪些宏观物理量可以定性表征内聚能的大小。固体的内聚力应全部归因于电子的负电荷与原子核的正电荷之间的静电吸引相互作用。磁力对内聚力影响微弱，万有引力可以忽略，而强弱相互作

17、用是短程力，只作用于原子核内。由于最外层电子分布和离子实排列上的不同，将引起凝聚物质实际存在形式之间的差别。1 The cohesive energy（内聚能）:the energy that must be added to the crystal to separate its components into neutral free atoms at rest, at infinite separation, with the same electronic configuration.2 The lattice energy（晶格能） (for ionic crystals): the

18、 energy that must be added to the crystal to separate its component ions into free ions at rest at infinite separation.3 定性地表征内聚能大小的宏观物理量Generally, the higher the melting temperature, the bigger the cohesive energy, and also the bigger bulk modulus (体弹性模量).9 范德瓦耳斯力的本质是什么。如何理解Lennard-Jones势。1 范德华尔斯力范

19、德华尔斯力的本质是感生偶极子-偶极子相互作用，并且是一个吸引的相互作用。建立一个相应的简单模型（一个谐振子内部只有谐势项，没有电荷间的库伦势）。其中。两谐振子之间的库仑相互作用能（类电偶极矩相互作用项）通过正则变换（对角化处理），并对得到的两个独立频率进行泰勒展开，即可比较谐振子结合前和结合后的零点能量，计算为由此可见是一个吸引相互作用，系统的零点能量将由于偶极子-偶极子的耦合而降低。以原零点能为能量的零点，即可得到该相互作用势为。1）当时，从这一意义上讲，范德华尔斯相互作用是一种量子效应。（考虑量子修正，存在量子动能，其中原子愈重，量子修正愈小）2）范德华尔斯相互作用的存在不依赖于两个原子的

20、电荷密度的任何交叠。2排斥相互作用当两个原子相互靠近时，它们的电荷分布将逐渐发生交叠，从而引起系统的静电能发生变化。在两原子距离足够近时，交叠能是排斥性的，其中大部分贡献来自泡利不相容原理。常用的排斥相互作用的经验势有幂次方形式和指数形式的，即。3 Lennard-Jones势Lennard-Jones势包括吸引部分和排斥部分，为后面的形式更有物理意义，因为是特征量。当晶体处于平衡状态时，晶格常数为，即此时伦纳德势（内聚能）最小，导数为零。10 Madelung能和共价键的本质是什么。1 Madelung能离子晶体的结合能主要来源于静电能的贡献，这一静电能被称为马德隆能。因此，马德隆能的本质是

21、静电能。即带电荷为的离子之间存在着长程相互作用，它包括带异号电荷离子的静电吸引相互作用和带同号电荷离子之间的静电排斥作用。在离子晶体中，忽略范德华尔斯相互作用（伦纳德势的吸引部分），但仍然存在由于电子密度分布交叠引起的排斥势（只要由电子密度交叠，泡利不相容原理就产生排斥势，在离子晶体里电荷密度大致呈球对称分布），为短程的相互作用，用指数形式表示，即。因此，结合马德隆能和排斥势，只计及最近邻间的排斥相互作用，对于N个分子（2N个离子），晶格能为其中z是任一离子的最近邻数，并且定义马德隆常数在达到平衡位置时，由此可得到有关平衡间距的表达式，代回式2 共价键共价键是指两个或多个原子共同使用它们的外层

22、电子，在理想情况下达到电子饱和的状态，由此组成比较稳定的晶体结构。其本质是电子密度交叠后，高概率地出现在两个原子核之间的电子与两个原子核之间的静电作用。1）饱和性：每个原子形成的共价键总数是一定的。2）strong directional properties3）spins of the electron in the bond are antiparallel. 共价键以反平行自旋电子的电荷分布相互重叠为特征。在自旋反平行下，泡利原理贡献在排斥作用中的分量减少，这使得更大程度的交叠成为可能。这是令人惊讶的事，因为在离子键中电荷密度交叠导致了很大的排斥能，在共价键中尽管泡利原理仍然使排斥能存在，但重叠电荷使得吸引力比排斥大。也就是说，在共价键中，无论是吸引能还是排斥能，都是由电荷密度交叠引起。如果要算内聚能，还是吸引能和排斥能共存。4）共价键与离子键之间没有