打印版 信号与系统3

1、 第第内容摘要1 页页一.周期信号的傅里叶级数三角形式：单边频谱形式指数形式：双边频谱频谱：离散性、谐波性、收敛性周期矩形脉冲信号的频谱特点二.傅里叶变换定义及傅里叶变换存在的条件典型非周期信号的频谱冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换性质应用：调制和解调频分复用周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成抽样信号的傅里叶变换抽样定理应用：时分复用X 第第例题2 页页例题1：傅里叶级数频谱图例题2：傅里叶变换的性质例题3：傅里叶变换的定义例题4：傅里叶变换的性质例题5：傅里叶变换的性质例题6：傅里叶变换的性质例题7：傅里叶变换的性质、频响特性例题8：傅里叶变换的性质例题9：抽样定理例题10：周期信号的傅

2、里叶变换X 第第例3-11 页页周期信号 6 2 3 ( )f t = 3cost + sin5t + 2cos8t 1.画出单边幅度谱和相位谱；2.画出双边幅度谱和相位谱。 6 2 2 3 ( )f t = 3cost + cos5t + + 2cos8t + = 3cost + cos5t + 2cos8t + 1 3 3 X 第第2 页页单边幅度谱和相位谱cn321n13O1 2 3 4 5 6 7 8O1 2 3 4 5 6 7 8 13双边幅度谱和相位谱Fn n1332 85 5O1 2 3 46 7 8121O 1 2 1 8 53 4 5 6 7 83X 第第例3-21 页页(

3、)求信号f (t)的傅里叶变换F 。f (t)2101t分析：f(t)不满足绝对可积条件，故无法用定义求其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解。下面用三种方法求解此题。方法一：利用傅里叶变换的微分性质方法二：利用傅里叶变换的积分性质方法三：线性性质X 第第方法一：利用傅里叶变换的微分性质2 页页f (t)要注意直流，设fA(t)为交流分量，fD(t)为直流分量，则21( ) ( ) ( )f t f t + f tAD01f A(t)tt( ) ( ) ( )F = F + F AD1 2其中0 1 21132( ) ( ) ( )f D t = f + f =2( )f t

4、AFD() = 3()10( ) ( )f t = f t1tAX 第第3 页页 1( )Q f A t = G1t 2 ( ) = Sa jFA j e 2 2 j j Sa e( )FA = 2 j j Sa e( ) ( ) ( )+ 3()F = F + F =ADX 第第方法二：利用傅里叶变换的积分性质4 页页f (t)( )f t = 1+ f1(t) f1(t)为f 2(t)的积分21 F2() = Sa j e 2 01t 1j 2 f1(t)( ) ( )F1 =+ Sa je10 j Sa e1tt 2 j( )f2(t)= + Sa e j 2 10( ) ( ) ( )

5、F = F 1 + F = 3 +11jX 第第方法三：利用线性性质进行分解5 页页f (t)此信号也可以利用线性性2质进行分解，例如101t( )f t = u(t) + (t + 1) u(t) u(t 1) + 2u(t 1)bbb( ) e j + 1 e j2j1 1 2j j( )2 + e j j(j)21 e j( )F = (j)2+ 3()X 第第例3-31 页页已知信号f(t)波形如下，其频谱密度为F(j)，不必求出F(j)的表达式，试计算下列值：f (t)(1) F() =01(2) ( )F d1 O1t( ) ( ) ( ) jt1 F = f tedt( ) (

6、) ( ) F 0 = F = f t dt = 1.5=0X 第第2 页页12(2)f (t)= ( )j tF de令t=0，则1( ) ( )f 0 = 2F d则 ( )( )F d = 2 f 0 = 2X 第第例3-41 页页已知F1() = Ff1(t),利用傅里叶变换的性质 ,求F2() = Ff1(6 2t)。方法一：按反褶尺度时移次序求解F1() = Ff1(t)已知 ( ) ( )F f t = F 对t反褶11.1 F f 2t = F 对t压缩2倍 1( ) 12 2 对t时移 6 ,得 F f 6 2t F e j31 ( ) =1122 2 X 第第2 页页方法二

7、：按反褶时移尺度次序求解( ) ( )F1 = F f t已知1 ( ) ( )F f t F 对t反褶11 ( ) ( )F f 6 t F e j6 = 对t时移6,得111 12 2 ( ) =e j3对t压缩2倍 F f 6 2t F 1方法三利用傅里叶变换的性质t0a 1 jF e = 0a a ( )F f at t这里a = -2,t0 = 6代入上式，得1 12 2 ( )F f 6 2t = F e j31其它方法自己练习。X 第第例3-51 页页 Et( )已知升余弦信号f t( )0 t ,1+ cos 2利用频移性质求其频谱密度函数，并与矩形脉冲信号 f1(t) = E

8、 ut + ut 的频谱比较。 2 2解：j tj tE EE( ) ( ) ( )f t = + e + e u t + u t 2 44E E 2 E Sa( )Sa Sa + 2 X 第第升余弦脉冲的频谱2 页页f(t)EE2E Sa( ) OtE 22F()Sa + 2 EE ESa2 2O 234X 第第比较3 页页f(t)Ef1(t)E2 Ot22升余弦脉冲信号的频谱比矩形脉冲的频谱更加集中 ( )F()F =ESa 1 2 EO 324 X 第第例3-51 页页 Et( )已知升余弦信号f t1+ cos 0 t ，2利用频移性质求其频谱密度函数，并与矩形脉冲信号 f1(t) =

9、 E ut + ut 的频谱比较。 2 2解：j tj tE EE( ) ( ) ( )f t = + e + e u t + u t 2 44E E 2 E Sa( )Sa Sa + 2 X 第第2 页页f(t)EE2E Sa( ) OtE 22F()Sa + 2 EE ESa 2 2O 324 X 第第例3-6已知双Sa信号1 页页f (t) = Sa(ct) Sac(t 2)c试求其频谱。 f0(t) = c Sa(ct)令因f0(t)为Sa波形，其频谱F0()为矩形。f0(t)和f (t)的波形如图(a),(b)所示。f0(t)F0()C.1Co CotX(a)(b) 第第f0(t 2

10、)的波形如图(c)所示。已知2 页页 f0(t 2)( < c1) ( )2F f t =o0( < c )0t由时移特性得到(c)e j2( < c )( < c ) ( )F f t 2 =00因此f (t)的频谱等于F() = Ff 0(t) Ff0(t 2)1 e j2( < c )( < c )= 0X 第第3 页页从中可以得到幅度谱为2sin( )( < c )( < c )( )F = 0在实际中往往取 = ,此时上式变成c ( < c )( < c )2sin0F() = c 双Sa信号的波形和频谱如图（d）（e）所示

11、。X 第第4 页页F()f (t)2Co2tCCo(e)(d)X 第第例3-7-81 页页f (t)求图(a)所示函数的傅里叶变换。1( )引入辅助信号 f1 t ,如图 (b).ott1( )F 由对称关系求(a)1f1(t)F1() = G2 ()1又因为of (t) = f1(t 1)1 1得(b)F() = F1()e j = G2 ()e j频谱图X ( )F1 由对称关系求f 1 (t)F1( )f1(t)1ot1 1F1 (t)2f 1 ( )(b)f1(t)(t )2f1()( )F1( )F t1( t) (t ) G (t) Sa 2 已知且由图(b)可得 f1(t) =

12、Sa(t) 2所以由对称性，( ) ( ) ( ) ( )2f1 = 2 Sa G t = F t21 F1() = G2 ()X 第第幅频、相频特性3 页页幅频、相频特性分别如图（c)(d)所示。| F() |()100(c)(d)幅度频谱无变化，只影响相位频谱右 t0相移t0左 t0X 第第例3-81 页页1 cost t +已知信号 f (t) t >0求该信号的傅里叶变换。分析：该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号G2 (t)的截取，看成是周期信号( )+ 经过门函数1 cost( ) ( )也可以看成是G2 t被信号 1 cost+调制所得的信号.有以下三种解法:方法一：利

13、用频移性质方法二：利用频域卷积定理方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性X 第第方法一：利用频移性质2 页页利用频移性质：由于( )f (t) = 1+ cost G2 (t)( )+利用欧拉公式，将 1 cost化为虚指数信号，( )被虚指数信号调制的f (t)就可以看成是门函数 G2 t结果。在频域上，就相当于对 G2 (t)的频谱进行平移。( )f (t) = 1+ cost G2 (t)1 e jt e G2 (t)= + 2 2 11 jt又因G2 (t) 2 Sa = 2sin( )X 第第3 页页所以根据频移性质，可得F() = Ff (t)11( )( ) 2sin 1 2si

14、n + 1+= 2sin+ 22 1 + 1= 2sin( ) 21X 第第方法二：用频域卷积定理4 页页( )经过窗函数 G2 t的截取，( )将 f (t)看成是信号 1 cost+即时域中两信号相乘( )f (t) = 1+ cost G2 (t)根据频域卷积定理有1( ) ( )F = F 1+ cost F G t22122sin ( ) ( ) ( )= 2 + 1 + + 1 = 2sin( )2 1X 第第方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性 5 页页f (t)信号f(t)是余弦函数的截断函数，而余2弦函数的二次导数又是余弦函数。利用傅里叶变换的时域微积分特性可以列方 tf

15、t2程求解。( )21( ) ( ) ( ) f t , f t , f t的波形为：2 t由图可知21( )f t( )f t = costG2 (t)= f t G (t)21 ( ) t212X 第第6 页页对上式两端取傅里叶变换，可得2sin (j)2 ( ) ( )F = F 即2sin( ) ( )1 F =2由于f (t)和f (t)均为能量信号，其傅里叶变换在 0( )( )处都等于0,根据时域积分特性，F 中不可能含有 项，因此可将（1 2）项移到方程右边，即2sin( )F = ( )2 1X 第第例3-91 页页求信号f (t) = Sa(100t)的频宽（只计正频率部分

16、），若对f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN和奈奎斯特周期TN。(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变换F()已知 ( )G t Sa 2 令 = 100 ,则2002G200(t) 200Sa(100)X 第第2 页页1 G200(t) Sa(100)即200利用傅里叶变换的对称性1( )( )( )Sa 100t 2 G200 = G200 200100f(t)的波形和频谱图如下f t( )F()1100t100 0100100100所以信号的频带宽度为 50 Hz fm = = m = 100rad/ sm X2 第第（2）3 页页最高抽样频率（奈奎斯特频率）为100

17、f N= 2 f m = Hz奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为1 TN = = sf 100NX 第第例3-101 页页已知周期信号f(t)的波形如下图所示，求f(t)的傅里叶变换F()。f (t)1LL34 11 2 14O12t1412分析：求信号的傅里叶变换一般有两种解法。( )方法一：将信号转化为单周期信号与单位冲激串 tT的卷积，用时域卷积定理来求解；方法二：利用周期信号的傅里叶级数求解。X 第第方法一2 页页将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积。 1 t 3截取f(t)在的信号构成单周期信号 f1(t)，即有22132f (t) t f1(t) =20t为其它值1 ( ) Sa 1 e则 jf1(t) = G 1 (t) (t) (t 1) 2 4 2易知f(t)的周期为2，则有f (t) f1(t) T (t)T 22( )T (t) 1 = =1 T1( )= nXn= 第第3 页页由时域