含有耦合电感的电路

1、 第十章第十章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路 重点：重点： 1. 1.互感和互感电压互感和互感电压 3. 3.含互感电路的计算含互感电路的计算 4. 4.变压器和理想变压器原理与分析变压器和理想变压器原理与分析 2. 2.同名端的应用同名端的应用magnetically coupled circuits10-1 10-1 互感互感 10-2 10-2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算 10-3 10-3 耦合电感的功率耦合电感的功率 10-4 10-4 变压器原理变压器原理 10-510-5 理想变压器理想变压器 目目 录录10-1 互互 感（感（mutual induct

2、ance） 由法拉第电磁感应定律可知：只要线圈的磁通由法拉第电磁感应定律可知：只要线圈的磁通(magnetic flux)发生变化，就会在线圈中产生感应电动势，不论磁通变化发生变化，就会在线圈中产生感应电动势，不论磁通变化是否由本线圈电流引起。是否由本线圈电流引起。互感现象：互感现象：由于邻近线圈电流的变化而引起另一感应电动势由于邻近线圈电流的变化而引起另一感应电动势（感应电压）的现象。（感应电压）的现象。 发生互感现象的两个线圈称互感耦合（磁耦合）线圈，发生互感现象的两个线圈称互感耦合（磁耦合）线圈，简称互感线圈。简称互感线圈。下面是利用互感的实际例子。下面是利用互感的实际例子。变压器变压器

3、变压器变压器有载调压变压器有载调压变压器小变压器小变压器调压器调压器整流器整流器牵引电磁铁牵引电磁铁电流互感器电流互感器电抗器电抗器1.有关概念有关概念：以以 2 个线圈为例个线圈为例(上图所示上图所示)： 线圈线圈1(电感为电感为L1)的匝数为的匝数为N1，线圈线圈2(电感为电感为L2)的匝数的匝数为为N2。它们各自的绕向如图它们各自的绕向如图。i1为流入线圈为流入线圈1的电流的电流，i2为为流流入线圈入线圈2的电流的电流，方向如图方向如图。线圈各端子的编号如图所示线圈各端子的编号如图所示。+u11u21i1 11 21N1N2 1 212i2 22 21+u12+u22+_u1+_u2 当

4、线圈当线圈1 通以电流通以电流 i1 时时，i1 在线圈在线圈1 中将产生中将产生自感磁通自感磁通 11， 11交链线圈交链线圈1产生产生自感磁通链自感磁通链11。 11的一部分的一部分(或全部或全部)将交链另一线圈将交链另一线圈2，用用 21表示表示， 21 11。 21交链线圈交链线圈 2产产生生互感磁通链互感磁通链21。这种一个线圈的磁通交链另一线圈的现象这种一个线圈的磁通交链另一线圈的现象，称为称为磁耦合（互感耦合）磁耦合（互感耦合）。 21称为称为耦合磁通耦合磁通，或或互感磁通互感磁通；电流电流 i1 称为称为施感电流施感电流。+u11u21i1 11 21N1N2 1 212 当线

5、圈当线圈 1 中的电流中的电流 i1 变动时变动时，自感磁通自感磁通 11随电流而变随电流而变动。根据电磁感应定律，除了在线圈动。根据电磁感应定律，除了在线圈 1 中产生自感电压中产生自感电压u11外，还将通过互感磁通外，还将通过互感磁通 21在线圈在线圈 2 中也产生感应电压，这中也产生感应电压，这个电压称为个电压称为互感电压互感电压，记为，记为u21。如果根据线圈如果根据线圈 2 的绕向来的绕向来选择选择u21和和 21的参考方向，使它们符合右螺旋定则，则有的参考方向，使它们符合右螺旋定则，则有tudd2121 其中其中 。21221 N 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈

6、空心线圈)时，有时，有 ) ( dd 1212112121iMtiMu 其中其中M21称为称为互感系数互感系数， 单位为单位为H(亨亨)。+u11u21i1 11 21N1N2 1 212 同理同理，当线圈当线圈 2 通以电流通以电流 i2 时时，i2 在线圈在线圈 2 中将产生自中将产生自感磁通感磁通 22 ， 22交链线圈交链线圈 2产生产生自感磁通链自感磁通链22 。 22的一部的一部分分(或全部或全部)将交链另一线圈将交链另一线圈 1，用用 12表示表示， 12 22。 12 交链线圈交链线圈 1 产生产生互感磁通链互感磁通链12。 12称为称为耦合磁通耦合磁通，或或互感互感磁通磁通；

7、电流电流 i2 称为称为施感电流施感电流。 当线圈当线圈 2 中的电流中的电流 i2 变动时，会在线圈变动时，会在线圈 1 中产生互感电中产生互感电压压u12。按照右螺旋定则规定按照右螺旋定则规定u12和和 12的参考方向时，有的参考方向时，有tudd1212 其中其中 。12112 N 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，有时，有 ) ( dd 2121221212iMtiMu 其中其中M12称为称为互感系数互感系数， 单位为单位为H(亨亨)。 可以证明可以证明：M12= M21，所以当只有所以当只有 2 个线圈个线圈(电感电感)有耦有耦合时，可以略去合时，可以略

8、去M的下标，即可令的下标，即可令M12= M21= M。双下标的含义双下标的含义 第第 1个下标表示该磁通个下标表示该磁通(链链)所在线圈的编号，第所在线圈的编号，第2 个下标个下标表示产生该磁通表示产生该磁通(链链)的施感电流所在线圈的编号。的施感电流所在线圈的编号。+u11u21i1 11 21N1N2 1 212i2 22 21+u12+u22+_u1+_u22.互感线圈的同名端互感线圈的同名端： （1）定义：）定义： 按右螺旋定则所规定的互感电压的正极性按右螺旋定则所规定的互感电压的正极性( (或或参考方向参考方向) )与施感电流的参考方向和与施感电流的参考方向和 2 个线圈的绕向都有

9、关系。个线圈的绕向都有关系。研究表明，研究表明，施感电流流进线圈的端子施感电流流进线圈的端子(简称为进端简称为进端)与其互感电与其互感电压压(在另一个线圈中在另一个线圈中)的正极性端总有的正极性端总有一一对应一一对应的关系的关系。工程上工程上把具有上述对应关系的这对端子称为两耦合（互感）线圈的把具有上述对应关系的这对端子称为两耦合（互感）线圈的同同名端名端，并用相同的符号如并用相同的符号如“*”或或“”“”“”将它们标记出来。将它们标记出来。这样就可以把这样就可以把 2 个耦合线圈用带有同名端标记的电感个耦合线圈用带有同名端标记的电感 L1和和 L2来表示来表示。i1*L1L2+_u1+_u2

10、M+u11u21i1 11 21N1N2 1 212+_u1+_u2*（2）同名端同名端 另一定义另一定义：同名端判定方法同名端判定方法 当当 2 个电流分别从个电流分别从 2 个线圈的对应端子流入个线圈的对应端子流入，其所产生其所产生的磁场相互加强时的磁场相互加强时，则这则这 2 个对应端子称为个对应端子称为同名端，同名端，否则称否则称异名端异名端。+u11u21i1 11 21N1N2 1 212i2 22 21+u12+u22+_u1+_u2上图上图1 和和 2 为同名端，为同名端， 1 和和 2 也也为同名端为同名端。（3）同名端同名端 的标记方法的标记方法：1)使耦合线圈之一通以施感

11、电流使耦合线圈之一通以施感电流( (指定参考方向指定参考方向) )，根据载，根据载 流线圈的绕向按右螺旋关系确定其它耦合线圈中互感磁流线圈的绕向按右螺旋关系确定其它耦合线圈中互感磁 通的方向，再根据互感磁通与所在线圈的绕向按右螺旋通的方向，再根据互感磁通与所在线圈的绕向按右螺旋 关系一一确定每一个耦合线圈中互感电压的正极性端，关系一一确定每一个耦合线圈中互感电压的正极性端， 则互感电压的正极性端与施感电流的进端构成同名端则互感电压的正极性端与施感电流的进端构成同名端。+u11+u21i1 11 0N1N2+u31N3 s*2)当当 2 个线圈中的电流同时由同名端流入个线圈中的电流同时由同名端流

12、入(或流出或流出)时，这时，这 2 个电流所产生的磁通相互增强。个电流所产生的磁通相互增强。3)当有增大的施感电流从一线圈的一端流入时，将会引起当有增大的施感电流从一线圈的一端流入时，将会引起 另一线圈相应同名端的电位升高。另一线圈相应同名端的电位升高。 i1122*112233* 注意注意： 一个线圈一个线圈(电感电感)可以不止和一个线圈可以不止和一个线圈(电感电感)有磁耦合关有磁耦合关系；当有系；当有 2 个以上线圈个以上线圈(电感电感)彼此之间存在磁耦合时，同名彼此之间存在磁耦合时，同名端应当一对一的加以标记，端应当一对一的加以标记，每对每对耦合线圈的同名端必须用不耦合线圈的同名端必须用

13、不同的符号来标记。同的符号来标记。112233* 互互为为同同名名端端。和和、和和、和和则则 3 2 3 1 2 1 * （4）同名端的实验测定同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时时，i 增加增加：当断开当断开S时，如何判定时，如何判定？ 当当 2 个线圈装在黑盒里，只引出个线圈装在黑盒里，只引出 4 个端子，要确定其同个端子，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。名端，就可以利用上面的结论来加以判断。i1*L1L2+_u1+_u2i2M 11 = L1 i1 =20Wb 2

14、2 = L2 i2 =15cos(10t) Wb 21 = M i1 =10Wb 12 = M i2 = 5cos(10t) Wb 1 = L1 i1 + M i2 =20+ 5cos(10t) Wb 2 = M i1 + L2 i2 =10+ 15cos(10t) Wb3.由同名端及由同名端及u，i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程:伏安关系伏安关系 有了同名端，以后表示有了同名端，以后表示 2 个线圈相互作用，就不再考个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，即不用画出线圈，而只画出同名端及参考方虑实际绕向，即不用画出线圈，而只画出同名端及参考方向即可。互感电压的极性可

15、以这样判断：当电流从一线圈向即可。互感电压的极性可以这样判断：当电流从一线圈(电感电感)的同名端指向另一端（流入）时，在与其耦合的线圈的同名端指向另一端（流入）时，在与其耦合的线圈中，由该电流产生的互感电压也从同名端指向另一端。中，由该电流产生的互感电压也从同名端指向另一端。i1*L1L2+_u1+_u2M+u11u21i1 11 21N1N2 1 212+_u1+_u2*tiMuudd1212 ) cos(2 , ) cos(2 21212111utUutIi 设设)90 cos(2) sin(2 o11121 tMItMIdtdiMu 则则由此可以写出以下相量形式表达式由此可以写出以下相量

16、形式表达式：1o12190IMjIMU 上式表明互感电压超前产生它的施感电流上式表明互感电压超前产生它的施感电流90o 。称称为为互互感感抗抗。，可可令令 MMjZM 当彼此耦合的电感都通以电流时，每一个电感中的磁通当彼此耦合的电感都通以电流时，每一个电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和代数和。对第对第 k 个个电感有电感有 ，式中凡与，式中凡与 (自感磁通链自感磁通链)同向的同向的互感磁通链前面取正号，反之取负号。互感磁通链前面取正号，反之取负号。 kjkjkkkkk tiMuudd1212 与此相应，各个耦合电感上的电压将等于自感电压与

17、相与此相应，各个耦合电感上的电压将等于自感电压与相应互感电压的应互感电压的代数和代数和。对第对第 k 个电感有个电感有 kjjkjkkkjkjkkkjkjkkkdtdiMdtdiLdtddtduuu 式中凡与自感电压同向的互感电压前面取正号，反之取负号式中凡与自感电压同向的互感电压前面取正号，反之取负号。tiMujkjkjdd ij*ukj+MkjtiMujkjkjdd ij*ukj_+Mkj注意：注意：由于参考方向的选取不同，电压电流关系式中的符号不同由于参考方向的选取不同，电压电流关系式中的符号不同：自感电压自感电压看自身线圈电压电流参考方向看自身线圈电压电流参考方向是否关联是否关联；互感

18、电压互感电压看该电看该电压的参考方向与产生此电压的电流参考方向对压的参考方向与产生此电压的电流参考方向对同名端是否一致同名端是否一致。如以下如以下 2 种情况种情况：例例1：写出图示电路电压、电流关系式：写出图示电路电压、电流关系式tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1i2M*L1L2+_u1+_u2tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i2i1*L1L2+_u1+_u2Mi1i2*L1L2+_u1+_u2M*i1L1L2+_u1+_u2i2M)tsin(dtdiL dtdiMu )tsin(dtdiM dtdiLu10150105022

19、122111 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mu1u2例例3 ttttiMtu2 0s21V 10s10V 10dd)(12 tstttttiLiRtu2 0s21V 150 100s10 V 50 100dd)(111 ttttti2 0s21 1020s10 101解解10210i1/At/s*R1R2i1L1L2+_u+_u2M求求)()(H,1,H2,H5,102211tutuMLLR和和已知已知W电流波形如图电流波形如图tiMtiLuuudddd21112111 tiLtiMuuudddd22122212 +i1*L1L2+_u1_u2i2M+_+_+_+_u11u12u21u2

20、221112111IMjILjUUU 22122212ILjIMjUUU +*L1L2+_+_1I2IMj 1U11U12U2U21U22U+_+_+_1I2I1U2U1Lj 2Lj +_+_2IMj 1IMj 用用CCVS进行等效进行等效：(相量形式相量形式)4. 互感线圈电压电流关系互感线圈电压电流关系（伏安关系）伏安关系）的相量形式的相量形式tiMtiLuuudddd21112111 tiMtiLuuudddd12221222 +i1*L1L2+_u1_u2i2M+_+_+_u11u12u21u2221112111IMjILjUUU 12221222IMjILjUUU +*L1L2+_+

21、_1I2IMj 1U11U12U2U21U22U+_+_+_1I2I1U2U1Lj 2Lj +_+_2IMj 1IMj 用用CCVS进行等效：进行等效：(相量形式相量形式) 5.耦合系数耦合系数 k 工程上为了定量地描述工程上为了定量地描述 2 个耦合线圈的耦合紧密程度，定个耦合线圈的耦合紧密程度，定义耦合因（系）数义耦合因（系）数 k 如下如下:1 0 21221112def LLMiLMiiLMik22211112def| k | | 12122222121111MiiLMiiL ，互感磁链与自感磁链比值互感磁链与自感磁链比值的几何平均值的几何平均值 互感互感M的量值反映了一线圈在另一线圈

22、中产生磁通的能力，的量值反映了一线圈在另一线圈中产生磁通的能力，两个耦合线圈的磁通一般只有部分交链，彼此不交链的部分称漏两个耦合线圈的磁通一般只有部分交链，彼此不交链的部分称漏磁通。磁通。当当 k=1 时，称之为时，称之为全耦合全耦合现象现象。互感现象的利与弊：互感现象的利与弊：利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用；采用屏蔽。克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用；采用屏蔽。1122k1思考思考什么情况下什么情况下 k0 ？ k的大小与的大小与 两两 个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质

23、有关。关。改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因数的大小；改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因数的大小；越近越近k越大，当越大，当 L1 和和 L2 一定时，也就相应地改变了互感系数一定时，也就相应地改变了互感系数 M 的大小。的大小。说明说明：10-2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算 含有耦合电感电路的正弦稳态分析仍可以采用相量法。含有耦合电感电路的正弦稳态分析仍可以采用相量法。KCL的形式不变的形式不变；在在KVL的表达式中，应正确计入由于互感的表达式中，应正确计入由于互感的作用而引起的互感电压。当某些支路具有耦合电感时，这的作用而引起的互感电压。当某些支路具有耦合电感

24、时，这些支路的电压将不仅与本支路电流有关，同时还将与那些与些支路的电压将不仅与本支路电流有关，同时还将与那些与之有互感关系的支路电流有关。之有互感关系的支路电流有关。 一般情况下，对于含有耦合电感的电路，可以列写一般情况下，对于含有耦合电感的电路，可以列写KCL方程方程、KVL方程和回路方程和回路(网孔网孔)方程；列写结点电压方程将遇方程；列写结点电压方程将遇到困难，较少使用。到困难，较少使用。21112111IMjILjUUU 22122212ILjIMjUUU +*L1L2+_+_1I2IMj 1U11U12U2U21U22U+_+_1.1.互感线圈的串联互感线圈的串联1)1)顺顺( (同

25、）向串联同）向串联dtdiMdtdiLiRu211111 i1MR1R2L1L2u+*u1+u2+*i2i21iii 21uuu dtdiMdtdiLiRu122222 dtdiMdtdiLiR 11dtdiMdtdiLiR 22dtdiMLLiRRuuu)2()(212121 dtdiLiReqeq dtdiMLiR)(11 dtdiMLiR)(22 MLLLRRReqeq2 2121 iLeqRequ+等效等效也可通过其相量形式也可通过其相量形式的电路方程来分析的电路方程来分析211111IMjILjIRU 21III 21UUU IMjILjIR 11IMLLjIRRUUU)2()(21

26、2121 ILjReqeq)( eqeqeqeqeqLjRZMLLLRRR 2 2121MR1R2L1L2+*+*I1I2IU1U2UIMLjIR)(11 122222IMjILjIRU IMLjIR)(22 IMjILjIR 22ReqLeq+IU等效等效顺向串联的另一种等效电路顺向串联的另一种等效电路R1R2+ML 1ML 2IU1U2U 顺向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比顺向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗大无互感时的阻抗大( (电抗变大电抗变大) )，此时互感起，此时互感起加强加强作用。作用。)(111MLjRZ )(222MLjRZ )2()(

27、2121MLLjRRZeq 2)2)反（逆）向串联反（逆）向串联i1MR1R2L1L2u+*u1+u2+*i2i21iii 21uuu dtdiMLLiRRuuu)2()(212121 dtdiLiReqeq dtdiMdtdiLiRu211111 dtdiMdtdiLiR 11dtdiMLiR)(11 dtdiMdtdiLiRu122222 dtdiMdtdiLiR 22dtdiMLiR)(22 02 2121 MLLLRRReqeqiLeqRequ+等效等效也可通过其相量形式也可通过其相量形式的电路方程来分析的电路方程来分析21III 21UUU IMLLjIRRUUU)2()(21212

28、1 ILjReqeq)( eqeqeqeqeqLjRZMLLLRRR 2 2121MR1R2L1L2+*+*I1I2IU1U2U211111IMjILjIRU IMjILjIR 11IMLjIR)(11 122222IMjILjIRU IMLjIR)(22 IMjILjIR 22ReqLeq+IU等效等效反向串联的另一种等效电路反向串联的另一种等效电路R1R2+ML 1ML 2IU1U2U 反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗小无互感时的阻抗小( (电抗变小电抗变小) )，此时互感起，此时互感起削弱削弱作用。作用。)(1

29、11MLjRZ )(222MLjRZ )2()(2121MLLjRRZeq 3)3)相量图相量图*+R1R2j L1+j L21U2Uj MUI 1212()(2)URR IjLLM IIIR1ILj1 IMj IR2ILj2 IMj 1U2UU相量图相量图：( (a) )顺向串联顺向串联( (b) )反向串联反向串联ILj2 IMj IIR2IR11UILj1 IMj U2U 将将 两两个互感线圈个互感线圈顺接一次，再反接一次顺接一次，再反接一次，分别测出分别测出顺接顺接与反接时各自的总等效阻抗与反接时各自的总等效阻抗 Z顺顺 和和 Z反反 ，4 反反顺顺LLM 4)互感的测量方法互感的测量

30、方法顺顺顺顺顺顺LjRMLLjRRZ )2()( 2121反反反反反反LjRMLLjRRZ )2()(2121MLLL2 21 顺顺即即MLLL221 反反例：例： 图示电路中，正弦电压的图示电路中，正弦电压的U=50V，R1=3 W W， L1=7.5 W W, R2=5 W W， L2=12.5 W W, M=8 W W。求该耦合电感的耦合。求该耦合电感的耦合因数因数K和该电路中每个电感元件吸收的复功率。和该电路中每个电感元件吸收的复功率。i*u2+MR1R2L1L2u1+u+826.05.125.78)(2121 LLMLLMk AVjZISAVjZISAZUIVUjZZZjMLjRZj

31、MLjRZ W W W W W W )63.14025.156()63.1575.93(57.2659.5/,050485 .45)(5 .03)(222121.21222111：各各支支路路吸吸收收的的复复功功率率为为则则：令令 1)同侧并联同侧并联并联且同名端连接在同一个结点上并联且同名端连接在同一个结点上2.互感线圈的并联互感线圈的并联*ML1L2+IU1U1RU2U2RU1R2R+_+_+1I2I11UUUR 21111IMjILjIR 2111)(IMjILjR 22UUUR 12222IMjILjIR 1222)(IMjILjR 则则，令令 222111MjZLjRZLjRZM 2

32、11IZIZUM 221IZIZUM 211IZIZUM 221IZIZUM UZZZZZIMM 22121UZZZZZIMM 22112UZZZZZZIIIMM 22121212MMeqZZZZZZZ221221 时时，当当 0 21 RReqeqLjMLLMLLjZ 2 21221有有*ML1L2+IU1U1RU2U2RU1R2R+_+_+1I2I0221 MLL同侧并联使等效电感增加同侧并联使等效电感增加2) 异侧并联异侧并联并联且同名端连接在不同的结点上并联且同名端连接在不同的结点上*ML1L2+IU1U1RU2U2RU1R2R+_+_+1I2I11UUUR 21111IMjILjIR

33、 2111)(IMjILjR 22UUUR 12222IMjILjIR 1222)(IMjILjR 则则，令令 222111MjZLjRZLjRZM 211IZIZUM 221IZIZUM UZZZZZIMM 22121UZZZZZIMM 22112UZZZZZZIIIMM 22121212MMeqZZZZZZZ221221 时时，当当 0 21 RReqeqLjMLLMLLjZ 2 21221有有2111)(IMjILjRU 1222)(IMjILjRU *ML1L2+IU1U1RU2U2RU1R2R+_+_+1I2I异侧并联使等效电感减小异侧并联使等效电感减小1）同同（异异）侧并联时的去耦

34、等效电路）侧并联时的去耦等效电路2111)(IMjILjRU 1222)(IMjILjRU 21III )()(1111IIMjILjRU IMjIMLjR 111)()()(2222IIMjILjRU IMjIMLjR 222)(根据上述方程可获得无互感根据上述方程可获得无互感等效电路等效电路( (去耦等效电路去耦等效电路) )注意去耦等效电路中的结点注意去耦等效电路中的结点3.互感消去法互感消去法:*ML1L2+IU1U1RU2U2RU1R2R+_+_+1I2I1+IU1R2R1I2IML 1ML 2M 12上面的符号对上面的符号对应同侧并联应同侧并联2 2）去耦等效去耦等效( (两电感有

35、公共端两电感有公共端) )21113IMjILjU 12223IjILjU 21III 整理得整理得IMjIMLjU 1113)(IMjIMLjU 2223)( (a) )同名端接在一起同名端接在一起*j L1I1I2I123j L2j Mj (L1M)I1I2I123j (L2M)j M等效电感与电流的参考方向无关等效电感与电流的参考方向无关(b) 非同名端接在一起非同名端接在一起21113IMjILjU 12223IjILjU 21III 整理得整理得IMjIMLjU 1113)(IMjIMLjU 2223)(*j L1I1I2I123j L2j Mj (L1+M)I1I2I123j (L

36、2+M)j M等效电感与电流的参考方向无关等效电感与电流的参考方向无关3）受控源等效电路受控源等效电路+_1I2I1U2U1Lj 2Lj +_+_2IMj 1IMj 2111IMjILjU 1222IMjILjU 两种等效电路的特点两种等效电路的特点：(1)(1)去耦等效电路简单，等效电路只与同名端有关，而与电去耦等效电路简单，等效电路只与同名端有关，而与电流的参考方向无关，但必须有公共端；流的参考方向无关，但必须有公共端；(2)(2)受控源等效电路，等效电路与同名端和电流参考方向均受控源等效电路，等效电路与同名端和电流参考方向均有关，不需公共端。有关，不需公共端。+*L1L2+_+_1I2I

37、Mj 1U2U+_+_+_1I2I1U2U1Lj 2Lj +_+_2IMj 1IMj 解解：例例1：abL 求等效电感求等效电感4HM=3H6H2H0.5HabM=4H6H2H3H5HabM=1H9H7H-3H2H0.5Hab4H3H2H1Hab3HLab=5HLab=6H)1jj ()(j)1jj)(j)(j221abCMMLCMMLMLRZ 例例2：已知：已知： =1000rad/s, R=5W W, L1=L2=10mH, C=500 F, M=2mH。求入端阻抗求入端阻抗 Z。RL1L2CMZ解解：RL1 ML2 MCZM去耦等效：去耦等效：8 j5)2jj2(8 j)2jj2(j88

38、 j5 支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可以直接计支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可以直接计入入KVL方程中。方程中。分析：分析：结点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的结点电结点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的结点电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以结点电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以结点电压简单地写出有互感的支路电流的表达式。先去耦压简单地写出有互感的支路电流的表达式。先去耦等效后再列结点方程较容易考虑。等效后再列结点方程较容易考虑。 关键：正确考虑互感电压的作用，要注意表达式中的正负号，关键：正确考虑互感电压的作用，要注意表达式中的正负号，

39、不要漏项。不要漏项。bIaIM12+_+_1SU2SU* M23M13L1L2L3Z1Z2Z31I2I3I例例3：列写右图电路方程列写右图电路方程M12+_+_1SU2SU* M23M13L1L2L3Z1Z2Z31I2I3I133223113333132121111) ( ) (SUIZIMjIMjILjIMjIMjILjIZ 233223113333231122222) ( ) (SUIZIMjIMjILjIMjIMjILjIZ 支路法：支路法：321III 整理，得整理，得321III 1313332231211311) ( )() (SUIMjLjZIMjMjIMjLjZ 2323332

40、232211312) ( ) ()(SUIMjLjZIMjLjZIMjMj M12+_+_1SU2SU* M23M13L1L2L3Z1Z2Z31I2I3I回路法：回路法：121322311321321132121111)()( )( SlllllllllllUIIZIMjIMjIILjIIMjIMjILjIZ 221322311321321231122222)()( )(SlllllllllllUIIZIMjIMjIILjIIMjIMjILjIZ M12+_+_1SU2SU* M23M13L1L2L3Z1Z2Z3aIbIbaII 2lI1lI整理，得整理，得12231312331133311

41、2 SllUIMjMjMjZLjIMjZLjLjZ )()( 222333221231312332 (SllUIMjZLjLjZIMjMjMjZLj )() M12+_+_1SU2SU* M23M13L1L2L3Z1Z2Z3aIbIbaII 2lI1lI此题也可先作出去耦等效电路，再列方程此题也可先作出去耦等效电路，再列方程( (一对一对消一对一对消) :) :M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 M13 +M23L2M12 +M13 M23L3+M12 M13 M23想一想：想一想：若若 M12 M13 M23M ，试画出去耦等效电路试

42、画出去耦等效电路？一般情况下，采用去耦等效电路比较简单。一般情况下，采用去耦等效电路比较简单。例例4:4:图示电路中，正弦电压的图示电路中，正弦电压的U=50V，R1=3 W W， L1=7.5 W W, R2=5W W， L2=12.5 W W, M=8 W W。求支路求支路1、2吸收的复功率。吸收的复功率。*+R1R21I2I3Ij L1j L2j M UW W W W W W 85 . 45 . 021MLMLLMLLcba +R1R21I2I3Ij La j Lbj Lc UVAjIUSVAjIUSAIAIZZZIZZZUIjMjZjLjRZjLjRZUba)7 .9335.34()7

43、4.18897.111(1 .10199.13 .5939.4)/(85 .455 .0305022112212121332211 W W W W W W 令令+R1R21I2I3Ij La j Lbj Lc UW W W W W W W W W W 85 . 45 . 0535021cbaLLLRRVU 例例5:5:问问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。判定互感线圈的同名端判定互感线圈的同名端VttuCMLS cos2100)(,201,1202 W W W W 已知已知解：解：L1L2uS(t)Z100 WCMjL1 R + SUIMZ*jL

44、2 1/jC *作去耦等效电路作去耦等效电路+ Zj100Wj20Wj20W100Wj(L-20)W00100jL1 R + SUIMZ*jL2 1/jC + Zj100W100Wj(L-20)W00100V45250100j100100100j100j100100j0 SocUUW W 50j50100j/100eqZW W 50j50*eqZZW25504)250(42max eqocRUPj100W100Wj(L-20)WZeq100W+ j100Wj(L-20)W00100ocU例例6图示互感电路已处于稳态，图示互感电路已处于稳态，t = 0 时开关打开，求时开关打开，求t 0+时开路

45、电压时开路电压u2(t)。*0.2H0.4HM=0.1H+10W40Vu2+10W5W10W解解右边开路，对左边回路无影响，开路电压右边开路，对左边回路无影响，开路电压u2(t)中只有中只有互感电压。先应用三要素法求电流互感电压。先应用三要素法求电流i(t).iA1211510/1040)0()0( ii0 ts01. 0202 . 0 t0)( iA)()0()()(100tteeiiiti V10)(dd1 . 0dd)(1001002tteettiMtu *0.2H0.4HM=0.1H10Wu2+10W10-3 耦合电感的功率耦合电感的功率 当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场

46、，从当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。 例：求图示电例：求图示电路的复功率路的复功率 * *j L1j L2j M+R1R2S U1 I2 IS2111 j) j( UIMILR 0)j(j 2221 ILRIM *2*1S 11112 1(j)jSU IRL IMI I *221 22220j(j)SMI IRL I 耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率

47、耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即：中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即：当当M起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当耦合电感中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的储起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。线圈线圈1中中互感电压耦合的复功率互感电压耦合的复功率*12jIIM *12jIIM线圈线圈2中中互感电压耦合的复功率互感电压耦合的复功率注意 两个互感电压耦合的复功

48、率为两个互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实部异号虚部同号，而实部异号，这，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的；耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感进入，必从另一端口输出，这是互感M非耗能特性的体现。非耗能特性的体现。10-4 变压器原理变压器原理 变压器变压器是电工电子技术中常用的电气设备，是耦合电感工是电工电子技术中常用的电气设备，是耦合电感工程实际应用的典型例子。程实际应用的典型例子。 两个耦合线圈绕在一个共同的心子上制成两个耦合线圈绕在一个共同

49、的心子上制成变压器变压器，该器件通过，该器件通过磁（互感）耦合实现了从一个电路向另一个电路传输能量和信号的磁（互感）耦合实现了从一个电路向另一个电路传输能量和信号的功能，是一种能量传输装置。根据心子的不同分功能，是一种能量传输装置。根据心子的不同分铁心铁心（线圈绕在铁（线圈绕在铁心上）和心上）和空心空心（线圈绕在非磁性材料作成的心子上）变压器。（线圈绕在非磁性材料作成的心子上）变压器。2U1U+_+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj LRLjXMj a)一个线圈一个线圈与电源相连与电源相连作为输入端作为输入端口，口，称为称为原边原边( (初级初级，一次侧，一次侧) )，其线圈称为原其线圈称为原

50、（边）（边）线圈，线圈，R1 和和 L1分别表示原分别表示原（边）（边）线圈的电阻和线圈的电阻和电感。电感。接入电源后形成一次回路接入电源后形成一次回路（原边回路，初级回路）。（原边回路，初级回路）。空心空心变压器电路变压器电路1111LjRZ LLjXRLjRZ 2222 原边（一次）回路阻抗原边（一次）回路阻抗副边（二次）回路阻抗副边（二次）回路阻抗MjZM 2U1U+_+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj LRLjXMj c)M为两线圈的互感系数为两线圈的互感系数,RL 和和 XL 分别表示负载的电阻和分别表示负载的电阻和电抗电抗。d)注意图中注意图中参考方向参考方向的规定的规定。b)另

51、一线圈另一线圈与负载相连与负载相连作为输出端作为输出端口，口，称为称为副边副边( (次级次级) )，其线圈称为，其线圈称为副副（边）（边）线圈线圈，R2 和和 L2分别表示副分别表示副（边）（边）线圈的电阻和电感。线圈的电阻和电感。接入负接入负载后形成二次回路（副边回路，次载后形成二次回路（副边回路，次级回路）。级回路）。 变压器通过磁（互感）耦合作用将输入一次侧中的一部分变压器通过磁（互感）耦合作用将输入一次侧中的一部分能量传递到二次侧输出。能量传递到二次侧输出。12111)(UIjILjR 0)(2221 IjXRLjRIjLL 12111UIZIZM 02221 IZIZM解上述方程组可

52、得：解上述方程组可得：222111221MZZZUZI 222111YZZUM 2221112MMZZZUZI 11222111YZZUYZMM 11222111)(YMjXRLjRUMYjLL 222111)(YMZU 空心变压器原边（一次侧）、副边（二次侧）的电流关系：空心变压器原边（一次侧）、副边（二次侧）的电流关系：2212ZZIIM 1221222 IZMjIZZIM 即即2U1U+_+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj LRLjXMj 列写图示列写图示 KVL 方程：方程：2U1U+_+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj LRLjXMj 222111221MZZZUZI 22211

53、1)(YMZU 2221111)( YMZIU 引入阻抗引入阻抗原边输入阻抗原边输入阻抗引入阻抗引入阻抗 又称反映阻抗，它又称反映阻抗，它是副边的回路阻抗是副边的回路阻抗 Z22 通过互感反映到通过互感反映到原边的等效阻抗。引入阻抗的性质与原边的等效阻抗。引入阻抗的性质与 Z22 相反，即感性相反，即感性(容性容性)变为容性变为容性(感性感性)。引入阻抗表明副边回路对原边回路有影引入阻抗表明副边回路对原边回路有影响。响。引入阻抗吸收的复功率就是副边回引入阻抗吸收的复功率就是副边回路吸收的复功率路吸收的复功率。222)(YM 11Z1U+_1I222)(YM 根据根据 ，可得可得原边等效电路原边

54、等效电路如左图如左图。1222111)(IYMZU 2U1U+_+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj LRLjXMj 22Z111UMYj +_2I112)(YM 根据上式可得空心变压器的根据上式可得空心变压器的副边等效电路副边等效电路如右上图。如右上图。2221112MMZZZUZI 11222111)(YMjXRLjRUMYjLL 211222111)( IYMjXRLjRUMYjLL 虽然原边和副边之间没有电的联系，但在互感的作用下，虽然原边和副边之间没有电的联系，但在互感的作用下，副边有一互感电压，它将使闭合的副边回路产生电流，反过副边有一互感电压，它将使闭合的副边回路产生电流，反过来

55、这个电流又影响到原边电压。来这个电流又影响到原边电压。副边等效电路的另一形式副边等效电路的另一形式2U1U+_+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj LRLjXMj 1111 UMYjIMjUoc ocU1U+_+_1I02 I*1R2R1Lj 2Lj Mj U+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj Mj eqZ11222)(YMLjRZeq +111UMYj +_2IeqZLRLjX104)()(222222jZZMYMZx 引引W W 8 . 92 . 0 jZx此时负载获得的功率此时负载获得的功率： WPPx 1010)101020(2 引引WRUPZZs 104 , *1211 引引引引实

56、际上是最佳匹配实际上是最佳匹配： 解解：依题意，有依题意，有求求：Zx ；并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率。 例例1 已知已知 ，原边等效电路的引入阻抗为原边等效电路的引入阻抗为 ，VUs20 W W 1010j*j 10W W2Ij 10W Wj 2+sU10W WZx+sU10+j 10W W222)(YM W W 1010j解：方法解：方法(1)：回路法回路法。含互感电路的分析含互感电路的分析方法方法(2)：利用空心变压器的等效电路利用空心变压器的等效电路。AZIMjI 135. 0o2212 W W 1131201111jLjRZ W W 85.1808.422222jRL

57、jRZL W W )1 .24(464)()(o222222ZMYMZ 引引AZZUIs )9 .64(5 .110o111 引引1I+sUZ11222)(YM 例例2 已知已知 L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20W W，V 0115o sU. , :21II求求R2=0.08W W，RL=42W W， 314 314rad/s， *j L11I2Ij L2j M+sUR1R2RL1.理想变压器理想变压器 空心变压器如果同时满足下列空心变压器如果同时满足下列 3 个条件即演变为个条件即演变为理想变压器理想变压器：1)变压器本身无损耗变压器本身无损耗；线圈导线无电阻，

58、做芯子的铁磁材料的线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的 磁导率无限大磁导率无限大2)耦合因数耦合因数 ，即全耦合即全耦合；3)L1 1、L2 2和和M均为无限大，但保持均为无限大，但保持 不变，不变， n为匝数比。为匝数比。12/ 1kML LnNNLL 2121/2U1U+_+_1I2I*1R2R1Lj 2Lj Mj 0 21 RR无损无损2111IMjILjU 2212ILjIMjU 22111ILLjILj 22121ILjILLj 1122 ULnULnuu 21 亦即亦即21LLM 全全耦耦合合10-5 理想变压器理想变压器理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感理想变压器是实际变

59、压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。 注意上式是根据图中的注意上式是根据图中的参考方向和同名端参考方向和同名端列出的（上式中列出的（上式中电压电流参考方向对同名端一致）。式中电压电流参考方向对同名端一致）。式中 n = N1/N2，称为理称为理想变压器的想变压器的变比变比。理想变压器的特性方程为代数关系，因此无。理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用，理想变压器不是动态元件。记忆作用，理想变压器不是动态元件。2111 IMjILjU 又又21111 ILMLjUI 21211ILLLjU 21LLM 全全耦耦

60、合合21In nLLL 211/ ，211 ini 亦即亦即 综上可知综上可知理想变压器是一种特殊的无损耗全耦合变压器理想变压器是一种特殊的无损耗全耦合变压器，其电路图形符号如下，并且其原边和副边的电压和电流总满足其电路图形符号如下，并且其原边和副边的电压和电流总满足下列关系：下列关系：2u1u+_+_1i2i*1:n222112211 nuuNNuNuNu 或或2212122111 0iniNNiiNiN 或或 理想变压器的电压电流关系（特性方程）是根据理想变压器的电压电流关系（特性方程）是根据电压电流电压电流参考方向和同名端的标注以及变比的不同参考方向和同名端的标注以及变比的不同列出的。列