双曲线的性质

1、2.2.22.2.2双曲线简单双曲线简单的几何性质的几何性质(1)(1)222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（2aa0e 1e e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量,e,e越大开口越大越大开口越大! !（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：1e1)ac(aacab2222 也也增增大大增增大大且且时时，当当ab,e), 0(ab), 1(e 的的夹夹角角增增大大增增大大时时，渐渐近近线线与与实实轴轴e5 5、离心率、离心率ace 222bac二四个参数中，知二可求、在ecba（4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率

2、e= ?2( 5 )的双曲线是等轴双曲线离心率2e 焦点在焦点在x x轴上的双曲线的几何性质轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：双曲线标准方程：12222 byax1、 范围：范围：xa或或x-a2、对称性：、对称性：关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。3、顶点、顶点:A1（-a，0），），A2（a，0）4、轴：实轴、轴：实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B25、渐近线方程：、渐近线方程：6、离心率：、离心率： e=acbyxa xyOxaby xabyxyo-aab-b（1）范围）范围:ayay,（2）对称性）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称（3）顶点）顶点

3、: (0,-a)、(0,a)（4）渐近线）渐近线:xbay（5）离心率）离心率:ace 焦点在焦点在y y轴上的双曲线的几何性质轴上的双曲线的几何性质关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,

4、c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( eacexaby例例1 1、求下列双曲线的渐近线方程、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x(1)4x2 29y9y2 2=36, =36, (2)25x (2)25x2 24y4y2 2=100.=100.2x3y=05x2y=0例例2 :求双曲线求双曲线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可得可得:实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:14

5、416922 xy1342222 xy53422 45 acexy3412222byax的方程为解：依题意可设双曲线8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43渐近线方程为)0 ,10(),0 ,10(21FF 焦点.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe 例例3:1、若双曲线的渐近线方程为、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线则双曲线的离心率为的离心率为 。2、若双曲线的离心率为、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角，则两条渐近线的夹角为为 。4,3yx 3

6、3、求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过、求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点点P ( 1, P ( 1, 3 ) 3 ) 且离心率为且离心率为 的双曲线标准的双曲线标准方程方程. .2 与双曲线与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点( 3,2 3) ； 与双曲线与双曲线221164xy有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2) 例例4 :求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：例例4 :4 :求下列双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程 共渐近线的双曲线方程共渐近线的双曲线方程: :法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线

7、方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944双曲线的方程为xy例例4 :4 :求下列双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程)0(2222byax例例4 :4 :求下列双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程例例4 :4 :求下列双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程结论结论:与双曲线与双曲线 有共同焦点的双曲线方有共同焦点的双曲线方程表示为程表示为22221(0,0)xyabab2222221()xybaab法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为双曲线方程为22(3 2)2

8、1164kk ,解之得解之得k=4,1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的双曲线222222221(0)xyxyabab 与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；a0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.cx2aacM解：解：设点设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则|MFcda 即即222()xcycaaxc 化简得化简得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设设c2a2 =b2，22221xyab (a0,b0)故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a

9、、2b的双曲线的双曲线.222()|axcyacx 22224222(2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为:M点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双曲线的左支曲线的左支.一、双曲线的第二定义一、双曲线的第二定义 一、双曲线的第二定义一、双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离

10、心率双曲线的离心率.对于双曲线对于双曲线22221xyab 是相应于右焦点是相应于右焦点F(c, 0)的的右准线右准线类似于椭圆类似于椭圆2axc 是相应于左焦点是相应于左焦点F(-c, 0)的的左准线左准线2axc xyoFlMF2axc l2axc 点点M到左焦点与左准线的距到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义离之比也满足第二定义.想一想：想一想：中心在原中心在原点，焦点在点，焦点在y轴上轴上的双曲线的准线的双曲线的准线方程是怎样的？方程是怎样的？xyoF相应于上焦点相应于上焦点F(c, 0)的是的是上准线上准线2yac 2yac 相应于下焦点相应于下焦点F(-c, 0)的是的是下准线

11、下准线2yac 2yac F例例2 2、点、点M M（x,yx,y）与定点）与定点F F（5,05,0），的距离），的距离和它到定直线：和它到定直线： 的距离的比是常的距离的比是常数数 , , 求点求点M M的轨迹的轨迹. .l165x 54例例3、 已知双曲线已知双曲线221,169xy F1、F2是它的左、右焦点是它的左、右焦点. 设点设点A(9,2), 在曲线上求点在曲线上求点M，使，使 24|5MAMF 的值最小的值最小,并求这个最小值并求这个最小值.xyoF2MA165x 由已知：由已知：解：解：a=4, b=3, c=5,双曲线的右准线为双曲线的右准线为l:54e 作作MNl, A

12、A1l, 垂足分别是垂足分别是N, A1,N2|5|4MFMN 24| |5MFMN A124| |5MAMFMAMN 1|AA 当且仅当当且仅当M是是 AA1与双曲线的交点时取等号与双曲线的交点时取等号,令令y=2, 解得解得:4 132x 4 13,2 ,3M 即即 29.5最最小小值值是是归纳总结归纳总结1. 双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线

13、叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率。2. 双曲线的准线方程双曲线的准线方程对于双曲线对于双曲线22221,xyab 准线为准线为2axc 对于双曲线对于双曲线22221yxab 准线为准线为2ayc 注意注意: :把双曲线和椭圆的知识相类比把双曲线和椭圆的知识相类比.椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系二、直线与双曲线的位置关系 1) 1) 位置关系种类位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;

14、相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点，一个交点或一个交点或两个交点两个交点) 2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点3)3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相

15、交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0 直线与双曲线相离直线与双曲线相离特别注意直线与双曲线的特别注意直线与双曲线的位置关系中：位置关系中：一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支两解，两解不一定同支例例1.已知直线已知直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4,试讨论实数试讨论实数k的取的取值范围值范围,使直线与双曲线使直线与双曲线(1)没有公共点没有公共点; (2)有两个公共点有两个公共点;(3)只有一个公共点只有一个公共点; (4)交于异支两点；交于异支两点；(5)与左支交于两点与左支交于两点.(3)k=1，或，或k= ；52(4)

16、-1k1 ；(1)k 或k ；525252(2) k ；52125- k1 k且且1.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条. 变题变题:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?4116922yx1.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（1，1）。2.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点为的左焦点为F,点点P为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点(异于顶点异于顶点),则直线则直线PF的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_01，3.过原

17、点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 13422yx32 3，2例例1、如图，过双曲线、如图，过双曲线 的右焦点的右焦点倾斜角为倾斜角为 的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|。22136xy2,F30三、弦长问题三、弦长问题1927韦达定理与点差法韦达定理与点差法例例.已知双曲线方程为已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求：求： (1)以以2为斜率的弦的中点轨迹；为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；的弦的中点轨迹； (3)以定点以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；为中点的弦存在吗？说明理由；2211492454xye、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。复习练习：复习练习： 2. 求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的