2022年2022年浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点第一部分二次函数基础学问相关概念及定义二次函数的概念：一般地, 形如 yax2bxc（ a,b,c 为常数,a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强调： 和一元二次方程类似,可以为零二次函数的定义域为全体实数二次项系数a0 ,而 b ,c二次函数yax2bxc 的结构特点： 等号左边为函数,右边为关于自变量x 的二次式,x 的最高次数为2a ,b ,c 为常数, a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项二次函数各种形式之间的变换精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数yhb , kax 2bxc4acb 2.用配方法可化

2、成：ya xh 2k 的形式,其中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax2 ； yax 2k ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ya xh； ya xh 2k ； yax 2bxc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数解析式的表示方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载顶点式：yaxhk （ a , h , k 为常数, a

3、0 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两根式：ya xx1 xx2 （ a0, x1 , x2 为抛物线与x 轴两交点的横坐标）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即24ac0 时,抛物线的解析式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数yax2bxc 图象的画法精品学习资料精选学习资料 - -

4、 - 欢迎下载五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh 2k ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载确定其开口方向.对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般我们选取的五点为：顶点.与y 轴的交点0 ,c.以及0,c关于对称轴对称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的点2h ,c.与 x 轴的交点x1 ,0, x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与

5、y 轴的交点.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数yax 2 的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0向上0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 的增大而减小；x0 时, y 有最小值 0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0向下0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数yax2c 的性质x 的增大而增大；x0

6、 时, y 有最大值 0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0向上0 ,cy 轴x 的增大而减小；x0 时, y 有最小值 c 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0向下0 ,cx0 时, y 随 x 的增大而减小；xy 轴0时, y 随精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 的增大而增大；x0 时, y 有最大值 c 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学

7、问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数ya xh2的性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0向上h ,0x=h随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0二次函数向下ya xhh ,02k 的性质x=hxh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 精品学习资料精选学习

8、资料 - - - 欢迎下载a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0向上h ,kx=h随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0向下h ,kx=hxh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载抛物线2yaxbxc 的三要素：开口方向.对称轴.顶点.

9、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a0 时,开口向上； 当 a a 相等,抛物线的开口大小.外形相同.b0时,开口向下；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作x2. 特殊地, y 轴记作直线x0 .2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载顶点坐标： （b4 acb,）2a4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同, 那么抛物线的开口方向.开口大小完全相同,只为顶点的位置不同.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

10、迎下载抛物线 yax 2bxc 中,a、 b、c 与函数图像的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2二次项系数a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a 0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 当 a 当 a0 时,抛物线开口向上,a 越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；0 时,抛物线开口向下,a 越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总结起来,a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决定开口的大小一次项系数b在二次项系数a

11、 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 b0 时,当 b0 时,当 b0 时,b 0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就为y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 b0 时,当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就为y 轴；2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选

12、学习资料 - - - 欢迎下载当 b0 时,b0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总结起来,在a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；0 时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；0 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总结起来,c 打算了抛物线与y 轴交点的位置总之,只要

13、a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就为唯独确定的求抛物线的顶点.对称轴的方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载公式法：yax2bxc2axb 2a4acb 24a,顶点为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b4ac（,2 a4ab）,对称轴为直线xb .22a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载到顶点为 h 、 k ,对称轴为直线xh .运用抛物线的对称性：由于抛物线为以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线为抛物线的对称轴,对

14、称轴与抛物线的交点为顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般式： yax2bxc . 已知图像上三点或三对x . y 的值,通常挑选一般式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载顶点式：ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标x1 .x2 , 通 常 选 用 交 点 式 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ya xx1xx2.精品学习资

15、料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线与抛物线的交点y 轴与抛物线yax 2bxc 得交点为 0、c .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与 y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax 2bxc有 且 只 有 一 个 交 点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 h 、ah 2bhc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载抛物线与x 轴的交点 : 二次函数yax 2bxc 的图像与x 轴的两个交点的横坐精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载标 x1 .x2 ,为对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根. 抛物线与 x 轴的精品学习资料

16、精选学习资料 - - - 欢迎下载交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点. 1 个交点. 2 个交点 . 当有 2 个交点时, 两交点的纵坐标相等,设纵精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标为 k ,就横坐标为ax 2bxck 的两个实数根 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数yax 2bxc a0 的图像精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

17、迎下载ykxn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g 的交点, 由方程组yax2的解的数目来确定：方程组有两组不同bxc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的解时l 与 g 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与 g 只有一个交点； 方程组无解时l 与 g 没有交点 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc与 x 轴两交点为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a x ,0 , bx ,0,由于x . x 为方程ax 2bxc0 的两个根

18、,故精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1x2212bc、 x1x2aa2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abx1x2x1x2x1x24x1 x2b4ca ab 4acaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称22ya xb x 关c于 x 轴对称后,得到的解析式为yaxbxc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2yaxhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式为2yaxhk ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关于 y 轴对称精品学习资

19、料精选学习资料 - - - 欢迎下载ya 2xb x关c于 y 轴对称后,得到的解析式为yax2bxc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2yaxhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式为2ya xhk ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关于原点对称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ya 2xb x2关c于原点对称后,得到的解析式为yax2bxc ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yaxh关k 于原点对称后,得到的解析式为ya xhk ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关于顶点对称22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

20、下载ya 2xb x关c于顶点对称后,得到的解析式为yaxbxcb；2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式为2ya xhk 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关于点m,n 对称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ya xhk 关于点m ,n对称后,得到的解析式为2ya xh2m2nk精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总结： 依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就, 挑选合适的形式, 习惯上为先确定

21、原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h ,k；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h ,k处,详细平移方法如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y=ax2向上k>0【或向下k <0】平移|k|个单位y=ax 2+k精品学习资料精选学习资料 - -

22、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位y=ax-h2向右h>0【或左h<0】平移 |k|个单位向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位y=ax-h2+k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点2依据条件确定二次函数表达式的几

23、种基本思路；三点式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1,已知抛物线y=ax的解析式；+bx+c 经过 a（3 , 0）, b（ 23 , 0）, c（0, -3 ）三点,求抛物线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2,已知抛物线y=ax-1+4 , 经过点 a（2, 3）,求抛物线的解析式；顶点式；1,已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为 a（ 2, 1）,求抛物线的解析式；22,已知抛物线y=4x+a-2a的顶点为（ 3, 1）,求抛物线的解析式；交点式；1,已知抛物线与x轴两个交点分别为（3, 0） 、5、0、求抛物线y=x-ax-b的解析式；2,已知抛

24、物线线与x轴两个交点（ 4,0）,（ 1,0）求抛物线y= 1 ax-2ax-b的解析式；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定点式；1,在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线y1 x 225a x2a 22 经过 x 轴上一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定点 q,直线 ya2 x2 经过点 q、求抛物线的解析式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2,抛物线y= x 2 +2m-1x-2m与 x 轴的肯定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式；23,抛物线y=ax +ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点a,求抛物线的解析式；平移式；21, 把抛物线y= -2x向左平移2 个单位长度,再向下平移1 个单位长度,得到抛物线2y=a x-h+k、 求此抛物线解析式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2, 抛物线 yx 2x3 向上平移 、 使抛物线经过点c0、2、求抛物线的解析式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载距离式；21,抛物线y=ax +4ax+1a 0 与