2022年2022年椭圆及其性质知识点题型总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点椭圆学问清单精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.椭圆的两种定义：平面内与两定点f1,f2 的距离的和等于定长2a 2af1f2的动点 p 的轨迹,即点集精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m=p| |pf 1|+|pf2|=2a,2a|f1f2| ；（ 2af1 f2时为线段f1f2 ,2af1 f2无轨迹）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中两定点f1, f2 叫焦点,定点间的距离叫焦距；平面内一动点到一个定点和肯定直线的距离的比为小于1 的正常数的点的轨

2、迹,即点集精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pfm=p|de , 0e 1 的常数； （ e1为抛物线；e1为双曲线）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（利用其次定义、 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化,定点为焦点,定直线为准线）.x2y 22 标准方程： （1）焦点在x 轴上,中心在原点：1（ a b 0）；22a2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦点 f1（ c, 0）,f2（ c, 0 ）；其中 cab（一个 rt 三角形）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22（ 2）焦点在y 轴上,中心在原点：yx1（

3、a b 0）；a 2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦点 f1（ 0, c）, f2（0, c）；其中 ca2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意： 在两种标准方程中,总有 a b 0,cab并且椭圆的焦点总在长轴上；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22两种标准方程可用一般形式表示：ax 2+by 2=1 （ a 0, b 0, a b）,当 a b 时,椭圆的焦点在x 轴上, a b 时焦点在y 轴上；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x3 参数方程： 焦点在 x 轴,ya cos

4、 bsin（为参数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 一般方程：ax2by21 a0、 b0x 2y2（ ab 0）有以下性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.性质： 对于焦点在x 轴上,中心在原点：坐标系下的性质：范畴： |x| a, |y| b；221ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对称性： 对称轴方程为x=0 , y=0 ,对称中心为o（0, 0）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载顶点：a （1-a,0）,a 2（a,0）,b （10,-b）,b（20,b）,长轴 |a 1a2

5、 |=2a,短轴 |b1b 2|=2b ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a 半长轴长,b 半短轴长） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 椭圆的准线方程：对于 x2y1 ,左准线 l: x22aa；右准线 l: x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 21c2c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y 2x2对于a 2b 21,下准线l1 : ya 2；上准线ca 2l 2 : yc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

6、下载焦点到准线的距离p222acac2b（焦参数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ccc椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 焦半径公式： p（x 0, y0）为椭圆上任一点；|pf1|= r左 =a+ex0,|pf2|= r右 =a-ex0 ；|pf1 |=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r下 =a+ey0, |pf2|= r上 =a-ey0减下加pf maxac、pf minac,左加右减,上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 通径： 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通2b 2径最短

7、 =a平面几何性质：2cc2b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 离心率： e=21aaa（焦距与长轴长之比）0、1；e 越大越扁, e0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为圆； 焦准距 pb 2；准线间距c2a 2c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 两个最大角f1pf 2maxf1 b2 f2 、a1 pa2maxa1b2 a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2焦点在 y 轴上,中心在原点：a 26焦点

8、三角形 应留意以下关系：1定义： r 1 r 2 2ax1 （ a b 0）的性质可类似的给出；2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2(2) 余弦定理：r 2 r 2 2r 1r 2cos 2 c12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 面积：s pf1f 2 1 r 1r 2 sin21 ·2c|y0 |= c |y0 |=2b 2tan2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 其中 p x0 、 y0 为椭圆上一点,|pf 1| r 1, |pf 2| r 2,f1pf2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载27. 共 焦 点 的

9、 椭 圆 系 设 法 ： 把 椭 圆 xa222y1 （ a b 0 ） 的 共 焦 点 椭 圆 设 为2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xya2b21b2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8. 特殊留意： 椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关、 而焦点坐标 、 准线方程 、 顶点坐标 、 与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a、b、 一个定位条件焦点坐标或 准线方程 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 弦 长 公 式 ：ab1k 2x1x211k 2

10、y1y21k 2abx1x2acx1x2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（a、b、c 为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用例 1 . 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点动身的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 a. b 为它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 a 的小球（小球的半径不计） ,从点 a 沿直线动身,经椭圆壁反弹后第一次回到点 a 时,小球经过的路程为（ ）a 4a b 2a cc 2a+cd以上答案均有可能ypcdoxab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

11、载x2例 2.点p 为为椭圆a 2y1a2b 2b0q上一点, f1 . f2 为椭圆的两个焦点,试求：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pf1pf2 取得最值时的p 点坐标；题型 2 求椭圆的标准方程例 3. 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此焦点与长轴上较近的端点距离为42 4,求此椭圆方程.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点考点二椭圆的几何性质0题型 1: 求椭圆的离心率（或范畴）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4.在 abc 中,a30 、

12、|ab |2、 s abc3 如以 a, b 为焦点的椭圆经过点c ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就该椭圆的离心率e题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范畴.对称性等）x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5.已知实数x、 y 满意4122、 求 xy2x的最大值与最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点三椭圆的最值问题题型 1:动点在椭圆上运动时涉及的距离.面积的最值22xy1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6. 椭圆 169题型 2.上的点到直线l:xy90 的距离的最小值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

13、迎下载1.的最值如 a 为椭圆内肯定点（异于焦点）,p 为 c 上的一个动点,f 为 c 的一个焦点, e 为 c 的离心率,求的最小值；例 7. 已知椭圆内有一点a （ 2, 1）, f 为椭圆c 的左焦点, p 为椭圆c上的动点,求的最小值；2.的最值如 a 为椭圆 c 内肯定点（异于焦点） ,p 为 c 上的一个动点, f 为 c 的一个焦点, 求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点的最值；例 8 已知椭圆内有一点a （2, 1）, f 为椭圆的左焦点,p 为椭圆上动点,求的最大值与最小值；3.的最值如 a 为椭圆 c 外肯定点,为 c 的一条准线, p 为

14、c 上的一个动点,p 到的距离为d,求的最小值；例 9. 已知椭圆外一点 a （ 5,6）,为椭圆的左准线,p 为椭圆上动点,点p到的距离为d,求的最小值；4.椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例 10. 定长为的线段 ab 的两个端点分别在椭圆上移动,求 ab 的中点 m 到椭圆右准线的最短距离；考点四直线与椭圆相交问题题型 1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情形,仅有仍不够,且用数形结合的思想；(2) 弦的中点,弦长等,利用根与系数的关系式,但>0 这一制约条件不同意；b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab12kx1x211k2y1y21k 2ax

15、1x2cx1 x2aa （ a、b、c 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程的系数）例 11.已知直线 l 过椭圆8 x29 y 272 的一个焦点, 斜率为 2,l 与椭圆相交于m .n 两点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求弦 mn 的长；题型 2“点差法”解题； “设而不求”的思想；当涉及至平行法的中点轨迹,过定点弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程,用“点差法”来求解；0步骤： 1.设 ax 1、y1 bx 2、y2分别代入椭圆方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

16、102.设y1y2p x0 、 y0 为 ab 的中点； 两式相减,b 2 xx2 b2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1x2a 2 yy2 a2 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.得出 ky1y2x1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2注：一般的,对椭圆xa 2y1上弦 ab 及中点, m ,有2b 2k abb 2k om2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2例 12.已知椭圆x2y21 , 求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程精品

17、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点五 .轨迹问题这一问题难,但为解决法特别多,有如下几种；1.直接法：依据条件,建立坐标系,设动点x , y ,直接列出动点所应满意的方程；2.代入法：一个为动点qx 0、y0在已知曲线fx、y=0 ,上运动,而动点px、y 与 q 点满意某种关系,要求p 点的轨迹；其关键为列出p. q两点的关系式x0f x、 yyoy x、 y3.定义法：通过对轨迹点的分析,发觉与某个圆锥曲线的定义相符,就通过这个定义求出方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.参数法：在x, y 间的方程fx、y=0难以直接求得时,往往用来反映 x , y 之间的

18、关系；常用的参数有斜率k 与角等；x f ty yt t 为参数 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 13：abc 的一边的的顶点为b0、6 和 c0、-6 ,另两边斜率的乘积为轨迹方程：考点六综合性问题,与平面对量结合（2021 四川卷理）（本小题满分12 分）椭圆有两顶点a-1 , 0 .b1 , 0 ,过其 焦点 f0 , 1 的直线l 与椭圆交于c.d 两点,并与x 轴交于点p直线 ac与直线 bd交于点 q4 ,求顶点 a 的9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(i) 当| cd | =32 时

19、,求直线l 的方程；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(ii) 当点 p 异于 a. b 两点时,求证：opoq为定值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由已知可得椭圆方程为2yx21 ,设 l 的方程为y1 2k x0、 k 为 l 的斜率就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ykx122k 2 x 22 kx10x1x 22 k2y1y 22k422k 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx 2112

20、 k2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 xx 2 yy 28 k 288k 4x1 x222k8k 29k 22y1 y222kk2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12122k 2 22k 2 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l 的方程为y2 x1 或 y2 x1 为所求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）当直线l 与 x 轴垂直时与题意不符精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设直线 l 的方程为ykx1 , k0且k1 ,所以 p 点坐标为 1 、0 k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 c x、 y ,d

21、 x 、 y ,由（）知xx2k1, x x,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1122122k 21 22k2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 ac 的方程为yy1x x111 ,直线 bd 的方程为yy1x1 x21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将两直线方程联立,消去y 得 x1x1y2 x1 y1 x21 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于1x 、 x1 ,所以 x1 与 y2异号精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12x1y12222精品学习资料精选

22、学习资料 - - - 欢迎下载 x1 2y 2 x1122 x 2 x111x1 1x2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1y1 x2122 x1 x 211x1 1x2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2k1k 2212 k1k 22 k1k1 2 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22k2k2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 y y221k 1k 21k 2k1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12kx1 x 2k x

23、1x 2 1k 22k 22k1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k1 与k1y1 y2 异号, xx1 与 k1k1 同号,1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1kx1k1 ,解得 xk1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此 q 点坐标为 k 、 y0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载opoq1 、 0 kk 、 y0 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 op oq 为定值（2021 四川卷理）（本小题满分12 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22c已知椭圆： xy22ab1、 ab0 的两个焦点分别为

24、f1 1、0、 f2 1、0 ,且椭圆 c 经过精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 p 4 、 1 33（）求椭圆c 的离心率；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）设过点a0、 2 的直线 l 与椭圆 c 交于 m . n 两点,点 q 为线段 mn 上的点,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载211,求点 q 的轨迹方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| aq |2| am|2| an |2解： 1 由椭圆定义知,2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a | pf1| | p

25、f2| 41141122 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 a2 .3333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由已知, c 1.所以椭圆c的离心率 ec12 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2 由1 知,椭圆c的方程为2222x y 1.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点设点 q的坐标为 x,y (1) 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线l 与椭圆 c 交于 0、1,0 , 1 两点,此时点q的坐标为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0、 235.5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y kx2.由于 m, n在直线 l 上,可设点m, n 的坐标分别为 x1, kx12 , x2, kx2 2 ,222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就| am| 1 k x1 , | an| 1 k x2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22222精品学习资料