必修一全部知识点及典型例题(2)18页

1、第一部分 集合知识点一集合的含义1 集合的中元素的三个特性：元素确定性 元素的互异性 元素的无序性2.集合的表示： 集合的表示方法1） 列举法：a,b,c2） 描述法： xÎR| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn图:3集合的分类：有限集 无限集 空集 4常见集合表示R实数集 Q有理数集 N自然数集 Z整数集 N*正整数集 C复数集二集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B

2、 (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 任何一个集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集 定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集

3、合,叫做A,B的交集记作AB，即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB，即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BA ABA ABBAA=A A=AAB=BA ABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=U A (CuA)= 第二部分 函数知识点 一.函数.1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在

4、集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。（象与原象P36）注意:对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域(注意区间表示方法)两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO3函数 ，若，则= 二、

5、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)练习.函数 的定义域.2求函数定义域的两个难点问题（1） （2） 练习.设，则的定义域为_变式练习：，求的定义域。三

6、、函数的值域1求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且R的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法）2 3（换元法）4. （法） 5. 6. (分离常数法) 7. (单调性)8.， (结合分子/分母有理化的数学方法)9(图象

7、法)10(对号函数) 11. (几何意义)四函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数。2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明： 奇函数 偶函数3.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称4奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f

8、(x)与f(-x)的关系1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， 2 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；3 已知在（1，1）上有定义，且满足证明：在（1，1）上为奇函数；4 若奇函数满足，则_五、函数的单调性1证明函数单调性的方法：（）. 定义法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）（）用导数证明： 若在某个区间A内有导数， 则在A内为增函数； 在A内为减函数。2求单调区间的方

9、法： a.定义法： b.导数法： c.图象法： d.复合函数在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则为增函数； 若f与g的单调性相反，则为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。3一些有用的结论： a.奇函数在其对称区间上的单调性相同； b.偶函数在其对称区间上的单调性相反； c.在公共定义域内增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。 d.函数在上单调递增；在上是单调递减。4 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。（同增异减）1判断函数的单

10、调性。2例 函数对任意的，都有，并且当时， 求证：在上是增函数； 若，解不等式 3函数的单调增区间是_4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）（A） （B） （C）（D） 5函数的单调性通常也可以以下列形式表达： 单调递增 单调递减六函数的周期性：1（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是的周期（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期对照记忆说明：说明：2若；则周期是21 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定义在R上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，则的大小顺序为_

11、3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f (2005)= .4 已知是(-)上的奇函数，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=_5 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时求证：是周期函数；当时，求的解析式；计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2.求反函数的步骤：求原函数，的值域B把看作方程，解出；x，y互换的的反函数为，。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，

12、从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f-1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;1设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过( )（A） （B） （C） （D）2：，的反函数为 。3：已知，求的反函数。4：设 。八一次函数与正比例函数1正比例函数y=kx(k0)的图象是经过两点O(0，0)，A(1，k)的一条直线；一次函数y=kx+b(k0)的图象是经过两点A(0，b)，的一条直线，但在取值时要根据具体情况灵活选取因为两点确定一条直线，所以画一次函

13、数的图象时，只要描出两点即可画出一条直线一次函数y=kx+b的图象是恒过(0，b)点且平行于直线y=kx的一条直线，其中k叫直线y=kx+b的斜率，b是直线y=kx+b在y轴上的截距(注意：截距b不是距离，它可以是正数，也可以是负数或零)2一次函数y=kx+b(k0)与正比例函数y=kx(k0)的性质.y=kx（k0）y=kx+b（k0，且b0）经过原点（0，0）与两坐标轴的交点（0，b）为和（b/k，0）k0经过一、三象限必过一、三象限k0经过二、四象限必过二、四象限当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0时，y的值随x值的增大而减小。当k0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角最

14、大。图象与系数的联系八二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标，其中a是二次项系数，决定开口方向和大小，b是一次项系数与a决定对称轴的位置，c为常数项是与Y轴的截距。2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的的解。一元二次不等式的解集(a>0)二次函数情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)图象与解>0=0<0R3与是两种不同的表达

15、形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中4一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根(x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a韦达定理)这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有5待定系数法求二次函数方程二次函数的解析式： （1）一般形式：（2）顶点式：（3）两根式：例1.抛物线与轴交与、两点，且经过点，求抛物线解析式。解：抛物线与轴交于、两点设抛物线为 抛物线过点即 练习.已知抛物线，满足下列条

16、件，求函数解析式。图像过点、图像过点、且对称轴是图像顶点是，且过点图像和轴交于和两点，且过点1、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）（A） (B) (C) (D) 2、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_3. 抛物线顶点且与轴交于两点、，且.求抛物线的解析式。九函数的图象变换（在下面画出图形变化的方法图形）作出下列函数的简图：（1）y=|log|； （2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|； （4）y=|x2+2x-3|十.函数的零点.方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数

17、的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零4.函数零点所在区间的判定如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c （a,b），使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根。5.二分法求零点例.求 解： 因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为十一初等函数1根式定义：若一个

18、数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，。2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义规定：1）N*； 2）； n个3）Q，4）、N* 且性质：1）、 Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性质对r、R均适用。3对数的概念定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，记作；基本

19、性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。运算性质：如果则1）；2）；3）R）换底公式：1）；2）。4指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称，函数值的变化特征：（2）对数函数：定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）

20、对数函数与指数函数互为反函数函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。函数值的变化特征：，.，. 5指数函数与对数函数对比（1）指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（，1）（1，）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a1)图象关于y=x对称单调性a> 1,在(-,+ )上为增函数a<1, 在(-,+ )上为减函数a>1,在(0,+ )上为增函数a<1, 在(0,+ )上为减函数值分布y>1 y<1y>0 y<0（2）. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同1、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较