第4章功和能

1、第第4 4章章 功和能功和能4.1 功功4.2 动能定理动能定理4.3 保守力和势能保守力和势能4.4 机械机械能守恒定律能守恒定律4.5 守恒定律的特点及其应用守恒定律的特点及其应用 碰撞碰撞4.1 功功1、恒力的功恒力的功 A=Fcos SrFSFA记作MMFF S位移无限小时：位移无限小时：dA称为元功称为元功恒力的功等于该力和质点的位移的点积恒力的功等于该力和质点的位移的点积1）功为标量；）功为标量；2）单位：）单位：J2、变力的功变力的功如果力是位置的函数，设质点在力的作如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：用下沿一曲线运动，则功的计算如下：元位移：元位

2、移： 在元位移中将力视为恒力，在元位移中将力视为恒力，无限小无限小段位移上的元功为段位移上的元功为rdFdArdrdFdAabFrd在元位移中将力视为恒力，力沿在元位移中将力视为恒力，力沿ab的的功为所有无限小段位移上的元功之和。功为所有无限小段位移上的元功之和。rdFdAbadAA分量式：分量式：bayxdyFdxFA)(rdF cosdscosFbardF注意：注意：1、功是过程量。、功是过程量。2、功是标量，但有正负。、功是标量，但有正负。3、合力的功为各分力的功的代数和。、合力的功为各分力的功的代数和。abFrd解解：dxFAbaxdxx100)54(J)290例例1：某质点在力：某质

3、点在力 的作用的作用下沿下沿x轴做直线运动，轴做直线运动， 求在从求在从x=0移到移到x=10m的过的过程中，力程中，力 所做的功。所做的功。)SI()54(ixFF例例2：有一倔强系数为：有一倔强系数为k的轻弹簧，原长为的轻弹簧，原长为l0，将，将它掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其它掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为长度变为l1，然后托盘中放一重物，弹簧长度变，然后托盘中放一重物，弹簧长度变为为l2，则由，则由l1伸长至伸长至l2的过程中，弹簧弹性力所做的过程中，弹簧弹性力所做的功为（以弹簧原长处为坐标原点）的功为（以弹簧原长处为坐标原点） 21(A)llkxdx 02

4、01(C)llllkxdx 21(B)llkxdx 0201(D)llllkxdxC例例3 3.如图所示，圆锥摆的小球在如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，判水平面内作匀速率圆周运动，判断下列说法中正确的是断下列说法中正确的是（A）重力和绳子的张力对小球都不作功。）重力和绳子的张力对小球都不作功。（B）重力和绳子的张力对小球都作功。）重力和绳子的张力对小球都作功。（C）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功。）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功。（D）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。 A A 3、一对作用力和反作用力的功一对作用力和反

5、作用力的功 :111frmm1、m2组成一个封闭系统组成一个封闭系统2211rdfrdfdA :222frm2112rrr)(122rdrdfdA21ff212rdfdA在在dt时间内时间内)(122rrdf11 :rdm22 :rdm两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功（注意：一般并不零）。的路径所做的功（注意：一般并不零）。21rOA1A2B1B2r1r2f12f1rd2rd两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等两质点间的一对

6、作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功（注意：一般并不零）。点所移动的路径所做的功（注意：一般并不零）。思考：如图物体思考：如图物体A放在木制斜面放在木制斜面B上，斜面放在上，斜面放在一光滑水平面上。当物体一光滑水平面上。当物体A下滑时，物体下滑时，物体B也将也将运动。问在运动过程中，运动。问在运动过程中，A，B间的一对摩擦力间的一对摩擦力做功之和是正还是负？做功之和是正还是负？ A，B间的一对正压力做间的一对正压力做功之和又如何？功之和又如何？AB212rdfdA4.2 动能定理动能定理1、质点的

7、动能定理、质点的动能定理BAABvdtdtdvmA 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。BAABrdFAvdtrd BAtrdFBAtrdamdtdvat 222121ABvvmvmvvdvmBA AAB=EKB-EKA 。2、质点系的动能定理、质点系的动能定理质点系：质点系：内力：内力：初速度：初速度：1FAv1 :1m外力：外力：末速度：末速度：1fBv1 :2m2112112121ABvmvm2222222121ABvmvm m1 m22f2FAv2Bv211111111 BABArdfrdF22222222 BABArdfrdF1F2F1m2

8、m1f2fAB两式相加得：两式相加得：2211221122112211 BABABABArdfrdfrdFrdF即：外力的功之和内力的功之和即：外力的功之和内力的功之和 系统末动能系统初动能系统末动能系统初动能记作：记作：A外外A内内EKB - EKA推广到任意质点系：所有外力对质点系做的功和推广到任意质点系：所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。量。注意：注意： 内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。）（22221122221121212121AABBvmvmv

9、mvm说明：说明：1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。动能。2、 EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。负，视功的正负而变。3、动能是质点因运动而具有、动能是质点因运动而具有的做功本领。的做功本领。4.3 保守力和势能保守力和势能1、保守力保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的：某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关，或始末位置有关，而与路径无关，或 。这种力称为保守力。这种力称为保守力。0 LldF2、势能势能：在具有保守力相互作用的系统内，只：在具有保守力相互作用的系统内

10、，只由系统内质点间的相对位置决定的能量称为势由系统内质点间的相对位置决定的能量称为势能。能。3、几种保守力和相应的势能、几种保守力和相应的势能重力的功和重力势能重力的功和重力势能m在重力作用下由在重力作用下由a运动到运动到b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点，y轴向上为正，轴向上为正，a、b的的y坐标分别为坐标分别为ya、yb。rdgmdA可见，重力是保守力。可见，重力是保守力。)(abyymgAPE为势能增量为势能增量重力的功等于重力势能增量的负值重力的功等于重力势能增量的负值。重力势能可以某一水平面为零势能点，重力势能可以某一水平面为零势能点，mgyEP bayymgdyAdyFy)(a

11、byymgPPapbEEE)(mgdyabmybyzxyaOcmg弹力的功和弹性势能弹力的功和弹性势能 b akxF可见，弹性力是保守力。可见，弹性力是保守力。弹性力的功等于弹性势能增量的负值弹性力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能以弹簧原长为零势能点弹性势能以弹簧原长为零势能点,则弹簧伸长或压缩则弹簧伸长或压缩x时时的势能为的势能为0 xPkxdxE注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。baxxxdxFAbaxxkxdx)2121(22abkxkx )(PAPBEEPE2221)210(kxkx引力的功和引力势能引力的功和引力势能两个质点之间在

12、引力作用下相对两个质点之间在引力作用下相对运动时运动时 ，以，以M所在处为原点所在处为原点,M指向指向m的方向为矢径的正方向。的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。受的引力方向与矢径方向相反。rdrrGMmAbarr12可见万有引可见万有引力是保守力。力是保守力。万有引力的功等于引力势能增量的负万有引力的功等于引力势能增量的负值值。引力势能以二质点相距无穷远为零势能点引力势能以二质点相距无穷远为零势能点rGMmdrrMmGErP12)1()1(abrrGMm)(PaPbEEdrrGMmbarr21ABMrbraFrmrd则相距则相距r 时时的势能为的势能为0PbbEr时小结小结：

13、1、只要有保守力，就可引入相应的势能。、只要有保守力，就可引入相应的势能。2、势能仅有相对意义、势能仅有相对意义,计算势能必须规定零势计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点的势能大小等于在能参考点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。势能点时保守力所做的功。3、保守力所做的功可用相应势能增量的负值、保守力所做的功可用相应势能增量的负值来表示，即来表示，即A保内保内-（EPBEPA）。4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。统的。例例4 4：对功的概念有以下

14、几种说法：对功的概念有以下几种说法：(1)(1)保守力作正功时系统内相应的势能增加保守力作正功时系统内相应的势能增加. .(2)(2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零功为零. .(3)(3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功的代数和必为零两者所作的功的代数和必为零在上述说法中：在上述说法中： C (A)(A) (1) (1) 、 (2)(2)是正确的是正确的(B)(B) (2) (2) 、 (3)(3)是正确的是正确的(C)(C)只有只有(2)(2)是正确的是正确的(D)(D)只有只有

15、(3)(3)是正确的是正确的例例5：一弹簧原长：一弹簧原长l0=0.1m，倔强系数，倔强系数k=50N/m，其一端固定在半径为其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点的半圆环的端点A，另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环由半圆环中点由半圆环中点B移到另一端移到另一端C的过程中，弹簧的的过程中，弹簧的拉力对小环所做的功为拉力对小环所做的功为 JBRAOc-0.207提示提示：)21()E-(EP1P2212221kxkxA 4.4 机械能守恒定律机械能守恒定律1、质点系的功能原理、质点系的功能原理质点系的动能定理：质点系的动能定理：A外外+A内

16、内=EkB - EkA因为因为 A内内=A保内保内A非保内非保内所以所以 A外外+ A保内保内A非保内非保内= EkB - EkA 又因为又因为 A保内保内-（ EPBEPA）=EPAEPB所以所以 A外外 A非保内非保内 (EkB+EPB )-(EkA +EPA)即即 A外外 A非保内非保内EB - EA质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力的功的总和等于它的机械能的增量。称功能原理。守力的功的总和等于它的机械能的增量。称功能原理。2、机械能守恒定律机械能守恒定律A外外0A非保内非保内0则则EB EA常量常量如果如果在只有保守内力做功

17、的情况下，质点系的机在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。械能保持不变。3、能量守恒定律能量守恒定律封闭系统：不受外界作用的系统。封闭系统：不受外界作用的系统。一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。注意：能量表示状态注意：能量表示状态, 功代表过程功代表过程.封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，能封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。例例7：(习题指导典型例

18、题习题指导典型例题3)两个自由质点，其质量分两个自由质点，其质量分别为别为m1 1和和m2 2 ，它们之间的相互作用符合万有引力定律。，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为求当它们的距离变为1/2 1/2 l时，两质点的速度各为多少？时，两质点的速度各为多少？ 解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统的动量和机械能均守恒。设两质点之间的间距变系统的动量和机械能均守恒。设两质点之间的间距变为为1/2 1/2 l时，它们的速

19、度分别为时，它们的速度分别为v1 1及及v2 2 ，则有，则有 02211vmvmlmGmvmvmlmGm212222112122121)(22121mmlGmv)(22112mmlGmv 联立、，解得 4.5 守恒定律的特点及其应用守恒定律的特点及其应用动量守恒：动量守恒：角动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下结论。结论。 0外外F 0外外M00 非保内非保内外外，AA碰撞过程：碰撞过程：完全非弹性碰撞（碰后合在一起）：完全非弹性碰撞（碰后合在一起）：动量守恒，动能不守恒动量守恒，动能不守恒完全

20、弹性碰撞：完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒动量守恒，动能守恒在上述说法中：在上述说法中：（A）只有（只有（1）是正确的）是正确的（B）（1）（）（3）是正确的）是正确的（C）（1）（）（2）是正确的）是正确的（D）（2）（）（3）是正确的）是正确的B例例8：对质点组有以下几种说法：对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关）质点组总动量的改变与内力无关 （2）质点组总动能的改变与内力无关）质点组总动能的改变与内力无关 （3）质点组机械能的改变与保守内力无关）质点组机械能的改变与保守内力无关B例例9：两质量分别为：两质量分别为m1、m2的小球，用的小球，用一倔强系数为一倔强系数

21、为k的轻弹簧相连，放在水的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示。今以等值反平光滑桌面上，如图所示。今以等值反向的力分别作用于两小球时，若以两小向的力分别作用于两小球时，若以两小球和弹簧为系统，则系统的球和弹簧为系统，则系统的（A）动量守恒，机械能守恒动量守恒，机械能守恒（B）动量守恒，机械能不守恒动量守恒，机械能不守恒（C）动量不守恒，机械能守恒动量不守恒，机械能守恒（D）动量不守恒，机械能不守恒动量不守恒，机械能不守恒FFD例例10：如图所示，有一个小块物：如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连接此物体，另一有一绳其一端连接此物体

22、，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度原以角速度w w在距孔为在距孔为R的圆周的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉。则物体拉。则物体（A）动能不变，动量改变动能不变，动量改变（B）动量不变，动能改变动量不变，动能改变（C）角动量不变，动量不变角动量不变，动量不变（D）角动量不变，动能、动量都改变角动量不变，动能、动量都改变R1.一质量为一质量为 mm 的质点的质点, ,在半径为在半径为 R 的半球形容器中的半球形容器中, ,由由静止开始自边缘上的静止开始自边缘上的 A 点滑下点滑下, ,到达最低点到达最低点 B 时时, ,它对它对容器的正压力数值为容器的正压力数值为 N, , 则质点自则质点自 A 滑到滑到