与圆有关的动点问题

1、与圆有关的动点问题1、如图，OO的直径AB=4, C为圆周上一点，AC=2过点C作。O的切线DC, P点为优弧CBA上动点(不与A. C重合).(1) 求/ APC与/ ACD的度数;(2) 当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形 OBPC是菱形.(3) P点移动到什么位置时， APC与厶ABC全等，请说明理由.2、如图，在菱形 ABCD中，AB= 2 3，/ A= 600，以点D为圆心的OD与边AB相切于点E.(1) 求证：O D与边BC也相切；(2) 设O D与BD相交于点H,与边CD相交于点F，连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留);O D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周

2、，当SA HDF= 3 SA MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留).C3、半径为2cm的与O O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线I的同侧，O O与I相切于点F，DC 在I上.(1) 过点B作的一条切线BE, E为切点. 填空：如图1,当点A在。O上时，/ EBA的度数是; 如图2,当E，A，D三点在同一直线上时，求线段 OA的长(2) 以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形(图 3)，至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC, AD与OO的公共点，求扇形MON的面积的范围.4、如图，RtA ABC的内切圆O O与AB BC、CA分别相切于点D、E

3、、F,且/ACB=90，AB=5, BC=3, 点P在射线AC上运动，过点P作PH丄AB,垂足为H.(1) 直接写出线段AC AD及O O半径的长；(2) 设PH=x PC=y求y关于x的函数关系式；(3) 当PH与O O相切时，求相应的y值.5、如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不与 M、C 重合)，以AB为直径作OO,过点P作O O的切线，交AD于点F,切点为E.(1) 求证：OF/ BE(2) 设BP=x AF=y,求y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC与H（图2）,问是否存在

4、点P,使厶EF3AEHG （E、F、O与E、H、G为对应点）如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由.(图 1)(S 2)6 如图，O O的半径为1,直线CD经过圆心0,交。O于C、D两点，直径AB丄CD,点M是直线 CD上异于点C、0、D的一个动点，AM所在的直线交于O0于点N,点P是直线CD上另一点，且 PM=PN.（1）当点M在O0内部，如图一，试判断PN与O0的关系，并写出证明过程；（2） 当点M在O 0外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立请说明理由；答案：1、解：（1）连接AC,如图所示：/ AB=4, 0A=0B=0C=AB=2B又 AC=2, AC

5、=0A=0CAC0为等边三角形。 / AOC=/ ACO=/ OAC=60 , / APC=Z AOC=30。又DC与圆O相切于点 C, OCX DCo 上DCO=90。 / ACD=Z DCO / ACO=90 - 60 =30 0(2)连接 PB, OP,/ AB 为直径，/ AOC=60 , / COB=120 o °当点P移动到弧 CB的中点时，/ COP=Z POB=60 o COP和 BOP都为等边三角形。 AC=CP=OA=OP四边形AOPC为菱形。(3)当点 P与B重合时， ABC与厶APC重合，显然 ABGA APG当点P继续运动到 CP经过圆心时， ABC CPA

6、理由为： CP与 AB 都为圆 O 的直径， / CAP=Z ACB=90。°在 RtA ABC与 RtA CPA中，AB=CF, AC=AC RtAABC RtA CPA ( HL) o综上所述，当点 P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时， ABgA CPAo2、解：(1)证明：连接 DE,过点D作DN丄BC,垂足为点No/四边形ABCD是菱形， BD平分/ ABC/ O D 与边 AB 相切于点 E, DEX AB。 DN=DE O D与边BC也相切。(2) 四边形 ABCD是菱形，AB= 2/3, AD= AB= 2 可。又/ A= 60o, DE= ADsin600= 3,

7、即 O D 的半径是 3。1又/ HDF= / HADC= 60o, DH= DF,HDF 是等边三角形。2Q过点H作HG丄DF,垂足为点 G,贝U HG= 3sin60°= 一品o213393S扇形HDF60323S HDF33602224阴影S扇形HDFS HDF3969 3-F30244(3)假设点 M运动到点M1时，满足 MDF,S HDF=过点M1作M1P丄DF,垂足为点P,则9134 33 2 3 M1P，解得 MP=2 o1 M1PDM1 o / M1DF= 30o。2此时动点M经过的弧长为:303180过点M1作M1M2/ DF交O D于点M2,AB则满足 S HDF

8、 = 3S M1DF3SM2DF15035180 2。A在O O上时，过点B此时/ M2DF= 150o，动点M经过的弧长为:3解：（1）半径为2cm的与O O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线I的同侧, 作的一条切线 BE, E为切点， OB=4, EO=2,Z OEB=90 ,/ EBA的度数是：30°如图2,直线I与O O相切于点F,/ OFD=90 ,正方形 ADCB中，/ ADC=90 , OF/ AD,/ OF=AD=2,四边形OFDA为平行四边形，/ OFD=90 ,平行四边形 OFDA为矩形， DA 丄 AO,正方形 ABCD中，DA丄AB, O, A, B三点在

9、同一条直线上； EA丄 OB,/ OEB=Z AOE, EOWA BOE, oa oe OE OB， OE2=OA?OB, OA (2+OA) =4,解得：OA=-1± . 5 ,/ OA>0, OA= .5-1 ;方法二：oa oa在 RtA OAE 中，cos/ EOA=OE 2 'OE 2在 RtA EOB 中，cos/ EOB=OB OA 2 OA 22 OA 2解得：OA=-1± 5,/ OA>0, OA= .5-1 ;方法三：/ OE丄 EB, EA丄 OB,由射影定理，得 OE=OA?OB, OA (2+OA) =4 ,解得：OA=-1土

10、.5,/ 0A>0, 0A= .、5 -1;(2)如图 3,设/ MON=° , S 扇形 mon= x 2=n (cm2),36090S随n的增大而增大，/ MON取最大值时，S扇形mon最大， 当/ MON取最小值时， S扇形mon最小，如图，过O点作OU MN于K,NK NK在 RtA ONK 中，sin/ NOK= ON 2 '/ NOK随NK的增大而增大，/ MON随MN的增大而增大, 当MN最大时/ MON最大，当 MN最小时/ MON最小， 当N, M , A分别与D, B, O重合时，MN最大，MN=BD,/ MON= / BOD=90 , S 扇形 m

11、on 最大=n (cm2), 当MN=DC=2时，MN最小， ON=MN=OM ,/ NOM=6° ,S扇形mon最小= n ( cm2),3.2 nW扇形 mon W n34、(1)连接AO、DO.设O O的半径为r.在RtA ABC中，由勾股定理得 AC=,： , -=4,则OO的半径r(AC+BC- AB)十(4+3 - 5) =1; CE CF是 O O 的切线，/ ACB=90 ,° / CFO=Z FCE=Z CEO=90 ,° CF=CE四边形CEOF是正方形， CF=0F=1又 AD、AF是O O的切线， AF=AD; AF=AC- CF=AC-

12、OF=4- 1=3，即 AD=3;BC=3,/ / C=90 ,° PH丄 AB, / C=Z PHA=90 °/ / A=Z A, AHP ACB,._AC - PCAB即鼻，：.y=-卫x+4,即y与x的函数关系式是 y=-卫x+4；333(3)如图,P'与O O相切./ Z OMH'= MH' D=H' DO=9,0 OM=OD,四边形OMH'D是正方形， MH' =OM=1由(1)知，四边形 CFOE是正方形，CF=OF=1, P' H' =P'M+MH' =P,'即F+FC=P

13、 ' C又由（2）知，y= - x+4,3y= y+4,解得，y=?.D5、(1)证明：连接OEFE FA是O O的两条切线 Z FAO=Z FEO=90 °在 RtA OAF 和 RtA OEF 中,pO=FO OAOE RtA FAC RtA FEO ( HL), Z AOF=Z EOFZ AOE, Z AOF=Z ABE, OF/ BE,(2)解：过F作FQ丄BC于Q PQ=BP- BQ=x- yPF=EF+EP=FA+BP=x+y /在 RtA PFQ 中 fq2+qp2=pF 22+ (x- y) 2= (x+y) 化简得：，(1 V XV 2);(3)存在这样的P

14、点，理由：/ Z EOF=Z AOF, Z EHG=Z EOA=2Z EOF,当 Z EFO=Z EHG=2Z EOF时，即 Z EOF=30 时，RtA EF3 RtA EHG, 此时RtA AFO中， y=AF=OA?tan30 °,= =75 EFa EHG.当 r -时,6、(1) PN 与 O O 相切.证明：连接ON, 贝y Z ONA=Z OAN, / PM=PN, Z PNM= Z PMN ./ Z AMO= Z PMN, Z PNM=Z AMO. Z PNO=Z PNM+Z ONA=Z AMO+ Z ONA=90 : 即PN与O O相切.(2)成立. 证明：连接ON,贝U Z ONA=Z OAN,/ PM=PN, Z PNM= Z PMN .在 RtA AOM 中， Z OMA+ Z OAM=90 ° Z PNM+ Z ONA=90 . Z PNO=180 - 90 =90 :