2022年2022年抽象函数解题方法与技巧

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 换元法抽象函数的解题技巧精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载换元法包括显性换元法和隐性换元法,它为解答抽象函数问题的基本方法.2例1.已知 f1+sinx=2+sinx+cos 2x、求 fx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: 令 u=1+sinx、 就 sinx=u-10 u 2、 就 fu=-u2+3u+10 u 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 fx=-x+3x+10 u 22.方程组法运用方程组通过消参.消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题

2、；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2. 设yf x为实数函数即x、 f x 为实数 、 且f x 2f 1 xx 、 求证 :| f x |22.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: 用 1x代换 x、 得f 1 x22f x 1 、 与已知得x 2x23xf x20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由0 得 9fx 420、| f x |2.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3.已知 f x f x11 xx 、 x0且x1、 求fx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解

3、:f x x - 1f x11x xx1x0且xx11x1、1x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用代换 x 得 : f xxf 1、x1xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 f x - 1xf 11x112x1 .x2再以11 - x代换1中的 x得 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 1x1f 1x111x1、 即f1x11 - xf x 2x .1x3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载132x 3x 21精品学习资料精选学习资料 - - -

4、 欢迎下载由得 : f x 22x 22xx0且x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.待定系数法假如抽象函数的类型为确定的,就可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；例 4.已知 fx 为多项式函数,且fx+1+fx-1=2x2-4x、 求 fx.解: 由已知得fx 为二次多项式,设fx=ax 2+bx+ca 0 代入比较系数得过且过:a=1、b= -2、c= -1、fx=x 2 -2x-1.4.赋值法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载有些抽象函数的性质为用条件恒等式给出的,可通过赋特别值法使问题得以解决；例 5.对任意实数x、y,均满意fx+y 2

5、=fx+2fy2 且 f1 0、就 f2001= .解: 令 x=y=0、 得： f0=0、 令 x=0、y=1、 得 f0+1 2=f0+2f1 2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 10、f 11.令x2n、 y1、 得f n1f n22 f 11f n、 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 fn1 - fn1 、 故f n2n 、f 2001 22001.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6. 已知 fx 为定义在r 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数a、b 都满意fab=afb+bfa.1求 f0 ,f1 的值； 2 判定 fx 的奇

6、偶性 、并证明你的结论;n3 如 f2=2、u n=f2 n n*、 求证 :u n+1>unn n*.解:1 令 a=b=0、得 f0=0、 令 a=b=1、 得 f1=0.2fx 为奇函数 .由于 :令 a=b=-1、 得 f-1-1=-f-1-f-1、f-1=0、故 f-x=f-1x= -fx+xf-1= -fx、故 fx 为奇函数 .3 先用数学归纳法证明:un=f2 n>0n n* 略5.转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的便利.例 7.设函数 fx 对任意实数x、y,都有 fx+y=fx+fy、如 x&g

7、t;0 时 fx<0、 且 f1= -2、 求 fx在-3 ,3 上的最大值和最小值.解: 令 x=y=0、 得 f0=0、 令 y=-x、 得 f-x+fx=f0=0、即 fx 为奇函数 .设 x1<x 2、就 x 2-x 1>0、由已知得fx 2-x 1<0、 故 fx 2=fx 2-x1+x 1 =fx 2-x 1 +fx 1< fx 1.所以 fx 为 r 上的减函数 、又 f3=f1+f2=-6、f-3=6.故 fx 在 -3、3 上的最大值为6、最小值为 -6.例 8.定义在 r+ 上的函数 fx 满意 : 对任意实数m、fx m=mfx; f2=1.

8、1 求证 :fxy=fx+fy对任意正数x、y 都成立 ;2 证明 fx 为 r+ 上的单调增函数;3 如 fx+fx-3 2、求 x 的取值范畴 .解:1 令 x=2 m、y=2 n、其中 m、n 为实数 、就 fxy=f2 m+n =m+nf2=m+n.2又 fx+fy=f2m+f2 n=mf2+nf2=m+n、所以 fxy=fx+fy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2 证明 : 设0x1x 2 、 可令 mn且使 x 12m 、 x2 n 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由1 得f x 1 f x 2 f x1

9、 x 2f 2m n mnf 2mn0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 fx 1<fx 2、即 fx 为 r+上的增函数 .3 由 fx+fx-3 2 及 fx的性质 、 得 fxx-3 2f2=f2解得3<x 4.6.递推法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载对于定义在正整数集n* 上的抽象函数、用递推法来探究,假如给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例 9.为否存在这样的函数fx、 使以下三个条件: fn >0、n n; fn 1+n2 =fn 1fn 2、n1、n2 n* ;f2=4 同时成立 .如存在 、求出函数 fx

10、 的解析式；如不存在,说明理由.解: 假设存在这样的函数fx、 满意条件 、得 f2=f1+1=4、 解得 f1=2.又 f2=4=2 2、f3=2 3、由此猜想 :fx=2 xx n* 数学归纳证明略）例 10.已知 fx 为定义在 r 上的函数,f1=1、 且对任意 x r 都有 fx+5 fx+5、fx+1 fx+1.如 gx=fx+1-x、 就 g2002= .解: 由 gx=fx+1-x、得 fx=gx+x-1.所 以 gx+5+x+5-1 gx+x-1+5、gx+1+x+1-1 gx+x-1+1即gx+5 gx、gx+1 gx.所以 gx gx+5 gx+4 gx+3 gx+2 g

11、x+1、 故 gx=gx+1又 g1=1、 故 g2002=1.22例 11.设定义在 r 上的函数 fx、 满意当 x>0 时、fx>1、 且对任意 x、y r、有 fx+y=fxfy、f1=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 解不等式f 3xx4、 ; 2解方程 f x1 f x23f21.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:1 先证 fx>0、 且单调递增,由于fx=fx+0=fxf0、x>0时 fx>1、 所以 f0=1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又f xf x2xx2 f 220、 假设存在某个 x or

12、 、 使 f x o 0、就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx=fx-xo+x o=fx-x ofx o=0、与已知冲突,故fx>0任取 x1、x2 r 且 x1<x 2、就 x 2-x 1>0、fx 2 -x1>1、所以 fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1=fx 2-x 1fx 1-fx 1=fx 1fx 2-x 1-1>0.所以 x r 时、fx 为增函数 . 解得 :x|1<x<22f1=2、f2=2、f3=8、原方程可化为:fx 2+4fx-5=0、 解得 fx=1 或 fx=-5 （舍 由1 得 x=0.例

13、 12.已知函数fx 对任何正数x、y 都有 fxy=fxfy、且 fx 0、当 x>1 时、fx<1. 试判定 fx在0、+ 上的单调性 、并说明理由 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: 对xr有f xf xx f 2 x 0、 又 f x0、故f x 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设x1 、 x 2r、 且x 1x、 就 x 22x11、 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 2 f x 2x 1x 1 f x 2 x1f x 1 f

14、 x 2 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x1 f x 1 f x 1 x 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 fx 1>fx 2、故 fx 在 r+ 上为减函数 .才能训练精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 假如 f xyf x f y、且 f 12、 就f 2f 1f 4f 3f 6f 5f 2000f 2001的值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a.1999b.2000c.2001d.20022.已知不恒为零的函数fx 对任意实数x、y 都满意 fx+y+fx-y=2fx+fy、就 fx 为a.

15、偶函数b.奇函数c.既为奇函数又为偶函数d. 非奇非偶函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 定义在实数集上的函数的值为 .f x 满意 f x11f x1f x1 、就f 1f 2f 31f 2000精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.已知函数f x 满意 af x bf 1 xcx 、其中 a、 b、 c为不为零的常数、 且ab、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 fx= .f x cax 2 a2bb .2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

16、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 定义在 1、1上的函数f x 满意: 1 对任意 x 、 y1、1、 都有 f xf y f xy 1xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 当 x -1、0 时 、有 fx>0. 求证 : fx 为奇函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）1f 111f 191f 2n5n1f . 53精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:1易证 fx为奇函数；（2）易证 fx在-1、0、0、1上为单调递减函数.111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又f n21f 5n5n12n31fn 1n

17、2n312n3fn2n3111n2n31f n2f 1n3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 1 11f 1 19f 1n 25n f 1 53f 1 4 f 14f 15f 13f 1n3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又f 1 n30、f 1 3f 1n3f 1.命题成立3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. 定义域为 r的函数 fx 满意：对于任意的实数x ,y都有 fx+y=fx+fy成立,且当 x0时fx0恒成立 .1 判定函数 fx 的奇偶性,并证明你的结论；2 证明 fx 为减函数；如函数fx

18、 在-3 , 3）上总有 fx 6成立,试确定 f1 应满意的条件；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3解关于 x的不等式12f axnf x 12f a xnf a、 n为一个给定的自然数、 a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: （ 1）由已知对于任意x r, y r, f （ x+y） =f （ x） + f （ y）恒成立令x=y=0 ,得 f（ 0+0 ） = f （0） + f （ 0）, f （ 0） =0令x=-y ,得 fx-x = f x + f -x =0对于任意 x ,都有 f -x = - f x f x 为奇函数 .（2）设任意 x1, x2 r且x1 x2,就 x 2-x 1 0,由已知 f（ x 2-x 1） 0（ 1） 又f （x 2-x 1） = f （x2 ）+ f （ -x 1） = f （ x 2） - f （ x1）（ 2）由（ 1）（ 2）得 f x1 f x 2、 依据函数单调性的定义知f x 0在 -, + 上为减函数 .f x 在-3 , 3 上的最大值为f -3 .要使 f x 6恒成立,当且仅当f -3 6,又 f（ -3）= - f （ 3）= - f （ 2+1 ）=- f （ 2）+ f （ 1）= - f （ 1） +