第5章-导数和微积分-5-4 高阶导数

1、 当我们研究导函数的变化率时就产生了高阶导数.如物体运动规律为 ,它的运动速度是 , , 而速度在时刻t的变化率就是物体在时刻t的加速度4 高阶导数数学分析 第五章导数和微分( )ss t ( )vs t ( )( )( ).a tv ts t数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数定义400( )( )fxxf xx 在在点点的的导导数数为为函函数数在在点点的的二二阶阶0,().fx 导导数数 记记作作可导可导.如果如果 f (x) 在区间在区间 I 上每一点都二阶可导上每一点都二阶可导, 则得到则得到仿照上述定义仿照上述定义, 可以用可以用 f 的的 n 1 阶导函数定义阶导

2、函数定义 f如果如果 的导函数的导函数 在点在点 可导可导,( )f x( )fx 0 x的的 n 阶导数阶导数.),(xf 记作记作. Ix 一个定义在一个定义在 I 上的二阶导函数上的二阶导函数,后退 前进 目录 退出则则称称0( )f xx此此时时也也称称在在点点二二阶阶二阶及二阶以上导数称为高阶导数二阶及二阶以上导数称为高阶导数.数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数n 阶导函数记作阶导函数记作0fxn函函数数在在点点处处的的阶阶导导数数记记作作d(),dnyx可可写写作作即对即对 y 进行了进行了n 次次ddnnyx这里也这里也ddx求导运算 “”求导运算 “”( 看

3、作一个算符看作一个算符 ).( )0(),nfx0( ),nx xy ,dd0 xxnnxy 0d( ).dnx xnf xx ()()( )(),nnfxf或或 ,ny,ddnnxyd( ).dnnf xx数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数例例1 求下列函数的各阶导数求下列函数的各阶导数:);()1(为正整数为正整数nxyn ;e)2(xy ).(0, !)()(nmynymn ;cos,sin)3(xyxy .ln)4(xy 解解,)1(1 nnxy(2)e ,e ,xxyy,)1(2 nxnny( )+N ,(e )e .xnxn对对一一切切数学分析 第五章 导数和微

4、分高等教育出版社4 高阶导数( )+sin (),N .2nyxnn同理同理( )+(cos )cos (),N .2nxxnn,1)4(xy .)!1()1(1)(nnnxny cos ()sin (2),22yxx 高阶导数运算法则高阶导数运算法则 ( 可用数学归纳法验证可用数学归纳法验证 )：,12xy ,213xy ,有有对对,sin)3(xy cossin() ,2yxx 数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数(0)(0),.uu vv 其其中中公式公式 (2) 称为称为莱布尼茨公式莱布尼茨公式.加法加法)1(.)()()()(nnnvuvu 乘法乘法( )( )(0

5、)1(1)(1)()Cnnnnuvuvuv ()( )0C,(2)nkn kknkuv()( )(0)( )Ckn kknnuvuv 莱布尼茨莱布尼茨( Leibniz,G.W. 1646-1716, 德国德国 )数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数例例2e cos.xyx 求求的的三三阶阶导导数数解一解一e cose cos()2xxyxx e cos()e cos(2)22xxxxe cos2e cos()e cos(2);22xxxxxxe cose cos()2e cos()22xxxyxxx 2e cos(2)e cos(2)e cos(3)222xxxxxxxxy

6、xxsinecose e cose cos();2xxxx 数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数3e cos(2)e cos(3).22xxxxe cos3e cos()2xxxx(2).y 直直接接用用莱莱布布尼尼茨茨公公式式求求出出解二解二2e cos(2);4xyx 2 2 e cos(3).4xyx 解三解三e cose sinxxyxx e2cos();4xx数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数解解 分段函数要分段讨论分段函数要分段讨论: 例例3 讨论分段函数讨论分段函数的高阶的高阶22,0,( ),0 xxf xxx ,0时时当当 x,2)(xx

7、f 当当 x 0时时,导数导数.( )2,fx ( )0(3);nfxn,2)(xxf ( )2,fx ( )0(3);nfxn数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数(0)(0)(0)0,fff 用用左左、右右导导数数定定义义可可得得时时当当,0 x(0)f 由于由于(0)2,(0)2,ff 因此在因此在 x = 0 处处2 ,0,( )0,0,2 ,0;xxfxxxx 2,0,( ),0,2,0;xfxxx 不存在不存在( )( )3,( )0 (0),(0).nnnfxxf 当当时时不不存存在在2,n 故故当当时时( )(0).nf不不存存在在不存在不存在 .从从而而数学分

8、析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数例例4 求参变量函数求参变量函数 ( 摆线摆线 )(sin ),(3)(1cos )xa ttyat .y 的的二二阶阶导导数数解解 首先讨论一般参变量函数首先讨论一般参变量函数的二阶导数的二阶导数. 这个函数的一阶导数为这个函数的一阶导数为( ),( )xtyt d( ),d( )ytxt 数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数把它写成参数方程把它写成参数方程:( ),d( ).d( )xtytxt 由此求得由此求得 xyxxydddddd22txtdddd ( )( ),( )ttt 3d( )( )( )( ).(4)d( )yttttxt 即即数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数回到方程回到方程(3)(3)，根据公式根据公式(4)(4)就就有有 解法一解法一 ( 公式法公式法 ) 22ddxy31(1cos )(sin ) () sinata tta tt (1cos ) (sin ) at a tt 3322)cos1(sin)cos1(costattta 2)cos1(1ta 2sin414ta .2csc414ta 数学分析 第五章 导数和微分高等教育出版社4 高阶导数2