高数下试卷一

1、试卷一一、 填空题1、设 则= 。2、球面在点（1，2，3）处的切平面方程为 。法线方程为 。3、若级数收敛，则 。二、单项选择1、若级数在处是收敛的，则此级数在处（ ） a发散 b条件收敛 c 绝对收敛 d收敛性不能确定2、微分方程的特解形式是（ ）。a b。 c。 d。 3、设简单闭曲线l所围区域的面积为s，则s=（ ）。a b。 c。 d。4、是二阶非齐次线性微分方程的三个线性无关的特解，为任意常数，则该方程的通解是（）。5、设函数在点的某邻域内有定义，且，则有（ ）。ab曲面在点的一个法向量为。c曲线在点的一个切向量为。d曲线在点的一个切向量为。三、求解下列各题（每小题8分，共48分）

2、1、设，而，求和 2、计算，其中d是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。 3、计算曲面积分，其中是球面被平面截出的顶部。 4、判断级数的收敛性（每小题4分，共8分） （1） （2） 5、求级数 的收敛域及和函数。 6、将函数展开成的幂级数。五、应用题（10分） 五求函数在附加条件下的极值。试卷二一、 填空题（每空3分，共15分） 1、设 则= 。2、旋转抛物面在点（2，1，4）处的切平面方程为 。法线方程为 。3、的麦克劳林展开式为 。二 选择题1、函数的极值为（ ）。 a4 b。0 c。存在且不为0 d。不存在2、当时，幂级数在收敛区间左端点处（ ）3、设，且以4为周期，则的傅立叶级数

3、处（ ）a发散 b。条件收敛 c 。绝对收敛 d。不能确定a收敛于3 b。 收敛于2 c。 收敛于1 d。 收敛于0三、求解下列各题（每小题8分，共48分）1、设，而，求和2、计算，其中是平面在第一卦限内部分。3、 计算，其中d是由抛物线及直线所围成的闭区域（画出d的图形）4、判断级数的收敛性（每小题4分，共8分）（1） （2） 5、求级数 的收敛域及和函数。 6、将函数展开成的幂级数。四、应用题（10分）求表面积为而体积为最大的长方体的体积。试卷三一、填空题1、设，则du= 2、函数 在x = 0处的麦克劳林级数为 3、设l是由所围区域的正向边界，则 4、幂级数的收敛半径为 二、单项选择1、

4、若二元函数在点存在一阶偏导数是函数在点可微的（ ）.（a）充分条件，不是必要条件 （b）必要条件，不是充分条件（c）充分必要条件 （d）不是充分条件，也不是必要条件2、设为可微函数，则交换积分次序后（ ） （a） （b）（c） （d）3、设简单闭曲线l所围区域的面积为s，则s=（ ）。a b c d 4、 下列级数中绝对收敛的是（ ）（a） （b） （c） （d）三、求解下列各题、 设，求、 设d是由xy =1，y = x，x = 2所围成，求 、 判断级数的收敛性（1） （2） 、 计算曲面积分其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧,是在点处的法向量的方向余弦5、将函数展开成

5、的幂级数。四、计算 ，其中l为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，l的方向为顺时针方向。五、应用题试在圆锥面 与平面z = 1 所围的锥体内求出底面平行于xoy平面的最大长方体体积。试卷四一、 填空题 1、设 则= 。2、旋转抛物面在点（2，1，5）处的切平面方程为 。法线方程为 。3、的麦克劳林展开式为 。二 选择题1、幂级数的收敛半径为（ ）a、1 b、 c、2 d、42、幂级数在收敛区间左端点处（ ）a 发散 b 条件收敛 c 绝对收敛 d 不能确定3、设，且以4为周期，则的傅立叶级数处（ ）a收敛于3 b 收敛于2 c 收敛于1 d 收敛于01、设，求 2、计算 (8分)三、

6、求解下列各题（每小题8分，共48分）3 、设d：，求 (8)分4、设是，所围立体的表面，取外侧，求曲面积分 (8分)5、求级数 的收敛域及和函数。 6、将函数展开成的幂级数。四、求解下列方程（12分） 确定的值，使存在使得,并求。五、应用题（10分）求与所围立体的体积。试卷一答案一、 填空题（每空3分，共15分）1、= 2、球面切平面方程为或法线方程为 3、二 选择题（每题3分，共15分）1、 d 2、 d。 3、d 4、c 5、c三、求解下列各题（每小题8分，共48分）1、 解：=+ =4分= -8分2、 解:在极坐标系下,闭区域d可表示为 -2分于是= -5分 = -8分3、解:的方程为在

7、面上的投影区域为圆形闭区域-2分又 -4分于是= -6分= -8分4、解: (1) ,且级数收敛 -2分 收敛 -4分(2) , -6分由正项级数的比值审敛法可知， 收敛 -8分5、解 ，当收敛。而发散，-2分 收敛区间为（-1，1）。 -4分 且 -6分 -8分6、将函数展开成的幂级数。解： -2分 -4分 -6分于是， -8分 -5分 五、应用题解：作拉格朗日函数 -3分令 （1） （2） （3） -5分将（1）、（2）、（3）式两端分别乘以后，相加得 -6分将此结果分别代入（1）、（2）、（3）式，得 -8分由此得到点是函数在附加条件下唯一可能的极值点。应用二元函数极值的充分条件判断，可

8、知点是函数在附加条件下的极小值点。目标函数在附加条件下在点处取得极小值。 试卷二答案一、 填空题 1、则=2、切平面方程为或法线方程为3、 或 二 选择题（每题3分，共15分） 1、 d。 2、c 3、b三、求解下列各题（每小题8分，共48分） 1、解：=+ = 4分= -8分2、解：在面上的投影区域，是由直线所围成的闭区域。 -2分在上，所以 -4分 -6分 -8分3、解：画出积分区域d的图形 -2分 积分区域d为： -4分 -6分 -8分4、（1） ,而 发散， -3分故 发散 -4分 （2） -3分 故 发散 5、解： ，当收敛。而 ，发散，-2分 收敛区间为（-1，1）。 -4分设 ，

9、 -6分 6、将函数展开成的幂级数。解： -2分 -4分 -6分于是， 四、解：设长方体的三棱长为，则问题就是在条件下，求函数 的最大值。作拉格朗日函数 -3分令 （1） （2） （3） -5分因为都不为零，由（1）、（2）、（3）得 -6分由以上两式，得 -8分由此得到唯一可能的极值点。问题的最大值一定存在，故表面积为的长方体中，以正方体体积最大，最大体积 试卷三答案一、填空题1、. 2、 3、 4、二 选择题1、 b 2、 d。 3、d 4、c三、求解下列各题1、解：两边同时对x求偏导，得 (4分) （3分） 2、原式 = (3分)= (2分)= (2分)3、解: (1) , (3分)由正

10、项级数的比值审敛法可知， 收敛 (1分)(2) ,且级数收敛 (2分) 收敛 (1分)4、解：由高斯公式，得 =3 = (3分)5、解： (2分) (2分) (1分)四、解：令，。则当时，有。 (2分)记l所围成的闭区域为d 。当时，由格林公式，得。 (3分)当时，选取适当小的，作位于d内的圆周：。记l和所围成的闭区域为。对复连通区域应用格林公式，得 (3分) 其中的方向取顺时针方向，于是 (3分)五、应用题解：设长方体的边平行于坐标轴，其顶点在锥面的坐标是（x，y, z）,其体积 v = 4xy( 1 - z) =4 (3分), (4分)由，得唯一驻点：，最大体积。 试卷四答案一、 填空题 1、则=2、切平面方程为或，法线方程为3、 或 二 选择题1、 b 2、b 3、d三、求解下列各题1、 解： （4分） （4分）2、 解： （4分） （4分）3、 解：原