一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1、导数压轴题型归类总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用(1)二、交点与根的分布 (23)三、不等式证明 (31 )(一) 作差证明不等式(二) 变形构造函数证明不等式(三) 替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围(51 )(一) 恒成立之最值的直接应用(二) 恒成立之分离常数(三) 恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用(70 )六、导数应用题 (84 )七、导数结合三角函数< 7t(1) sin x x, x (0,)i 斤(x< 1)书中常用结论sin x_变形即为',其几何意义为一"上的的点与1y sin x, x (0,)xxinx

2、 x e ,x 0、导数单调性、极值、最值的直接应用1.2(切线)设函数f(x)x a(1)(2)a =1时,求函数g(x) =xf (x)在区间0,1 ±的最小值；a >时，曲线y = f(x)在点(x,()(>< )处的切线为0与轴交于点xa(x2,o求证：x x = a=±4 时一 c"3匚£2彳 n£ ,<v-j” yv32g(x)的变化情况如下表:3、厂解：(1)(0,j)3g(x)极小值+3所以当x 时，g(x)有最小值 >厂 3g(2)证明：曲线在点+phy f (冯(=亠+x1xi处的胡线斜率 k_

3、 f (xi) 2xi;)> 厂一丁曲线在点p处的切线方程为f(x)2(2)-x10=，得xx12xx a1又2 2x12x2x所以xi x2 a2.(2009天津理20,极值比较讨论)已知函数2f(x)(xax22a 3a)e (xr),其中a ra当o时，求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;(2)当定一时，求函数的单调区间与极值af (x)3解：本小题主要考查导数的儿何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。+iw当 0 f (x)a 时2e f xx，x ()x e2 )f故f(1)=+ + 一 + 所以曲线y f

4、(x)在点fl, f fl)处的切线的斜率为3e.(2) f *(x)2 ax aa&2x (2)24.令f'(x) _0,解得2x2,或 x a 2由 a知，2a32.a3x, 2a 2azzz2a, a 2 a 2 a 2,=_+o_十_+7极大值极小值/所以f (x)(7 2a),(a- 2,)内是增函数，在(2a，a 2)内是减函数.函数函数e x2a处取得體大宿f (丿a)且7( la2a) (-+8 )a2id占"3a)e .，f(x：3ae2=2 a 2 x 一 f'(x)，l(x)=_若a v ，贝【j3_a >,当变化时，的变化情况如下

5、表：x,a 2a 2a 2,2a2a2a,+00+/极大值极小值/所以f(x)(a 2)( 2a)(a 22a)在，内是增函数,在，内是减函数。函数f(x)在x a 2处取得极大值f(a 2 函数f(x)在x 2a处取得极小值f ( 2a),a 2,且 f(a 2)(4 3a)e 2a f( 2a)3ae3.已知函数x2f(x)+=2+2ax, g(x) 3a in x b.>(1)设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立y 彳&)与g(x)a 0b关于的函数关系式，二并求 +的最夫值；-ab勢i设心与>-r<x>(x >吐帝珞巻郝励紀叫？ n

6、 工 +2陕=寸为由xt)= g(%) > x<> & (x0>解円a ide jcq 一3a (舍去,)6 -a2 3a* ina (a 3> 0>.(a) 5 6o6mi aa 2a(l 36m).6 «> °* (：、“z v j v"3 v 0x|：- cxxh=>d > 3 l 3m > 0u 3ua vowjjl ma)aaa k<*> y47 分< h >ax> 鼻十¥6 依a<v(x)< o a a*(x)> o aftit

7、 (d当az(z) < 0时z + ¥ -6< 0工十乎 m b"w ：02只ut x-f <0 7x g (0.4)“不存衣j3b当= 0 8# 工十0 ax + a b*' b w02只 x + ¥* r 2 a3a1 a x(2 x)恒成立vxe «>») aw > 1 a±.«的jk值龍为y-豊4.(最值，按区间端点讨论)a己知函数f(x)=lnx.当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；3若f(x)在1, e上的最小值为£，求a的值 g x g 解：(1)由

8、题得f(x)的定义域为(0, +oo),且f(x)=+2 =x x9ta>0, .f(x)>0,故f(x)在(0, +oo)上是单调递增函数x +a(2)由可知：f(x)二2xf(x)在1, e上为增函数,若an - 1, » a> 0,即n 0在1,e±恒成立，此时/.f(x)min = f (1) = 一 3 即陛0在1,e上恒成立,此时若 a< e,则fas 0,f(x)在1,e上为减函数,i 3/.f(x)min=f(e)= 1 =2e(舍去)若一 evav1,令 f刈=0,得 x= a.当1vxva时,f(x)v0, f(x)在(1,a)上

9、为减函数;当一avxve时，f刈>0,f(x)在(二a, e)上为增护数,°f(x)min = f ( a)=a)+1 =? a=e .综上可知：a=- e .xln(1 ),其中125.(最值直接应用已知函数f (x) x ax2(iii)若f(x)f(x)，在一一一w20,+)o上的瞠直是，求a的或值圃x(1a ax)解：(1)f (x)，x=p，)x 1+x .11依题意,令解得经检时，符合题意f0aa>f=3 =<<'xa 0f (x) (ii)解：当时，x 1(l)若x 2是f(x»巒及值点，求a的值;(ii)求的单调闻故的单调增阔

10、；单调减f (x)(0,)1当a 0时，令f (x)0 ,得，或为 02x1a当时，与的情况如下：0 a 1 f (x) f (x)x(-1, xi)x1(xi, x2)x2(x2, +8)f'（x）0+0+f(x)f(xi)/g所以,f(x)f(x)2f(xi)的单调增区间是f（x产1和171)(0,aa0f (x)(0,)(1,0)=_ +o(综上，当时，的增区间是，减区间是a 0f (x)(0,)(1.0)>一+oc11当时，的增区间是,减区间是和0 a1f(x)<(0,护(1,0)(=1,)aaa <1< f (x)1,)当吋，的减区间是;穽 <

11、时，的单调增区间是一；单调减区向是 一 一a 1f (x)(1,0)(1，1)(0,)aa>+o0（皿）由（u）矢口时，在上单调递增，由,知不合题意+ xa 0f(x) (0 =)f(0) 0> = 1 1当 亍寸，陌增区间是；减区间是和的最大值是1时，在1 f (x)(0,f（ 1） a,知不合题意十一一十一 +oc所以，f（x）的单调增区间是（0,1）；单调减区间是（1,0）和（ 1,）.aa1 x20- f(x)f (x)+oc9+x2x22 1x11当一吋，的单调减区间是a 1 f（x）（ 1,）> 一 <v1f (x)00f( 1)f(0)0a当时，在单调递减

12、，a1f (x)(0,)可得彳仪)在0,)上的最大值是f(0)0,符合题意.f (x)0,)0a1,所以,在上的最大值是时，的取值范围是6.(2010北京理数18)已知函数f (x) =ln(1 +)-x+ x ( k > o).2k(i)当 =2吋，求曲线yt=f (x)在点(1,)处的切线方程(ii)求f(x)的单调区间=k 2解(i)当吋，f (x) ln(1 x) x x ,11 2x1 xf由于in 2'所以曲线即 3x 2y _ -foe处石切线方程yf(x) (1,f(1)在点in 23(x 1)(ii ) f *(x)2ln 2 30x(kx).当 k <0

13、 压 f '(x)所以，在区!b,("1,0)(0；f f(xro故f (x)得单调递權粼1,0),单调递减刪p,x(kx1)当时，由f'(x)k 1=一0 k 1+0,得x1 0x1x2_00+0x2所以在区冊(1,0) ( + ,)k; 在区迴,f *(x)0f '(x)0故得单调递1wf (x)和(1,0)(2x当k 1时，*()故得单调递當魁f xf(x)(:1,)1 xx(kx k 1)1 k当k 1时，,得x(1,0) , x2 0.f '(x)01 xk1-k所以没在区间-和十30(1， ) (0,k1-k上,>:在区间f *(x)

14、01 - k故得单调递增区间是-和f(x)( 1,)k上，q) k亠.1-k",单调递减区间是(0)(0,)kf *(x) < o7.(2010 lli东文21,单调性)= 一 一1 af (x) in x ax1(ax已知函数r)当当解：x1y f (x)/ 时，求曲线.-在点3)处的切线方程;1+时，寸论f(x)的单调性2= +y in 20 +oc因为f (x) in x ax1,+oo1(1) 当 a=0 肘.g(x)-x+l, xga?0> 冷°), a- 1鸥txg0>g(x)>0» 此时 f(x：2当j2初，2<>

15、l>0xw (0>(2) 当 a=0时.由f(x)=o,即 ax2-x+l=ot当a=i2时.x：s x单调违减；所以f2x:肘，g(x)>0,lo!t f(x)<0,函数 f(x|单调违減 g(x)>0tl时气xko,函数单调谨减，$(x )>p牧此财(遊0,函数调递减解得 xi=l.x2=l/a-l&心j恒成立，此时f(x)wo函数“莊(0, +8)上8.(是一道设计巧妙的好题，同时用到 e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，(1)(2)联系紧密)x已知函数f(x) in x,g(x) ex +1若函数e(x)二f(

16、x),求函数e(x)的单调区间;x1设直线i为函数f(x)的图象上一点 a(xo, 的xo,使得直线i与曲线y二g(x)相切. +f(xo)处的切线，证明：在区间(1+00)上存在唯一x(x) f x1)>2 +)(+)in x2 1 2x+ x r x x(x)0,1 fl1,函数的单调递增区间为(ii)： f (x)1,f (x )=( *x'工-+_1切线i的方程为y in x00+hly直鬻摯线丄丿目切于点 <"1tx1"(x ,e )设91=-<pg(xdr11xi in x0in x0直线i也为宁in x1x 10e in x_ 1o由

17、+得,.i in x00xxx 1,=+°一tj-= 0 00(1,+)上< - -存在且唯一0-v xamb1由(i)可知，(x)在区间上递增.in x(1,+)x122e1 2e1e 32 2又(e) ine0 ,(e ) in e0 ,22e1 e 1e1e 1x下证：在区间结合零点存在性定理，说明方程 (x)0必在区间(e,e )上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 x 故结论成立.9.(最值应用，转换变量)22ax 1设函数 f(x) (2 a)ln x(a 0).xa ( 3, 2)xi, x21,3(m当时，任意m实数的取值范围.22 a12ax(2f (x)2a解

18、：22xxx1111a2(,)时，增区间为，减区间为a2a2f(x)(1)讨论函数在定义域内的单调性；in3)a 2ln 3 | f(xi) f(q恒成立，求a)x 1(ax 1)(2x 1)2x1 1(0,)(,)当当 =_时,a 2+x(o/ )1 1_ =_ ,减区阖a 2-< <当时，2 a 0+oc11,)2a一 >1 1,增区珂a 21 1),减区珂0,),2 a一时,3, 2)在一上单调邇,+f(x) 1,3+ + xi,x2 1,3,|f(xi) f(x2)|< f (1) f (3)(1 2a) (2 a) in 3+ > 2i f (x) f

19、(x )| 4a (a 2)ln 3 即+ + 1 23(叫 in3)a 2心_| f(x) f(x )|恒成立,1 2(min 3)a2ln 34a(a2)ln 3ma4a3v <ec2又a0 , /. m4 .3a= + +_13238a (3, 2) , 49 33a910.(最厨应舸<g&)xrg x函数珮前匕1) q)21且m 13 v32v eg x x x g(1)1 已知二次,设函数f(x)g(xi )= +)7 mln xm r x 0( , )28(-)+ (-尸(-)+ =(-)-(i)求g(x)的表达式；(ll)若x r f(x),使0成立，求实数m

20、的取值范围1 m e h(x) f (x)(m 1xi, x2|h(x)h(x)|(i)设2axbx c 解:,于是2ax 1 2c2 x 12,所以121.1 1 又2x+21(ii)if(x)g x _、rnln一 2" '：812x mln x(m r, x 0).2当m>0时,由对数函数施 f (x)的值媒-= + = * =当m二0吋,4分对x 0)当m<0吋，由f (x) x0xm ,列表：x=j -:=+匚x (0,m)m(m,)> c1 += f (x)n <i <0+v >f(x)>减极小增这吐>f(x)sf(

21、 m)minmmln m.一乂 u(+ 8 )iiii 12p m9二<mln0,m0e<m 0.minf(x)2<0所以若恒成立,f(x) 0< <厕实藪活的取值范用一v成立，实数m的取值范围f (一 0 (9e 0,(e, 0.=()+一 >分<(iii)因对(一 jfx + q(xx=-17 币厂vxm)0,所以1，m内单调邇于是=1()=(+ k|h(x)h(x)|h (1) h (m)1 221 12|h(x)h(x)| 1/m mln m1>2 ()=:+i 丿213h(m)m in m(1 m e)记,则22m12)' (

22、) mln m所以函数2(3131m inm, 0.,l<t t e22m1c)-'(e21133111h*(m)02f2m2m2m332m在1'可是单调增函数,h(m)in me3e 3 e 1所以h(m)h(e)10 ,故命题成立.22e2ex3f x2x ax3 ,xb ex r"谡函数的一个极值点ababf x(1)求与的关系式(用表示),并求的单调闻2 25(2)砂a,若存在，使得ag xae41, 20,4f 1的取值范围成立，求g 21a7hx=7haxxix（3）是函数axa-06>72ax（-x _）的一个极值点)>（一b的关系式为

23、2a 3, a： _ 4(2)调递减,3, a 1r=（ +-）得单减区间为:+ 1-(时，)'1)=mb得单减区间为:得单增区间为:-if a x,由丿得单增区间为:a 1,3)-3,)<x2 a上单调递增，在0,3上单3,4(x)min min f (0), f (4)(2a3f x3)e,max f 3 a 6易知由于存在上的值域为(23) 3,a 6a e0,425必须且只须25x在e4上的值域为，臨a上是增函数，0,425250,1 成立,又要解得:0 aa r ?所以， 的取值范围为 0,212.f (x) (x 一 ax b)e(x r)a 一2,b2(1)求函数3

24、的极值;(2)是函数x1的一个极值点，试求出f(x) >=a-关于的关系式(用 b+表示 ),e b并确定f(x)a <的单调区间;4 3)隹l2)的条件下，或 +a函数0 g(x) (ax 4+14)e若存在使，20,4| f 11() oo+2()1 1-成立，求的取值范围.解：(g f (x)v x 2+ x(2x a)e (x ax b)e(2 a)x (axb)ea 2,b2当 =_ 时,f(x)2(xx2x 2)e 则 f'(4得(x4x)e0,(x4x)exi丄f *(x)0 + =时+,+弍4,0)f '(x)0 x (0,) f *(x)0当x时,

25、函数 f(x)有极大值，f (x) 极人=，ex 0 时，函数有极蘇f&x) x (2的一个极值点极小即觀(2a) (a b)。，解得 b 3 2ax 2xf (x)ex (2a)x ( 3 a) e (x 1)x (3 a)则f (x)0xi1 x2 3 a令,得或(2)由(1)知x 1， 是函数x = 1 是极值点，二 当-"> 即3 a 1 ar < 3 a 工 4a h 4 *,即< - > 时，由得4f (x)0x ( 3 a,x (, 1)由得t x < x > (1, 3 a) > ()0'< _ _a)1

26、即a 4时，由f (x)0得x得 x ( 3 a, 1). 0综上砂h时，单调递增区间如,1）和（3 a,a)当a 4时，单调递增区间如，3 a）和（1,（3）由2）知：当a>0时，f（x）在区间（0,）,递减区间如3 a,=+1）上的单调递减，1)of (x)0,4f(1)(a 2)皐+二函数；在区间上的最小值为+4f(0)(23)又beao +f(4) (2 即913)e0+ +_ > 4函数f x在区间0,4上的值域是f (1)4(4),即(a 2)e,(za 13)e ()aa入aa4入一入 v2x 4(a又聆在区间（1, 4）壬单调翅增，+<14）e+ 在区i、旺0

27、, 4上是增函数且它在区间0,4上的值域是（a14)e ,(a14)e(a14)e(2a13)e(a64=2a 1)e (a 1) e0,4存在使得山i)f( 2) |1成立只须4(a 14)e z+4 =<1(2a 13)e(a1) e1 (a 1)13. (2010山东，两边分求，最小值靖值 )已知函数1 af (x) in x ax1 (a r)xg(x)1时，it2的单调性f(x)12a2bx4 当时，若对惫4当a <为(0,2)x21,2(2)i$存在，使f(x)> g(x )b当自1-xi 时2x2此时f (x) 0f(x)t00吋,210, x<(0)时

28、h(x)0,f (x)0,函数f(x)单调减<1(1,e a1)+_ <时，h(x)<0,f (x),函数0 f(x)单调爛1,时,)<,函数h(x) 0, f (x)0f (x)单调翅+0x (0,1), h(x) 0, f (x)函数3单调邀,求实数取值岡2解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在起 调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了利用导数研究函数的单 考查了同学们分类讨论的数学想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解阕题的能力(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求母x)的最小值、利用二次

29、函数知识或分离常数法求扭闭1,2上的最大值，然后解不等式求参数g(x)_> 9 = +() f x =in= x1 aax、1( 0), xia 1f (x)a22ax x a21(x0)xxxx令=2=+> >9<vh(x)axx 1 a(x0)-herv>a0h(x)x1(x0)x (0,1), h(x) 0, f(x) of(x)当时，函数单调遡丰+ 当,函数单调爛x (1,),h(x) o.f (x)0f(x)=nf <1af (x) oax2 x1 a 012当0时，由即解得x1,x< <- _ _ > >9><

30、a当 x (1,),h(x)0, f (x)0,函数 f(x)单调爛单调翅(1，)综上所述：当时，函数在 单调逋a 0f (x)(0,1)1axi x2 h(x) 0f (x)0f (x)(0,单调邀当时，恒成立，此时，函数 在210<a<_ 时,函数21f (x)(0,1)递减，递增，1(一-1 “)当 递减a当a1吋,在(0,1)上是减函数，在(1,2) ±是增函数，所以对任意f(x)xi (0,2)有f (x)n1一一= 一 +存在vx2 1,2：,使e又/ g02(x b) 4b 1当g(x)min时，当时，g(x)g(1) 5 2bb1,22=b ,x = uq

31、xg0<2),所以min2 时，g(刈一 g(2)min综上,实数b的取值范围g x()，22与(探)矛盾;x21,2又已知 ，欲)14.设函数f (x)in x(i)1时,(h)当 °(川)当a9(1) .4+8 4b>1 aax=x :0也与(探)矛盾;过原点的直线与函数 f (x)的图象相切于点1 _时，求函数f(x)的单调冈2 + +p,求点p的坐标;i时，设函数3+=5=-2 bxg(x) x 2,若对于 xi12(0,e,x2 0, 1使仁2 g(xj 成立，求实数x1b的取值范围(e是自然对数的底,解：函数f(x)的定义嫌0,1st)，(x)1x(i)设点

32、p(xb, yo)(xo 0),当 a 1 时,f (x)1 a2xin x xin xo xo 1,1f (x)1, /.x解得222ex,故点p的坐标够畀o e(ii)f (x) 1 1a0 a1 02a21ax ax a2x(x 1)(ax 1 a)2xa(x 1)(x2xin x x 11 0 0x01-a r.当0幺，或 >时f (x) <0，当x< <a1故当0 a 时，函数f0)的单调增阖(1,2+x1 a单调邀阖(0,1),(,)=a -一 +(iii)当a时,3x 2f (x) in x1由(ii)可知函数3 3xf (x：)生(g4)上是减函数,一

33、+在42)上为增函教7杳一(27窃士为减函数7 w)f一f 3e2 22 e 2e 3 (e 03e e3e/. f (e)f(1),故函数f(x)在(0,e±的最小值为3 1, . (e 1)3,2-3:/心)<0/(力单调递减,山上肖若时/心)e力单调滋地28)使不等式e成立，求实数的2f (x) g(x)a若对来(0,e, x2 0使f(xjn g(x2)成立 g(x)在0,1±的最小值不大于= _ = 2 _ f(x)在to,e±的最小值一(*)3<552 bxx b 2 b2g(x) x 2()，x 0,1- 12 =- 12当b 0申冬卫(

34、x)在0,耳上为增整 t9(x)min g(0)52123与宀矛盾当0 >b1时，52g( ming(b)b,=x) < -< >, 125q21由 b及0 b 1彳專产b 11232当b 1时，g(x)在0,1±为减函数，g(x)min=7"7 + 2g(1)2b 12“c，此吋b 1123+ >1综上，b的取值)范團, ) |- | 215. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)2已知函数f(x) x in x,g (x)f 文力 ax 3.>求取值范围证明对锹 (0,),都有in x2成立.解：ex当0 <t <t

35、 + 2< -时t无解当01 + 2时，即0 v"时= /ee<z + 2bt,bp/>1 时 j在“+2上单调递检“ =/(/) = rz«z e所以 f(x )nintint10 <te>4te(2)由题意知2 + 一22xlnx x ax 3,<+ +3a 2lnx x()=+ + 纠 >2lnx(1,» 奇,exx_ +_xx 0,h x单调递增;所以h+max1= + + h ,h(e)，因为存在max1,e，使2f x g x成立，e所以a1h()max13eh(e) 2(母)3eh(e)(h（）而e（叫）箋血拠（朋乂由知节)3ex+ocx0,e ex xlnx的最小值是e当且仅当xx设 xxe1（乜）取到，e2x 0,，则max从而对一切xex 2. 都有xlnx成立，xe e1 2 二 亠 即 >对一切匸(4&