高中基本初等函数（精编版）

1、单调性（1） ）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属 于定义域 i 内某个区间 上的任意两 个自变量的值 x 1、x2, 当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增 函数（1） ）利用定义（2） ）利用已知函数的单调性（3） ）利用函数图象（ 在某个区间图象上升为增）（4） ）利用复合函数如果对于属 于定义域 i 内某个区间 上的任意两 个自变量的值 x 1、x2，当 x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减 函数（1） ）利用定义（2） ）利用已知函数的单

2、调性（3） ）利用函数图象（ 在某个区间图象下降为减）（4） ）利用复合函数单调性是与“区间”紧密相关的概念，对于一个函数，它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性，例如函数y=x+，它在区间（ -， 0上没有单调性，而在0，+）上是增函数。有的函数不具备单调性，如函数y=，它的定义域为 r，但它不具备单调性；再如函数y=x+1， xz，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。函数的单调性具有可逆性，即在区间 d 上单调递增，则， 且，有；反之亦然。复合函数的单调性： 在公共定义域内， 两个增函数的和是增函数， 两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个

3、增函数为减函数。对于复合函数yf g ( x) ，令ug (x) ，若yf (u) 为增，ug ( x) 为增，则yf g(x) 为增；若yf (u) 为减，ug( x) 为减，则yf g( x) 为增；若yf (u) 为增，ug( x) 为减，则yf g (x) 为减；若yf (u) 为减，ug (x) 为增，则yf g (x) 为减最大（小）值定义一般地，设函数yf (x) 的定义域为 i ，如果存在实数m 满足：（ 1）对于任意的 xi ，都有f ( x)m ；（2） ）存在 x0i ，使得f (x0 )m 那么，我们称m 是函数f ( x)的最大值，记作 f max ( x)m 一般地

4、，设函数yf ( x) 的定义域为 i ，如果存在实数 m满足： （ 1）对于任意的 xi ，都有f (x)m ；（ 2）存在 x0i ，使得f ( x0 )m 那么，我们称m是函数f (x) 的最小值，记作fmax ( x)m 函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质奇偶性定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x) 定义域内任意一 个 x，都有 f( x)= f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1） ）利用定义（ 要先判断定义域是否关于原点对称）（2） ）利用图象（ 图象关于原点对称）如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有 f( x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1

5、） ）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2） ）利用图象（ 图象关于y轴对称）若函数f (x) 为奇函数，且在x0 处有定义，则f (0)0 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反用定义判断函数奇偶性的方法（1） ）幂函数的定义幂函数一般地，函数yx 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（2） ）幂函数的图象（3） ）幂函数的性质图象分布： 幂函数图象分布在第一、 二、三象限，第四象限无图象 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只

6、分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 0, ) 上为增函数如果 0 ，则幂函数的图象在 (0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数图象特征： 幂函数yx , x(0,) ，当1 时，若 0x1，其图象在直线yx 下方，若x1 ，其图象在直线yx 上方， 当1时，若 0x1，其图象在直线yx上方，若 x1 ，其图象在直线yx 下方指数函数函数名称指数函数定义函数 yxa (a0 且 a1) 叫做指数函数a10a1yya

7、 xya xy图象y1(0,1)y1(0,1)oxox定义域值域过定点图象过定点 (0,1) ，即当 x0 时， y1 奇偶性非奇非偶单调性在 r 上是增函数在 r 上是减函数函数值的变化情况a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低对数函数（1） ）对数的定义x若 an (a0, 且a1) ，则 x叫做以 a 为底 n 的对数， 记作 xlog an ，其中 a 叫做底数， n 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：（2） ）几个重要的对数恒等式（3） ）常用对数与自然对数xlog ana xn ( a0, a1, n0) 常用对数： lg n

8、 ，即log 10 n ；自然对数：ln n ，即 log e n （其中 e2.71828）（4） ）对数的运算性质函数对数函数名称定义函数 ylog ax(a0 且 a1) 叫做对数函数yx1ylog a xyx1 ylog a x图象o(1,0)x(1,0)ox定义域值域过定点图象过定点(1,0) ，即当 x1时，y0 奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数函数值的变化情况a变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高设函数反函数yf ( x) 的定义域为 a ，值域为 c ，从式子yf ( x) 中解出 x ，得式子x( y) 如果对于 y 在c 中的任何一个值，通过式子x( y) ， x在 a 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函数， 函数 x( y) 叫做函数yf (x) 的反函数，记作x f1( y) ，习惯上改写成y f 1( x) （ 7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf ( x) 中反解出 xf 1 ( y) ；将 xf1 ( y) 改写成yf1( x) ，并注明反函数的定义域