古典概型与几何概型（精编版）

1、.古典概型与几何概型时间： 45 分钟分值： 100 分一、选择题 ( 每小题 6 分，共 48 分)1(2011 ·理， 4) 如图，矩形 abcd中，点 e为边 cd的中点若在矩形 abcd部随机取一个点 q，则点 q 取自 abe部的概率等于( )11a. 4b. 312c. 2d.3【答案】c【解析】本题主要考查几何概型 e为 cd的中点，则 aeb的面积为矩形面积的一半，1.2所求概率为p11，故选 c. 22. 为了庆祝六一儿童节， 某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一卡片，集齐3 种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 ()3133a. 81

2、b. 814850c. 81d.81【答案】d【解析】运用对立事件的概率的求法， 可先求不获奖的概率为p13×2 3535，所以获奖概率为p 1 p150，选 d.813. 电子钟一天显示的时间是从 00： 00 到 23： 59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率 为 ( )11a. 180b. 28811c. 360d.480【答案】c【解析】由时间特点知后2 个数字之和最大为5914，故前 2 个数字之和不能小于9， 前 2 个数字只可能为： 09,18,19.只有在 09：59,18 ：59,19 ：58 与 19：49 时，四个数字

3、之和为23.又一天共有 60×24 1440 分钟， 即只能显示 1440 个数字，41所求概率为.14403604(2011 ·哈六中期末 ) 在区间 12 ， 2 上随机取一个数x，则 cosx 的值介于 0 到2之间的概率为 ()12a. 3b. 12c. 2d.3【答案】a1【解析】0cosx2， x ，22 2 x3 或 3 x 2 ，2× 2所求概率为p 31 ，故选 a.32 25(2011 ·学普教育中心联考版) 在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1 中，点 o为底面 abcd的中心， 在正方体 abcd一点 p，则点 p到点 o的

4、距离大于 1 的概率为 ()a1b1c1d1 随机取a. 12c. 6【答案】bb1 12d. 16143【解析】以点 o为圆心，半径为 1 的半球的体积为v× r3223 3，正方体的体积为28，由几何概型知：点 p到点 o的距离大于 1 的概率为23p( a) 1 81，故选 b.126(2010 ·，3) 从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则 b>a 的概率是 ()43a. 5b. 521c. 5d.5【答案】 d【解析】 设从1,2,3,4,5 中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，组成实数对 a

5、，b ，共有(1,1) ，(1,2) ，(1,3) ， (2,1) ，(2,2) ，(2,3) ，(3,1) ，(3,2) ，(3,3) ，(4,1) ，(4,2) ，(4,3) ， (5,1) ，(5,2) ，(5,3) 共 15 种，其中 b>a 的有 (1,2) ，(1,3) ，(2,3)3种，所以 b>a 的概率为31 . 故选 d.1557 abcd为长方形， ab2，bc1， o 为 ab的中点，在长方形 abcd随机取一点，取到的点到o的距离大于 1 的概率为 ()a. 4c. 8【答案】bb148d1【解析】要使点到 o的距离大于 1，则点需落在以o为圆心，1 为半

6、径的圆之外， p2 22 14 ，选 b.8(2011 ·理， 10) 甲乙两人一起去游“ 2011 世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览， 每个景点参加1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )11a. 36b. 951c. 36d.6【答案】d【解析】本题考查排列与组合及概率的计算4433甲、乙的游览方式为a6a6，确定一个景点的方式为a5a5，33a5a5 1 p6· 44 .a6a6 6二、填空题 ( 每小题 6 分，共 18 分)9(2011 ·， 13) 盒中装有形状、大小完全相同的5 个球，其中红色球

7、 3 个，黄色球 2 个，若从中随机取出2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 3【答案】5【解析】本题主要考查古典概型概率的计算222.p 1 c3 c21 4 3c510510(2010 ·) 点 a为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点b，则劣弧 ab的长度小于 1 的概率为 2【答案】3【解析】圆周上使弧的长度为1 的点 m有两个，设为 m1， m2，则过 a的圆弧的长度为2，b点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，2所以劣弧的长度小于1 的概率为.311(2012 ·八校联考 ) 已知 k z，ab( k, 1) ， ac (2,4)，

8、若| ab| 4，则 abc是直角三角形的概率是 3【答案】7【解析】| ab| k2 14，15 k15， kz， k 3， 2， 1,0,1,2,3，当 abc为直角三角形时，应有ab ac，或 abbc，或 acbc，由ab· ac 0 得 2k40， k 2， bcacab(2 k, 3) ，由ab· bc0 得 k(2 k) 30， k 1 或 3，由ac·bc0 得 2(2 k) 12 0，k8( 舍去) ，故使 abc为直角三角形的 k 值为 2， 1 或 3，3所求概率 p .7三、解答题 ( 共 34 分)12(11 分)(2010 ·

9、天津， 18) 有编号为 a1， a2， a10 的 10 个零件，测量其直径 ( 单位： cm)，得到下面数据：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a101.51.41.41.51.41.51.41.41.51.41991917637编号直径其中直径在区间 1.48,1.52的零件为一等品(1) 从上述 10 个零件中， 随机抽取一个， 求这个零件为一等品的概率；(2) 从一等品零件中，随机抽取2 个用零件的编号列出所有可能的抽取结果；求这 2 个零件直径相等的概率【解析】(1) 由所给数据可知，一等品零件共有6 个，设“从.10 个零件中，随机抽取1 个为一等品”为事件a，则 p( a)

10、6 3105(2) 一等品零件的编号为a1，a2， a3， a4，a5， a6，从这 6 个一等品零件中随机抽取2 个，所有可能的结果有： a1，a2 ， a1 ，a3 ， a1，a4 ， a1，a5 ， a1，a6 ， a2，a3 ， a2， a4 ， a2，a5 ， a2，a6 ， a3，a4 ， a3 ，a5 ， a3 ，a6 ， a4 ，a5 ， a4， a6 ， a5， a6 ，共有 15 种，“从一等品零件中，随机抽取的2 个零件直径相等” ( 记为事件 b) 的所有可能结果有： a1，a4 ， a1，a6 ， a4，a6 ， a2，a3 ， a2， a5 ， a3， a5 ，共有

11、 6 种62 p( b) .15513(11 分) 单位正方形 abc，d 在正方形 ( 包括边界 ) 任取一点 m，求：1(1) amb面积大于等于的概率；4(2) am的长度不小于 1 的概率【解析】(1) 如图 a，取 bc、ad的中点 e、f，连结 ef，当 m1在 cefd运动时， abm的面积大于等于 4，由几何概率定义知ps矩形 cdfe12s正方形 .(2) 如图 b，以 ab为半径作圆弧， m在阴影部分时， am长度大于等于 1，由几何概率的定义知s阴影1p 11 1.sabcd 2× 2 ×414(12分) 一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1) 记 z( b 3) 2( c3) 2，求 z4 的概率；(2) 若方程 x2bxc 0 至少有一根 a1,2,3,4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率【解析】(1) 因为是投掷两次，因此基本事件( b，c) 共有 4×4 16 个，当 z4 时， ( b，c) 的所有取值为 (1,3)、(3,1)，21所以 p( z 4) .168(2) 若方程一根为x1，则 1bc 0，即