中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法（精编版）

1、动点问题静态问题的划分面积公式的使用不同情况的考虑例 1：（北京市石景山区2010 年数学期中练习）在abc中， b=60° ,ba=24cm,bc=16cm,(1) 求 abc的面积；(2) 现有动点 p 从 a 点出发，沿射线ab向点 b 方向运动，动点q从 c点出发，沿射线cb也向点 b 方向运动。如果点 p的速度是 4cm/秒，点 q的速度是 2cm/秒，它们同时出发， 几秒钟后， pbq的面积是 abc的面积的一半？(3) 在第（ 2）问题前提下， p,q 两点之间的距离是多少？b静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）3例 4：（ 09 齐齐哈尔）直线yx46 与坐

2、标轴分别交于a、b 两点，动点 p、q 同yc时从 o 点出发，同时到达a 点，运动停止点q 沿线段 oa运动，速度为每秒1 个单位长度，ba点 p 沿路线 o b a 运动（ 1）直接写出a、b 两点的坐标；p（ 2）设点 q 的运动时间为t 秒， opq48的面积为 s ，求出 s 与 t 之间的函数关系式；oqax（ 3）当 s时，求出点 p 的坐标， 并直接写出以点o、p、q 为顶点的平行四边形的5第四个顶点m 的坐标静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例 5：（ 2009 宁夏） 已知： 等边三角形abc 的边长为 4 厘米， 长为 1 厘米的线段mn 在 abc的边 ab

3、上沿 ab 方向以 1 厘米/ 秒的速度向b点运动（运动开始时，点m 与点 a重合，点 n 到达点 b 时运动终止），过点 m 、n分别作 ab 边的垂线，与 abc的其它边交于p、q 两点，线段 mn 运动的时间为t 秒（ 1）线段 mn 在运动的过程中，t 为何值时，四边形mnqp 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（ 2）线段 mn 在运动的过程中， 四边形 mnqp 的面积为 s ，运动的时间为t 求四边形 mnqp 的面积 s随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围c解：（ 1）过点 c 作 cdab ，垂足为 d 则 ad2 ，q3当 mn 运动到被 cd 垂直平分

4、时，四边形mnqp 是矩形，即am时，2p四边形 mnqp 是矩形，3t秒时，四边形mnqp 是矩形2amnbcqpq pmamtan6033 ，s33°=四边形 mnqp22amnb（ 2） 1°当 0t1 时， s四边形 mnqp1 (pmqn ·) mn3t322c13p2°当1 t 2 时， s四边形 mnqp( pmqn ·) mn 322q3°当 2t3 时，s四边形 mnqp1 (pmqn·) mn23t732amnb点评：此题关键也是对p、q两点的不同位置进行分类。静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（几何

5、中等量关系）例 6：（2009 四川乐山）如图（15），在梯形 abcd 中，dc ab，a90°， ad6 厘米，dc4厘米， bc 的坡度 i34，动点 p 从 a出发以 2 厘米/ 秒的速度沿ab 方向向点 b 运动， 动点 q 从点 b 出发以3 厘米/ 秒的速度沿 bcd 方向向点 d 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达dc终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t 秒（ 1）求边 bc 的长；q（ 2）当 t 为何值时，pc 与 bq 相互平分；ap eb（ 3）连结 pq，设 pbq的面积为y，探求 y 与 t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最图（

6、3）大值？最大值是多少？6.解：（ 1）作 ceab 于点 e ，如图（ 3）所示，则四边形aecd 为矩形ce3aecd4， ceda6又i34， eb8， ab122 分eb4在 rt ceb中，由勾股定理得：bcce 2eb210（ 2）假设 pc 与 bq 相互平分由dc ab，则 pbcq 是平行四边形（此时q 在 cd 上）·· ·2222即 cqbp， 3t10122t解得 t，即 t秒时， pc 与 bq 相互平分55（ 3）当 q 在 bc 上，即100 t 时，作 qfab 于 f ，则 ce qf3qfbqqf3t9t119t9281，即 q

7、f s pbqpb·qf(122t·)=(t3)cebc610522555· · ·· · ·· ·· · · ·· ·· ···· ·· · ·· · ·· · ·· ·· · · ·· ·· &#

8、183;··· ··· · ·812当 t3 秒时，s pbq 有最大值为厘米 5当 q 在 cd 上，即10 t 14 时，33s pbq1 pb·ce122(122t )6 = 366t10102易知 s 随 t 的增大而减小故当t秒时，3s pbq 有最大值为36616厘米 3812综上，当 t3 时，s pbq 有最大值为厘米 5例 7：（包头）如图，已知中点 abc 中，abac10 厘米， bc8 厘米，点 d 为 ab 的a（ 1）如果点 p 在线段 bc上以 3 厘米/ 秒的速度由b 点向

9、 c 点运动，同时，点q 在线段 ca上由 c点向 a 点运动dq若点 q 的运动速度与点p的运动速度相等，经过1 秒后， 请说明理由； bpd与cqp 是否全等，bcp若点 q 的运动速度与点p的运动速度不相等，当点 q 的运动速度为多少时，能够使bpd与cqp 全等？（ 2）若点 q 以中的运动速度从点c出发， 点 p 以原来的运动速度从点b 同时出发， 都逆时针沿 abc 三边运动，求经过多长时间点p 与点 q 第一次在 abc的哪条边上相遇？解：（ 1） t1秒，bpcq313 厘米， ab10 厘米，点 d 为 ab 的中点，bd5 厘米又 pcbcbp， bc8 厘米， pc835

10、 厘米， pcbd 又 abac ，bc ， bpd cqp vpvq ， bpcq ，又 bpd cqp ，bc ，则bppc4， cqbd5 ，点 p，点 q 运动的时间 tbp433 秒， vqcq515t44315厘米/ 秒80（ 2）设经过 x 秒后点 p与点 q 第一次相遇，由题意，得x3x4210 ，解得x秒3点 p共运动了 803380 厘米 8022824 ，点 p 、点 q 在 ab 边上相遇，经过80 秒点 p 与点 q 第一次在边ab 上相遇3静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例 8：（09 济南）如图，在梯形 abcd 中， ad bc， ad3，dc5，

11、ab42， b45 动点 m 从 b点出发沿线段bc 以每秒 2 个单位长度的速度向终点c 运动；动点 n 同时从 c 点出发沿线段cd以每秒 1 个单位长度的速度向终点d 运动设运动的时间为t 秒（ 1）求 bc 的长（ 2）当 mn ab 时，求 t 的值（ 3）试探究： t 为何值时， mnc为等腰三角形解：（ 1）如图，过a、 d 分别作 akbc 于 k ， dhbc 于 h ，则四边形adhk 是矩形 khad3在 rt abk 中，2akab gsin 45424222bkab gcos 4542 g224 在， rt cdh中，由勾股定理得，hc543 bcbkkhhc4331

12、0adad（2）如图，过d 作 dg ab 交 bc 于 g 点，则四边形adgb 是平行四边形 mn ab mn dg bgad3 gc1037n由题意知，当m 、 n 运动到 t 秒时，cnt， cm102t dg mn nmcb dgc 又 ccncmtkch（图）102tcbgmc50（图） mnc gdc即cdcg57解得， t17（ 3）分三种情况讨论：当ncmc 时，如图，即t102t t103当 mnnc 时，如图，过n 作 nemca 于 edad n11n解法一：由等腰三角形三线合一性质得ecmc22b102tm5tcbmh ec在 rt cen中， coscec5t 又在

13、 r（t图d）hc中， coscch35（图t）3解得t258nctcd5t5 cc，dhcnec90 nec dhc ncect5t即dchc5325t· · ·· · ·· ·· · ·· ···· ··· ···· ·· ·· · · ·· ·· ·&#

14、183;·· ··· ···· · ·8当 mnmc 时，如图，过m 作 mfcn 于 f 点.解法一：（方法同中解法一）fc1 nc1 t22adnfbh mc（图）coscfc mc解法二：1 t2102t360解得 t517 cc，mfcdhc1 t90 mfc dhc2fcmc即102t60 thcdc3517102560综上所述，当t、 t或t时， mnc为等腰三角形3817例 9：（呼和浩特）如图，在直角梯形abcd中， ad bc， abc90o ， ab12cm， ad

15、 8cm，bc22cm ， ab 为 o 的直径，动点 p 从点 a 开始沿 ad 边向点 d以 1cm/s 的速度运动， 动点 q 从点 c开始沿 cb边向点 b 以 2cm/s的速度运动， p、q 分别从点 a、c同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t ( s) ( 1) 当 t 为何值时，四边形pqcd为平行四边形？( 2) 当 t 为何值时， pq与 o 相切？apdo解： ( 1) 直角梯形abcd，ad bcpd qcbqc当 pdqc 时，四边形pqcd 为平行四边形由题意可知：apt，cq2tapd8t2t ， 3t88 ， t83obqc当ts

16、时，四边形pqcd 为平行四边形3apd h（ 2）解：设 pq与o 相切于点 h ，过点 p 作 pebc，垂足为 eoq 直角梯形 abcd， ad bcpeab 由题意可知：apbet，cq2tbqbccq222tbeqc22q ab 为o 的直径，abcdab90°ad、bc 为o 的切线apph，hqbq在 rtpeq 中，pe 2eq 2pq 2122(223t )2(22t )即： 8t88t1440t 211t180 ， (t2)(t9)0t2， t97 分12因为 p 在 ad 边运动的时间为ad88秒，而 t98t9 （舍去）11当 t2 秒时， pq 与o 相切

17、例 10. 如图，在矩形abcd中， bc=20cm，p， q，m，n 分别从 a，b，c， d 出发apnd沿 ad，bc，cb，da 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若bq=xcm( xcm=3xcm， dn=x2cm0 )，则 ap=2xcm，（ 1）当 x 为何值时，以pq，mn 为两边 ,以矩形的边（ ad 或 bc）的一部分为第三边构成一个三角形；（ 2）当 x 为何值时，以p， q，m ，n 为顶点的四边形是平行四边形；bqmc（ 3）以 p，q， m， n 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能

18、，请说明理由 解：（ 1）当点 p 与点 n 重合或点 q 与点 m 重合时，以 pq，mn 为两边，以矩形的边（ad 或 bc）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 p与点 n 重合时，2由x2x20， 得 x1211，x2211（舍去） 因为 bq+cm= x3x4(211)20 ，此时点 q与点 m 不重合所以x211符合题意当点 q 与点 m 重合时，由x3x20,得 x5 此时2dnx2520，不符合题意故点q 与点 m 不能重合所以所求 x 的值为211 2（ 2）由（ 1）知，点 q 只能在点m 的左侧，当点 p在点 n 的左侧时，由20(x3x)20(2 xx )，解得 x10(舍去)，x22 当 x=2 时四边形 pqmn 是平行四边形当点 p在点 n 的右侧时，由20(x3x