与抛物线有关的结论之欧阳历创编

1、与抛物线有结论时间：2021.02.09创作人：欧阳历，=* 一号）* 2抛物线中有一些常见、常L=2悴用的结论，了解这些结 论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解 答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB是抛物线门2网卩>0）的焦点弦（过焦点的弦），且畑）,B（“）,贝山 2丁，）甘7。£证明：因为焦点坐标为F（2,0）,当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为:x = kx'l,XXj = yL.yL=jL=iL由得：炒一2必一切'=0 .=一卩， z 2p 2p 4p2 4。X=P_当AB丄x轴时，直线AB方程为2,则y严，,=£2&

2、gt;2=-/ A >V2=-r,同上也有：V2TO例：已知直线AB是过抛物线宀2网0>o）焦点尸，求证： 侖谕为定值。证明：设心），叫,儿），由抛物线的定义知：阿7+二 刃AFBF = AB 所以“ +心的叩，且由结论一2知：尺兀11 _|AF|+|BF|_ AB _ 州则：耐阿丽务5+手,网，一 2=务+彳_p）+务"（常数）结论二：（1）若AB是抛物线心2吨o）的焦点弦，且直线2PAB的倾斜角为q贝!|网=花（佛）O （2）焦点弦中通径 （过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。y» = k（X ） 证明：（1）设心），*2,儿），设直线AB 2卜=* 一号

3、）=2p由y2=2Px 得：,ky'-2py-k=0”+ _F ,）»'2=-0，AB=- 讣- 纷此=_ 2p（l+F） _ 2p（l+tan2 a） _ 2Pk2tan2 a sin2 a o易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2）由（1）： AB为通径时，"90 , sinG的值最大， 期最小。例：已知过抛物线的焦点的弦应长为12,则直线AB 倾斜角为。解：由结论二，12二sin% (其中"y直线AB的倾斜角)，丄*nsin a = + 贝U_2 ,所以直线AB倾斜角为3或3。结论三：两个相切：(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。(2)

4、过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知AB是抛物线>*2 =2>o)的过焦点f的弦，求证：(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N,求证”以 MN为直径的圆与直线AB相切。“刁证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线佯 线，垂足分别为M、P、N,连结AP、BP-由抛物线定义: = , BN = BF, |eP| = |(|AA/| + |BAT|) = l(|AF|+|BF|) = 1|AB|以AB为直径为圆与准线1相切(2)作图如，取MN中点P,连结PF、MF、严,= AM0F, ZAMF

5、二ZAFM, ZAMF=Z/. ZAFM=ZMF0o 同理，ZBFN二ZNF0,£N ZMFN二2 ( ZAFM+ ZMF0+ZBFN+ZNF0)二90°,IB.MP = NP = FP = -MNZPFM=ZFMP ZAFP二ZAFM+ZPFM二ZFMA+ZFMP二ZPMA二90°,FP丄AB以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。结论四：若抛物线方程为 y'=2pMp>0）, 过（2，0）的直线与y = k(x-2p)，=2/X 得,之交于A、B两点，则0A±0Bo反之也成立。证明：设直线AB方程为：由AO>0，西+吃=£,x

6、“=bAO 丄 BOxxx2 + yy2 =xx2 +(鋼 +b)(kx2 +/?) = (1 + Zc2)x1x2 +kb(x +x2)+b1 =0将Xl+X2=kf V2=-b代入得，心1。直线AB恒过定点(0，1) o当且仅当k二0时，兀a取最小值1。结论五（了解）：对于抛物线疋=2曲“>0）,其参数方程为x = 2pt.y = 2"& 设抛物线F =2处上动点P坐标为（2刃，2曲），o为抛物线k =泄的顶点，显然"纲即的几何意义为过抛物线顶点。 的动弦"的斜率.例直线与抛物线>'2=>o）相交于原点和人点，3为抛 物线上一

7、点，和垂直，且线段初长为5庐，求P的值.解析:设点A 分别为（2冷2皿）,（2应,2皿）,则Z，X = 2 ,=7= 一 k°A = - 2kobA3 的 坐 标 分 别 为（彳-切）=彳）+S + 4p），=|届,=5荷 :“J练习：1.过抛物线y=d（Q0）的焦点f作一直线交抛物线于只Q两丄丄点，若线段"与矽的长分别是P 9,贝帀蔦二【解析：化为标准方程，得”4旳°）,从而2p4.取特 殊情况，过焦点F的弦垂直于对称轴，则汕为通径，即 凹曰心，从而T,故rr4fl）2 设抛物线y一2中（“0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物 线于A 3两点点C在抛物线的准线上

8、，且肚"轴证明直 线M经过原点0.【证明：抛物线焦点为 日丿.设直线加的方程为X = WV+2, 代入抛物线方程，得y2yp2=.若设g，"Bg，儿），则 k =丝皿:bcx轴，且点c在准线“°k =总=空又由y；=2阿,得, 故kd。,即直线M经过原点O.】3 已知抛物线的焦点是"），准线方程是"7 + 2 = 0,求抛物 线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.卜+y + 2|【解：设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得整理，得A-2+r-2A>-8x-8.v = 0 ,此即为所求抛物线的方 程.抛物线的对称轴应是过焦点FW）且与准线"y+2=o垂直 的直线，因此有对称轴方程设对称轴与准线的交点为A/,可求得M （T'T,于是线段 的中点就是抛物线的顶点，坐标是（。）】4 抛物线的顶点坐标是期，准线/的方程是-2y-2 = o，试 求该抛物线的焦点坐标和方程.解：依题意，抛物线的对称轴方程为2“厂2 = 0 .设对称轴和准线的交点是可以求得X 5丿.设焦 点为F ,则加的中点是A ,故得焦点坐标为"£弓 再 设/心刃是抛物线上的任一点，L-lf+fy-f=k'2-v-21根据抛物线的定义得毗5丿I 5丿V5 ,化简整理得W+b+仞 412尸0,