2016年全国高考理科数学试题及答案-全国卷（精编版）

1、绝密启封并使用完毕前试题类型：2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷3 至 5页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合s= sx p(x2)(x3)0 ,tx x0，则 sit=(a) 2 ，3(b) （ -， 2 u3,+）(c) 3,+）(d) （

2、 0， 2 u3,+）（2）若 z=1+2i ，则4izz1(a)1(b)-1(c) i(d)-i（3） 已知向量uuv ba12(,) 22uuuv, bc31,),22则abc=(a)30 0(b)450(c) 60 0(d)120 0（4） 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中a 点表示十月的平均最高气温约为150c，b 点表示四月的平均最低气温约为 50c。下面叙述不正确的是(a)各月的平均最低气温都在00c 以上(b)七月的平均温差比一月的平均温差大(c) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(d) 平均气温高于200c 的月份有

3、5 个（5）若 tan34，则 cos22sin 2(a)6425(b)4825(c)116(d)25（6）已知 a423 ， b344 ， c（a ） bac（ b） ab125 3 ，则c （c） bca （ d ） cab（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4， b=6，那么输出的n=（a ） 3（b ） 4（c） 5（d ） 6（8） 在 abc 中， b =bc 边上的高等于1 bc ,则 cos a=，43（ a ） 3 101010（ b）10（ c） -10 10（ d） -3 1010(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表

4、面积为（a ） 18365（b ） 54185（c） 90（d ） 81(10) 在封闭的直三棱柱abc -a1b1c1 内有一个体积为v 的球，若abbc， ab=6 ，bc=8，aa 1=3，则 v 的最大值是（a ） 4（ b） 9 232（ c） 6（ d）322（11） 已知 o 为坐标原点， f 是椭圆 c： xy1(ab0) 的左焦点， a， b 分别为 ca2b2的左，右顶点 .p 为 c 上一点，且pf x 轴 .过点 a 的直线 l 与线段 pf 交于点 m，与 y 轴交于点 e.若直线 bm 经过 oe 的中点，则c 的离心率为（a ） 13（ b） 12（ c） 23（

5、d ） 34（12） 定义 “规范 01 数列 ”an 如下： an 共有 2m 项，其中m 项为 0， m 项为 1，且对任意k2m ， a1 , a2 ,l , ak 中 0 的个数不少于1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范01 数列”共有（a ） 18 个（ b） 16 个（c） 14 个（ d） 12 个第 ii 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第( 13) 题 第( 21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第( 22) 题第 ( 24) 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分（13） 若 x， y 满足约束条件 x -y + 1 0 x -

6、2y? 0x + 2y -2? 0则 z=x+y 的最大值为 .（ 14）函数 y =sin x -3 cos x 的图像可由函数y = sin x + 3 cos x的图像至少向右平移 个单位长度得到。（15） 已知 f(x) 为偶函数，当x < 0时， f( x) = ln ( -x ) + 3x，则曲线y=f(x) ，在带你（ 1，-3） 处的切线方程是 。（16） 已知直线 l: mx + y + 3m -3 = 0与圆 x2 + y 2 = 12交于 a ，b 两点，过 a ，b 分别做l 的垂线与x 轴交于 c， d 两点，若 |ab | = 23，则 |cd| = .三.

7、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12 分）已知数列 an 的前 n 项和 sn = 1 + a，sn = 1 +an ，其中0（i）证明 an 是等比数列，并求其通项公式（ii ）若 s5 =3132，求（18）（本小题满分12 分）下图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（i）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明（ii ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。（19）（本小题满分12 分）如图，四棱锥p-abcd 中， pa地面

8、abcd ， adbc， ab=ad=ac =3，pa=bc =4， m 为线段 ad 上一点， am= 2md ，n 为 pc 的中点 .（i）证明 mn平面 pab;（ii ）求直线an 与平面 pmn 所成角的正弦值.（20）（本小题满分12 分）已知抛物线c：y22x的焦点为f，平行于x 轴的两条直线l , l 分别交 c 于 a， b 两点，12交 c 的准线于p， q 两点 .（i）若 f 在线段 ab 上， r 是 pq 的中点，证明ar fq ；（ii ）若 pqf 的面积是 abf 的面积的两倍，求ab 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12 分）设函数 f（ x） =ac

9、os2x+（ a-1）（cosx+1），其中 a 0，记|?（ ?）? | 的最大值为a.（）求f（ x）；（） 求 a；（）证明 |?（ ?） |2a.请考生在 22 、23 、24 题中任选一题作答。作答时用2b 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图， o 中 ?ab 的中点为p，弦 pc， pd 分别交 ab 于 e， f 两点 .（i）若 pfb=2 pcd ，求 pcd 的大小；（ii ）若 ec 的垂直平分线与fd 的垂直平分线交于点g，证明 ogcd .23.（本小题满分10 分）选修4

10、-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线c1 的参数方程为x3 cos( ysin为参数) ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴， ，建立极坐标系，曲线c2 的极坐标方程为sin()22.4（i）写出c1 的普通方程和c2 的直角坐标方程；（ii ）设点 p 在 c1 上，点 q 在c2 上，求 |pq|的最小值及此时p 的直角坐标 .24.（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知函数f ( x)| 2xa |a（i）当 a=2 时，求不等式f ( x)6 的解集；（ii ）设函数g( x)| 2 x1|,当 xr 时， f（x） +g（ x） 3，求 a 的取值范围

11、 .绝密启封并使用完毕前试题类型：新课标2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） d（ 2） c（ 3） a（ 4）d（ 5） a（6） a（ 7）b（ 8） c（ 9） b（ 10） b（ 11） a（ 12） c第 ii卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题 第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（ 22）题第（ 24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分（13） 32（14）3（15） y2x1（16） 4三、

12、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12 分）解：（）由题意得a1s11a11，故1， a11， a10 .由 sn1an ， sn 11an 1 得 an 1an 1an ，即an 1 (1)an . 由 a10 ，0得 an0 ，所以an 1.an1因此 an 是首项为1 ，公比为11的等比数列，于是an(11)n 1 1（）由（）得sn1() n ，由 s5131 得 1(32)531 ，即 (132) 51，132解得1 （18）（本小题满分12 分）解：（）由折线图这数据和附注中参考数据得t4 ，7(tii 1t )228 ，7( yii 1y)20.5

13、5 ，7(tit )( yiy)7ti yi7tyi40.1749.322.89 ，i 1i 1i 12.89r0.5522.6460.99 .因为 y 与 t 的相关系数近似为，说明y 与 t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 .（）由y9.321.331及（）得b?7(tii 17t)( yiy)2.890.103 ，a?yb?t71.3310.10340.92 .(tii 1t) 228所以， y 关于 t 的回归方程为：y?0.920.10t .将 2016 年对应的 t9 代入回归方程得：y?0.920.1091.82 .所以预测2016 年我国生活垃

14、圾无害化处理量将约亿吨.（19）（本小题满分12 分）解：（）由已知得知 tn / bc ， tnam1 bc22 ad32 .2 ，取 bp的中点 t ，连接at ,tn，由 n 为 pc 中点又 ad / bc ，故 tn 平行且等于am ，四边形amnt 为平行四边形，于是mn / at .因为 at平面 pab， mn平面 pab，所以 mn / 平面 pab.（）取bc 的中点e ，连结ae ，由abac 得 aebc ，从而aead ，且22aeabbeab2( bc )25 .2以 a为坐标原点，ae 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，由题意知，p(0,

15、0,4) ， m(0,2,0) ， c (5 ,2,0) ， n (5 ,1,2) ，2pm(0,2,4) ， pn(5 ,1,2) ， an2(5 ,1,2) .2设 n(x, y, z) 为平面pmn 的法向量，则npmnpn002x，即52xn(0,2,1) ，于是 | cosn, an| nan | n | an |85.25（20）解：由题设f (1 ,0) . 设 l: y21a,l2: yb ，则 ab0 ，且2a( a2,0), b(, b), p( 2b 21 , a), q(212, b), r(12,ab2) .记过 a, b 两点的直线为l ，则 l 的方程为 2x(a

16、b) yab0 .3（）由于f 在线段 ab 上，故 1ab0 .记 ar的斜率为k1 ， fq 的斜率为k2 ，则k1a1ba2aa2b ab.51aababk .2所以 ar fq .分（）设 l 与 x 轴的交点为d(x1 ,0) ，则 s abf12ba fd12ba x112, s pqfab.2由题设可得121ba x12ab2，所以x10 （舍去）， x11.4z0y2z，可取0分设满足条件的ab 的中点为e ( x,y) .当 ab 与 x 轴不垂直时，由2k abkde 可得aby( x x11) .而 ab 2y ，所以 y2x1( x1) .当 ab 与 x 轴垂直时，e

17、 与 d 重合 . 所以，所求轨迹方程为（21）（本小题满分12 分）y 2x1 .12分解：（）f ' (x)2a sin 2 x(a1)sin x （）当 a1 时，| f ' ( x) | | a sin 2 x(a1)(cos x1) |a2( a1)3a2f (0)因此， a3a2 4 分当 0a1时，将f (x)变形为f ( x)2a cos2 x(a1)cos x1 令 g(t )2 at 2(a1)t1 ， 则a 是 | g(t) |在 1,1 上 的 最 大 值 ，g(1)a，g(1)3a2 ，且当t1a时，g(t)取得极小值，极小值为4a22g(1a )(a

18、1)1a6 a14 a令11a8a1 ，解得 a8a1 （舍去）， a1 4a35（ ） 当 0a1 时 ， g(t)5在 (1,1) 内 无 极 值 点 ， | g(1) |a ， | g (1) |23a ，| g (1) | | g(1) |，所以 a123a 1a（）当5a1 时，由g(1)g(1)2(1a)0 ，知g(1)g (1)g() 4 a1a(1a)(17a)1aa 26a1又 | g() | g(1) |0 ，所以 a| g() |4a8a23a,0a154a8a综上， aa 26a8a 3a1 1,a52, a11 9 分（）由（）得1| f ' ( x) | |

19、2a sin 2x'(a1)sinx |2a| a1| .当 0a时， | f 5(x) |1a24a2(23a)2 a .1a当a1 时， a131 ，所以| f '(x) |1a2 a .588a4当 a1 时，| f '( x) |3a16a42 a ，所以| f '( x) |2 a .请考生在 22 、23 、24 题中任选一题作答。作答时用2b 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22. （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲解：（）连结pb, bc ，则bfdpbabpd,pcdpcbbcd .因为 apbp ，所以pbapcb ，又bpdbcd ，所以bfdpcd .又pfdbfd180 ,pfb2pcd，所以3pcd180，