2006年考研数学二真题及答案（精编版）

1、2006年考研数学二真题一、填空题（ 16 小题，每小题4 分，共 24 分。）(1) 曲线 ?=?+4?5?-2?的?水平渐近线方程为 。1【答案】 ?= 5。?+4?1+4?1【解析】 ?5?-2?=? ?=? 5?5-2?1故曲线的水平渐近线方程为?= 5 。1综上所述，本题正确答案是?= 5【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线1?2(2) 设函数 ?(?) = ?3 01?, 0,在?= 0处连续，则 ?= 。?, ?= 0【答案】 3 。1?2?2? 13 0【解析】 ?= ?0?=?=.2?03?31综上所述，本题正确答案是3【考点】高等数学函数、极限、连续

2、初等函数的连续性+(3) 反常积分 0? (1+?2 ) 2= 。【答案】【解析】+12 。?1?(1 + ?2 )11?2 2=?2 2 =?2 2 =?(-?2 )|0(1 + ?)? + 01(1 + ? )1? +210( 1 + ?)2 ? +1 + ?0=?(1? -2 ? +11 + ?2) = 2综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学一元函数积分学反常积分?的通解为(4) 微分方程 ?= ?(1-?) 。【答案】 ?= ?-?， ?为任意常数。?【解析】1-?|?|? =? ? ? = ? -?+? ?即?= ?-?， ?为任意常数综上所述，本题正确答案是?= ?-? 。【

3、考点】高等数学常微分方程一阶线性微分方程(5) 设函数 ?= ?(?由)【答案】 -?。方程 ?= 1 -?确定，则 ?|?=0= 。【解析】等式两边对?求导得 ?= -?-?将?= 0 代入方程 ?= 1 -?可得 ?= 1。?|?将?= 0, ?= 1 代入 ?= -?-?，得 ?=0= -?.综上所述，本题正确答案是-?。【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(6) 设矩阵 ?= 21 ， ?为二阶单位矩阵，矩阵?满足 ?= ?+ 2?，则-12|?| = 。【答案】 2。【解析】?= ?+ 2? ?( ?-?) = 2? | ?(?-?)

4、| = | ?|? |?| ?-?| = 22 = 4因为 |?-?| = | 11 | = 2 ，所以 |?| = 2。-11综上所述，本题正确答案是2 。【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理二、填空题（ 714 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(7) 设函数 ?= ?(?具)有二阶导数，且?(?) > 0, ?(?) >0， ? ?为自变量 ?在点 ?0处的增量， ? ?与?分? 别为 ?(?在) 点 ?0?处对应的增量与微分，若? ?> 0 ，则(a)0 < ?<?

5、 ?(b)0 <? ?< ?(c)? ?< ?<?【答案】 a。【解析】0(c)?<? ?< 0【方法一】由函数?= ?(?单) 调上升且凹，根据?和?的?几何意义，得如下所示的图由图可得 0 < ?<? ?【方法二】由凹曲线的性质，得?( ?0+? ?) > ?( ?0 ) + ?( ?0 ) ?,?( ?0) ?> 0, ?> 0 ，即 0 < ?<? ?综上所述，本题正确答案是a。? 0，于是 ?( ?0+? ?) -?( ?0?) >【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意

6、义?(8) 设?(?是) 奇函数，除?= 0 外处处连续， ?= 0 是其第一类间断点，则0(a) 连续的奇函数(b)连续的偶函数(c)在?= 0 间断的奇函数(d)在?= 0 间断的偶函数【答案】 b。?(?)?是?【解析】显然?(?在) 任何有限区间?,?上都可积，于是?( ?) = 0 ?(?)?连?续?，又因?(?是) 奇函数，则?( ?) = 0 ?(?)?是?偶? 函数。综上所述，本题正确答案是b。【考点】高等数学函数、极限、连续函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性高等数学一元函数积分学积分上限的函数及其导数(9) 设函数 ?(?可)微， ?(?) = ?1+?(?) , ?(1

7、) = 1, ?(1 ) = 2 ，则 g(1) 等于(a)?-3 1(b)-?3-1(c)-?2-1(d)?-2 1【答案】 c。【解析】 ? ( ?) = ?1+?(?)?(?).由?(1 ) = 1, g ( 1 ) = 2 ，?(1)1得g( 1) = ?g?(1) -1 = ?2?-1 = -?2-1综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) 函数 ?= ?1 ?+ ?2?-?2? + ?满足的一个微分方程是(a)?-?-2?= 3?(b)?-?-2?= 3?(c)?+ ?-2?= 3?(d)?+ ?-2

8、?= 3?【答案】 d。【解析】因为?= ?1?+ ?2 ?-2? + ?是二阶常系数非齐次线性方程的解，故?=?1?+ ?2?-2? 是对应的齐次方程的通解，? = ?是非齐次方程的特解，因此?= 1, ?= -2 是齐次方程特征方程的根，齐次方程应为?+ ?-2?= 0，这样可排除a 和 b，又因为 ?= 1 是特征方程的单根，因此非齐次项为?( ?) = ?,因此答案为d。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学常微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程?0(11) 设?(?,?)为连续函数，则41?0?(?,?等?)

9、?于?2(a)0 22 1-?2? 1-?2?(?,?)?2(b) 022 1-?2?0 1-?2?(?,?)?(c)2?(?,?)?(d)2 ?(?,?)?0?00【答案】 c。2 1-?20?【解析】如图所示，显然是y型域，则原式= 2 ?(?,?)?综上所述，本题正确答案是c【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算?(12) 设?(?,?)与?(?,?)均为可微函数，且?(?,?) 0 。已知 (?0 , ?0 )是?(?,?)在约束条件?( ?, ?) = 0下的一个极值点，下列选项正确的是(a)若?( ?, ?) = 0，则 ?( ?, ?) = 0?00?00

10、(b)若?( ?, ?) = 0，则 ?( ?, ?) 0?00?00?00?00(c)若?( ?, ?) 0 ，则 ?( ?, ?) = 0(d)若?( ?, ?) 0 ，则 ?( ?, ?) 0?00?00【答案】 d。【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。作拉格朗日函数?( ?, ?, ?) = ?( ?, ?) + ?(?, ?), 并记对应 ?0 , ?0 的参数 ?的?( ?, ?, ?) = 0值为 ?0?, 则 ?000, 即?( ?, ?, ?) = 0?000?( ?, ?) +? ?( ?, ?) = 0?000?00, 消去 ?得：?( ?,?)

11、 + ?(?, ?) = 00?000?00?( ?, ?)?( ?, ?) -?( ?, ?)?(?, ?) = 0, 整理得：?00?00?00?00?( ?, ?) =1?( ?, ?) ?(?, ?) ( 因为 ?( ?, ?) 0) ,?00?( ?,?)?00?00? 00?00?00若?( ?, ?) 0, 则?( ?, ?) 0 。综上所述，本题正确答案是d【考点】高等数学多元函数微积分学二元函数的极限(13) 设?1 , ?2 ,?, ?均? 为 ?维列向量， ?是?×?矩阵，下列选项正确的是(a)若?1, ?2, ?, ?线性相关，则 ?1?, ?2?, ?, ?

12、线性相关(b)若?1, ?2,?, ?线性相关，则 ?1?, ?2?, ?, ?线性无关(c)若?1, ?2, ?, ?线性无关，则 ?1?, ?2?, ?, ?线性相关(d)若?1, ?2, ?, ?线性无关，则 ?1?, ?2?, ?, ?线性无关【答案】 a。【解析】【方法一】因为?1 , ?2 ,?, ?线?2 ?2 +? +?= 0性相关，故存在不全为零的数?1 , ?2, ?, ?使得 ?1?1 +从而有 ?(?1?1 + ?2?2 +? +? ?)? = ?0= 0即?1?1?+?2 ?2?+? +?= 0, 由于 ?1, ?2,?, ?不全为 0 而是上式成立，说明?1?, ?

13、2?, ?, ?线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有( ?1?, ?2?, ?, ?) =?(?1?, ?2 ,? ,?)那么 ?(?1?, ?2?, ?, ?)? ?(?1?, ?2 ,? ,?)因为 ?1, ?2 ,? ,?线性相关，有?(?1 , ?2 ,?, ?)? < s从而 ?(?1?, ?2?, ?, ?)?< ? 故,?1?, ?2?, ?, ?线性相关。综上所述，本题正确答案是a【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩(14) 设?为三阶矩阵，将?的第 2 行加到第1 行的 ?，再将 ?的第 1 列的 -1 倍加到第2 列得110?，

14、记 ?= 010 ，则001(a)?= ?-1 ?(b)?= ?-1?(c)?= ?t ?(d)?= ?t?【答案】 b。【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有1101- 10?= 010 ?,?=? 010 0010011101- 10所以 ?= 010 ? 010 = ?-?。001001综上所述，本题正确答案是b【考点】线性代数矩阵矩阵的线性运算三、解答题（ 1523 小题，共94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）(15) （本题满分10 分）试确定常数 ?,?,?的值，使得 ?( 1 + ?+? 0时比 ?3 高阶的无穷小量。?2?) = 1 + ?+?(?3?) ，其中

15、?(?3?)是当 ?2?33【解析】由泰勒公式知：? = 1 +2 +3 + ?( ?)?(2)?2?3(3) (2 )则?1 + ?+?= (1 +2 +3 + ? )1 + ?+?121133= 1 + ( ?+ 1) ?+ ( 2 + ?+ ?)? + ( 6 + 2 ?+ ?)? + ?( ?),比较等式两端同次幂的系数得= 1 + ?+?( ?3 )?+ 1 = ?12 + ?+ ?= 0, 解得 ?=13 , ?= -213 , ?= 6 。116 + 2 ?+ ?= 0【考点】高等数学函数、极限、连续泰勒公式(16) （本题满分10 分）?求?.?【解析】本题用到了几个常用的积分

16、公式?= ?=?,【方法一】令?=?则,?1?=? ?=?= -?+?=?-?-? ?|?+?|?+?1 1-?2?= -?-?| ?-?| + ?。?-?【方法二】 ?=?-?1令1-?2? = ?则,?=?= -?1-?2?+ 1-?2?1?11-? 1-?2?=?2?-1=2 ?|1?+?| + ?,?1?1- 1-?2?则?=? -?+2 ?2? + ?1+ 1-?【考点】高等数学一元函数积分学不定积分的计算(17) （本题满分10 分）?1+?2 +?2设区域 ?= (?,?|)?2 + ?2 1, ? 0 ，计算二重积分?= ?1+?.?【解析】本题需要用到二重积分的对称性，又因为

17、积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。积分区域 ?如图所示，因为区域?关于 ?轴对称，函数 ?(?, ?) =11+?2 +?2是变量 ?的偶函?1数，函数 ?( ?, ?) =1+?2 +?2 是变量 ?的奇函数，则 ? ?1+?2 +?2 ?=?12 ?2?12 ?=?2 2 ?2?1 1+? +?00 ?+1?2=2? ?1+?2 +?2 ?=?0,1+?1?2故? ?1+?2 +?2 ?=? ? ?1+?2 +?2 ?+? ?1+?2 +?2 ?=? 2。?10?2 +?2 = 11?【考点】高等数学一元函数积分学不定积分的计算(18) （本题满分12 分）设数列

18、?满足 0 < ?1? < ?,?+1 = ?(?=1,2, ?) .(i)证明 ?存在，并求该极限；?(?(ii)计算?+1)1?2?.?【解析】本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。(i)用归纳法证明 ?单调减且有下界，由于?<?, ?( 0, ?) ,则由 0 < ?1 < ?知， 0 < ?2? = ?1?<?1? < 设,0 <? < ?,则0 < ?+1 = ?<?< 所. 以 ?单调减且有下界，故极限?存在，记 ?=?, 由?+1 = ?知

19、?=?所?以?， ?= 0, 即 ? = 0 。?11?1?+1?2?2?2?(ii)由于 ?(?)=?(?), 所以，考虑函数极限?( ?)?= ?2,?0 ?0 ?ln?(1+?-?)?-?又?= ?= ?0 ?2?0?2?0?21 2?-1- 2 ?1= ? 2= ?2 = -,?0 3?03?61?1?- 1?+1 ?2- 1则?(?)?2 =? 6 , 故 ?(?)? = ? 6 。?0 ?【考点】高等数学函数、极限、连续极限的四则运算、单调有界准则(19) （本题满分10 分） 证明：当0 < ?< ?< ?时， ?+?2?+?>? ?+?2?+?.?【解析

20、】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。设?( ?) = ?+?2?+?0, ?则?( ?) = ?+?-?2?+?= ?-?+?(?) = ?-?-?=?-?<?0?,?(0, ?)则?( ?)在 0, ?上单调减，从而有?( ?) > ?( ?) = 0 ?(0, ?)因此， ?( ?) 在0, ?上单调增，当0 < a < b < 时， ?(?) > ?(?)即?+?2?+?>? ?+?2?+?。?【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质(20) （本题满分12 分）设函数 ?(?在)(0, +)内具有二阶导数，且?= ?( 2?+?

21、2) 满足等式?2 ?2 +?2?2 = 0(i)( )?(?)验证 ? +?= 0；(ii)若?( 1) = 0, ?( 1 ) = 1 ，求函数 ?(?的)表达式。【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。设?= ?2?+ ?2 , 则?(),()= ? ?22=? ?22? ?+? ?+? ?2?+?2-?2?2 ?2 +?2?2? = ? (?)? ?2?+?2 ? ?2?+?2 + ?( ?)?2 +?2,?2?2= ? ( ?) ? ?2 +?2 + ?( ?) ?22 3 ,?2 ?2(? +? ) 2?2?2? ?2 ?2 ?2 ?2?= ? ( ?) ? ?2 +?2 + ?

22、( ?) ?22 3 ,将?2 , ?2代入 ?2 +?2 = 0 得?(?) + ?( ?)?= 0 。(? +? )2(ii)令?( ?) = ?,则?+ ?= 0 ? ?两边积分得：? = -? ,?1?1?=?-?+? ?,?即? ?=, 即?( ?) =1?由?( 1 ) = 1可得? = 1. 所以有1 两边积分得1?( ?) =,?( ?) = ?+?2?,由?( 1) = 0 可得?2 = 0, 故?( ?) = ?。?【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数的偏导数(21) （本题满分12 分）?= ?2? + 1,已知曲线 ?的方程为 ?= 4?-?2?( ? 0 ) .(

23、i) 讨论 ?的? 凹凸性；(ii) 过点 (-1,0)引 ?的切线，求切点(?0 ,?0) ，并写出切线的方程；(iii) 求此切线与 ?(?对应于 ? ?0 的部分 )及?轴所围成的平面图形的面积。【解析】确定凹凸性，也就是确定二阶导数的正负，要求切线方程，先求斜率。(i) 因为?=?(?)?(?)=4-2?2=-12?2 ?所以?2? =? 2?(-1) ?=(-2?2) ?11? ?( ) = -3?2 ?当?> 0时， ?2? < 0, 故?是凸的。(ii) 当?= 0 时,?( 0) = 0, ?( 0) = 4, ?( 0 ) = 1, ?( 0) = 0 ,?|?=

24、0 = ,则?= 0时， ?在? 对应点处切线方程为?= 1, 不合题意，故设切点(?0,?0 )对应的参数为 ?0? > 0, 则?在(?0, ?0?) 的切线方程为：?-( 4? -?2) = ( 2 -1)(? -?2 -1)00?0?0令?= -1,?= 0, 得?0?2 + ?0?-2 = 0, 解得 ?0? = 1 或?0?= -2(舍去 )，由?0?=1知，切点为 ( 2,3 ), 切线方程为 ?= ?+ 1(iii) 令?= 4?-?2?, 得?1?= 0, ?2? = 4, 对应曲线 l与x轴的两个交点 (1,0) 和(17,0 ) , 由以上讨论知曲线 l和所求的切线

25、如图所示，故所求平面图形面积为：2291s = (?+ 1)?- ?=?- (4?-?2?)?(?2?+ 1)-1120917=- ( 4?-?2?) ? 2?=? .203?(2,3)(-1,0)(1,0)?(17,0)?【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、平面曲线的切线和法线高等数学一元函数积分学定积分的应用(22) （本题满分9 分）?1 + ?2 + ?3 + ?4? = -1,已知非齐次线性方程组 4?1 + 3?2 + 5?3 -?4? = -1,?1?+ ?2 + 3?3 + ?4?= 1有三个线性无关的解。(i) 证明方程组系数矩阵?的秩 ?( ?) = 2； (ii)求?, ?的值及方程组的通解。【解析】本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。(i)设?1 , ?2 , ?3 是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么?1 -? 2 ,?1 -? 3 , 是?=? 0线性无关的解，所以?-?(?) 2, 即?(?)2 ,显然矩阵 ?中有 2 阶子式不为 0, 又有 ?(?) 2, 从而秩?(?) = 2.(ii) 对增广矩阵作初等行变换，有1111?= 435-1-1| -11111-1 0-11-5|3?13?101 -?3 -?-? ?+ 11111 01-15004 -2?+ 4?-5-