2022年2022年小学奥数数论专题知识总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点数论基础学问学校数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数商余数1. 能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；2. 不能整除：余数,余数的性质与运算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）；一.因数与倍数1.因数与倍数（ 1）定义：定义 1：如整数a 能够被 b 整除, a 叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的因数；定义 2：假如非零自然数a.b.c 之间存在a× b c ,或者 c ÷ a b,那么称a.b 为 c 的因数, c 为 a.b的倍数；留意：倍数与因数

2、为相互依存关系,缺一不行；（a. b 为因数, c 为倍数）一个数的因数个数为有限的,最小的因数为1,最大的因数为它本身；一个数的倍数个数为无限的,最小的倍数为它本身,没有最大的倍数；（ 2）一个数的因数的特点：最小的因数为1,其次小的因数肯定为质数；最大的因数为它本身,其次大的因数为：原数÷其次小的因数（ 3）完全平方数的因数特点：完全平方数的因数个数为奇数个,有奇数个因数的数为完全平方数；完全平方数的质因数显现次数都为偶数次；1000 以内的完全平方数的个数为31 个, 2000 以内的完全平方数的个数为44 个, 3000 以内的完222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

3、迎下载全平方数的个数为54 个；（ 31 =961, 442.数的整除（数的倍数）（ 1）定义：=1936, 54 =2916）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义 1：一般地,三个整数a.b.c,且 b 0,如有 a÷ b c ,就我们就说, a 能被 b 整除,或b 能整除 a,或 a 能整除以b；定义 2：假如一个整数a,除以一个整数b（ b 0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a 能被b 整除或b 能整除a,记作b|a ；（ a b）（ 2） 整除的性质：假如 a.b 能被 c 整除,那么（a+b）与（ a-b ）也能被c 整 除；假如 a 能被 b

4、整除, c 为整数,那么a×c 也能被 b 整除；假如 a 能被 b 整除, b 又能被c 整除,那么a 也能被 c 整除； 假如 a 能被 b.c 整除,那么a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除；（ 3） 一些常见数的整除特点（倍数特点）：末位判别法2.5 的倍数特点：末位上的数字为2.5 的倍数；4.25 的倍数特点：末两位上的数字为4.25 的倍数；8.125 的倍数特点：末三位上的数字为8.125 的倍数；截断求和法（从右开头截）9（及其因数3）的倍数特点：一位截断求和99（及其因数3.9. 11.33）的倍数特点：两位截断求和999（及其因数3.9.27.37.111.

5、 333）的倍数特点：三位截断求和截断求差法（从右开头截）11 的倍数特点：一位截断求差101 的倍数特点：两位截断求差1001（及其因数7.11.13. 77.91.143）的倍数特点：三位截断求差公倍数法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点6 的倍数特点：2 和 3 的公倍数；先判定为否12 的倍数特点：4 和 3 的公倍数；先判定为否3.奇数与偶数 （自然数按为否能被2 整除分类）2 的倍数,再判定为否4 的倍数,再判定为否3 的倍数；3 的倍数；（ 1）定义：奇数：不为2 的倍数的数；在自然数中,最小的奇数为1；偶数：为2 的倍数的数；在自然数中,最小的偶数

6、为0；（ 2） 数的奇偶性质：奇偶相连,奇偶相间,偶数个连续自然数中,奇偶各半；奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意多个偶数的和为偶数；两个奇（偶）数的差为偶数；一个偶数与一个奇数的差为奇数；如 a .b 为整数,就a+b与 a-b有相同的奇偶性；n 个奇数的乘积为奇数,n 个偶数的乘积为2 n 的倍数； 算式中有一个为偶数,就乘积必为偶数；连续的奇数或偶数差为2；如,与奇数m相邻的两个奇数分别为m-2 和m+2 ；奇偶分析：奇奇偶奇奇偶奇×奇奇奇偶奇偶偶偶奇×偶偶偶偶偶奇偶奇偶×偶偶4.质数与合数（非 0 自然数按因数个数分类）（ 1）定义：质数：只

7、有1 和它本身两个因数的数；（因数个数：2 个）合数：除了1 和它本身仍有其它因数的数；（因数个数：3 个或 3 个以上）（ 2）常见质数特点：1 既不为质数,也不为合数（1 只有 1 个因数）；2 为最小的质数；4 为最小的合数；2 为质数中唯独的偶数,也为偶数中唯独的质数（除2 外,其它质数都为奇数）；（ 3） 100 以内质数表（25 个）： 2.3.5.7.11.13.17.19.23. 29.31.37.41.43.47. 53.59.61.67. 71.73.79.83.89.97（ 4）分解质因数唯独分解定理：任何一个大于1 的自然数n、假如 n 不为质数,那么n可以唯独分解成有

8、限个质数的乘积；质因数：假如某个质数为某个数的因数,那么这个质数叫做这个数的质因数；分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式；如：28 2× 2× 7 22 × 7通常用短除法分解质因数；任何一个合数分解质因数的结果为唯独的；要求出乘积中末尾0 的个数, 只需要知道这些乘数分解质因数后2 和 5 的个数, 不用考虑其它质因数；（ 5）互质数： 公因数只有1 的两个数为互质数；常见的互质数：相邻自然数：8 和 9相邻奇数： 21 和 232 与任意奇数：2 和 15不同的两个质数：11 和 171 与任意非零自然数：1 和 4当合数不为质数的倍数时,这个合

9、数和这个质数互质:3 和 14公因数只有1 的两个合数：6 和 25假如几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质：3.5.75.最大公因数与最小公倍数（ 1）定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个叫做最大公因数,用a ,b 表示；最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做最小公倍数,用a ,b 表示；（ 2）最大公因数的性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点几个数都除以它们的最大公因数,所得的几个商为互质数；几个数的最大公因数都为这几个数的因数；几个数的公因数,都为这几个数的最大公因数的因数；几个数都乘一

10、个自然数m,所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m；（ 3）最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数都为它们最小公倍数的倍数；两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积；即a , b ×a , b a× b（ 4） 求最大公因数的方法：列举法短除法分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就为所求的最大公因数；（ 5） 求最小公倍数基本方法：列举法短除法分解质因数法（ 6） 分类求最大公因数和最小公倍数：倍数关系： a 为 b 的倍数, a , b b, a , b a互质关系： a 与

11、b 互质, a , b 1, a ,b a× b一般关系： a 与 b 不互质也不倍数,用短除法；a , b 左侧除数连乘积,a , b 除数和商连乘积6.分解质因数的运用：（ 1）求一个数因数的个数列举法： 2 个一组列举分解质因数法：分解质因数全部不同质数显现次数+1 连乘积（指数加1 再相乘）如： 360 23 ×32 × 5, 360 的因数个数： 3+1 ×2+1 × 1+1 4×3× 2 24（个）（ 2）求一个数的全部因数的和步骤：分解质因数全部不同质因数的各种取法之和的连乘积；01201201精品学习资料精选

12、学习资料 - - - 欢迎下载如： 180 22 × 32 × 5, 180 的全部因数之和：2 2 2 ×3 3 3 55 7× 13× 6 546精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.余数的性质(1) 余数小于除数；二.余数性质与同余问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 如 a.b 除以 c 的余数相同,就a-b或b-a可以被 c 整除；(3) a 与 b 的和除以c 的余数等于a 除以 c 的余数加b 除以 c 的余数的和除以c 的余数；（和的余数余数的和）(4

13、) a 与 b 的差除以c 的余数等于a 除以 c 的余数减b 除以 c 的余数的差除以c 的余数；（差的余数余数的差）(5) a 与 b 的积除以c 的余数等于a 除以 c 的余数与b 除以 c 的余数的积除以c 的余数；（积的余数余数的积）2.余数的运算（求余数）1末位判定法：2, 5, 4, 25,8, 125(2) 数字求和法：3, 9各个数位上数字之和除以3 或 9 的余数某数除以3 或 9 的余数；如： 234569；2+3+4+5+6+929,由于 29÷ 9 32,所以 234569÷ 9？2,即 234569 29mod 9(3) 截断求和法：99,999

14、 及其因数99（ 3.9.11.33）：两位截断求和,得到的和除以99 余数,即原数除以99 的余数；999（3. 9.27. 37.111. 333）：三位截断求和,得到的和除以999 余数,即原数除以999 的余数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点如： 12345；345+12=357、357 999,所以 12345÷999 余 357；(4) 截断求差法：从右开头截断,奇段和偶段和；11, 101,1001 及其因数7.11.13.77.91.143； 11：一位截断作差；从右开头,1 位截断, 奇数位数字之和-偶数位数字之和 ÷ 1

15、1 的余数 、 即为原数÷ 11 的余数；如不够减,求出的负数+11；如： 234569；奇数位数字之和3+5+9 17,偶数位数字之和2+4+612, 17-12 5,所以234569÷ 11余 5, 即 234569 5mod 11如： 98,（奇数位8偶数位9） 8-9 -1 , -1+11=10 ,就 98÷11 810,即 98 10mod 11101：两位截断作差；从右开头,2 位截断, 奇位和 -偶位和 ÷ 101 的余数 、 即为原数÷ 101 的余数；如不够减,求出的负数+101；1001（ 7.11.13.77.91.143

16、）：三位截断作差；从右开头, 3 位截断, 奇位和 -偶位和 ÷ 1001的余数 、 即为原数÷ 1001 的余数；如不够减,求出的负数+1001；3.费马小定理p-1假如 p 为质数, a 为自然数,且a 不能被 p 整除,就a 1mod p ；即：假如a 为自然数, p 为质数,且a、p 互质,那么a 的p-1次方除以p 的余数恒等于1；（ 5-1 ）如： a 为自然数2,p 为质数 5, 2 和 5 互质, 2÷ 5 余 1；a为自然数10,p 为质数3, 10 和 3 互质, 10（3-1 ） ÷ 3 余 1； 4.同余问题（求除数）同余的定义：

17、1如两个整数a.b 除以 m的余数相同,就称a.b 对于模 m同余；2已知三个整数a.b. m,假如 m能被 a-b整除,就称a. b 对于模 m同余,记作a bmod m,读作 a同余于b 模 m ；5.中国剩余定理（物不知数问题：求被除数） 在一千多年前的孙子算经中有闻名算题：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二；问物几何？物不知数问题,又叫孙子问题.韩信点兵问题；方法：最小公倍数法：和同加和,余同加余,差同减差（缺同减缺）；列举法（逐步满意条件法）口诀法 仅适应于3.5.7 ：三人同行七十稀,五树梅花廿一枝；七子团聚正半月,除百零五便得知；口诀法说明 只看数字即可 ：

18、将除以3 的余数乘70,将除以5 的余数乘21,将除以7 的余数乘15,全部加起来后除以105,得到的余数就为答案；步骤： 2× 70+3× 21+2× 15=140+63+30=233, 233÷ 105=223三.完全平方数完全平方数：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484完全平方数特点：(1) 末位数字只能为：0.1. 4.5.6.9；（个位数字为2.3.7.8 的肯定不为完全平方数）(2) 奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数,如25、49、81 ；（个位数和十位数都为奇数的整数肯定不为完全平方数）(3) 假如完全平方数的十位数字为奇数,就它的个位数字肯定为6；反之,假如完全平方数的个位数字为 6,它的十位数字肯定为奇数；如16、36、196 ,256；（个位数为6,十位数为偶数的肯定不为平方数）(