旋转模型专题

1、旋转模型专题二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形 , 4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型4、与勾股定理结合5 、费马点问题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点c为线段 ab上一点，mom、acbn是等边三角形 . 常见结论 : (1) an =bm (2) cd =ce (3) cf 平分 zafb(4) cde是等边三角形 . (5) zafm=60 且保持不变2、如图，在凸四边形 abcd 中，/bcd =30】ndab =60。，ad =ab . 求证： ac2=cd2bc23、已知mbc，以ac为边在aabc外作等腰m

2、cd，其中ac = ad。如图，若 dac =2 abc , ac =bc ,四边形abcd是平行四边形，则4bc = 如图，若/abc =30,，mcd是等边三角形， ab=3 , bc =4 ,求 bd的长； 如图，若zacd为锐角，作ah bc于h ,当bd2=4 abf+ b c寸， dac=2xab是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。二、角含半角模型4、已知：如图 1 在 rtaabc中， bac=90。，ab=ac，点 d 、e分别为线段 bc 上两动点，若 dae=45。. 探究线段 bd 、de 、ec三条线段之间的数量关系 . 小明的思路是：把aaec

3、绕点 a顺时针旋转90。，得到 aabe ,连结 ed , 使问题 得到解决. 请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想 bd 、de 、ec三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点 e在线段bc上，动点 d运动在线段 cb延长线上时，如图2, 其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明. 5、在正方形abcd 中，点 e、f 分别在边 bc、cd 上，且 z eaf= / cef=45 , (1) 将 aadf 绕着点 a 顺时针旋转 90 , 得到 zxabg, 如图 1, 求证： a aegaaef; (2) 若直线 ef 与 ab、ad 的延

4、长线分别交丁点m,n，如图 2,求证： ef2=me2nf2(3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段6、在等边 aabc 的两边 ab, ac 所在直线上分别有两点m , n, d 为 aabc 外一 点，且 mdn =60 。, 2bdc=120 。, bd=cd, 探究：当点 m , n 分别爱直线ab, ac 上移动时，bm , nc, mn 之间的数量关系及aamn 的周长与等边 aabc 的周长 l 的关系 . 如图，当点m, n 在边 ab, ac 上，且 dm=dn 时，bm, nc, mn 之间的 数量关系式 此时 q = 如图，当点 m , n

5、 在边 ab, ac 上，且 dm #dn 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点 m , n 分别在边 ab, ca 的延长线上时，若an=x,贝 uq=（用 x, l 表小）图（1）ef, be, df 之间的数量关系图（2）图（3）三、对角互补类7、已知： nman , ac 平分 zman .在图 1 中，若nman = dcb =90。，证明：ab+ad =ac . 在图 2 中，若zman =120七/dcb=60。，探究 ab 、ad 、ac三者之间的数量关系，并给出证明；在图 3 中：若nman = 口（0。（/ sabp = ,s.，apc =

6、, s,abc= 13、p 为等边 mbc 内一点， zapb=113napc=123, 求证：以ap 、bp 、cp为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.14、如图 , p 为正方形abcd 内一点， pa= 1, pd = 2, pc = 3, 将 8ad绕着 d 点按逆时针旋转 90 到 adcm 的位置(1)求 napd 的度数。(2)求正方形的边长m六、费马点问题15、阅读下列材料对丁任意的mbc，若三角形内或三角形上有一点p,若pa + pb + pc有最小值，则取到最小值时，点 p为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大丁或等丁120心，这个内角的顶点就

7、是费马点 若三角形内角均小丁120。，则满足条件/apb =bpc =/apc =120。时，点 p既为费马点解决问题：如图，mbc中，三个内角均小丁120号，分别以 ab 、ac为边向外作等边mbd 、mce，连接cd、be交丁点 p ,证明：点 p为mbc 的费 马点。（即证明napb =nbpc =napc =120。）且pa pb pc =cd 如图，点q为三角形内部异丁点p的一点，证明：qa+qc十qb apa + pb+pc若4bc=30, ab =3 , bc=4,直接写出pa+pb+pc的最小值16、如图，四边形abcd是正方形， mbe 是等边三角形， m为对角线 bd上任意

8、 一点，将 bm绕点 b逆时针旋转60 得到bn，连接 am 、cm、en .求证：aamb丝aenb 当 m点在何处时 ,am +cm的值最小；当 m点在何处时，am +bm +cm的值最小，并说明理由 ; 当am +bm +cm的最小值为必+1时，求正方形的边长 . 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了. 他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题. 他的做法是，如图2,将 apc绕点 c顺时针旋转60o

9、,得到 edc 连接 pd be贝 u be的长即为所求 . (1) 请你写出图 2 中，pa+p 势 pc 的最小值为；(2) 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3,菱形 abcd 中，z abg=60o, 在菱形 abcd 内部有一点 p,请 在图 3 中画出并指明长度等丁pa+p+pc 最小值的线段 ( 保留画图痕迹，画17、阅读下列材料 : 小华遇到这样一个问题，如图1, abc 中，zacb=30o, bc=6, ac=5,在 abc 内部有一点p,连接pa pb 图1pc,求pa+pb+pc的最小值. 图2出一条即可 ) ；若中菱形abcd 的边长为 4,请直接写出当p

10、a+pbpc 值最小时 pb 的长.七、最值问题18、已知：pa= , pb=4,以 ab为一边作正方形abcd，使 p、d两点落在直线 ab的两侧. 如图，当 apb=45色时，求 ab及 pd的长; 当 zapb 变化，且其它条件不变时，求pd的最大值及相应 zapb的大小 . 19、如图，已知mbc是等腰直角三角形， bac=90 ，点 d是bc的中点 . 作 正方形defg，使点 a、c分别在dg和 de上，连接 ae 、bg .试猜想线段bg和 ae的数量关系，请直接写出你得到的结论. 将正方形defg绕点d逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大丁0 ,小丁或 等丁360。），如图，通

11、过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由. 若bc =de =2，在的旋转过程中 , 当 ae为最大值时，求af的值. 八、综合应用20、已知：在rmabc 中，ab =bc，在rade 中，ad=de ，连结ec , 取ec 的 中点 m ，连结 dm 和 bm .若点 d在边ac上，点 e在边 ab上且与点 b不重合，如图，探索bm 、dm 的关系并给予证明； 如果将图中的mde 绕点 a逆时针旋转小丁45号的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明. 21、已知：如图 ,aoab与scd为等腰直角三角形 ,naob=nc