北京市西城区2014 — 2015学年高三(文)第一学期期末试卷

1、北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2015.1第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，所以故答案为：B【考点】集合的运算【难度】 12设命题：，则为（ ） （A）（B） （C）（D）【答案】B【解析】“”的否定为“”，“”的否定为“”所以，为：故答案为：B【考点】全称量词与存在性量词【难度】 13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若为锐角，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由正

2、弦定理得，所以，所以。因为为锐角三角形，所以故答案为：A【考点】正弦定理【难度】 1a=2，x=3开始 x=x+1输出x结束否是4执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】时，；时，；时，；时，输出。故答案为：C【考点】算法和程序框图【难度】 15设函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，满足，但不是奇函数；若是上的奇函数，则有，所以，即。所以“”是“函数为奇函数”的必要而不充分条件。故答案为：B【考点】充分条件与必要条件【难度】 16

3、. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】此题是几何概型的题，如图所示：13:0018:00 共5个小时，其中13:0017:00 这4个小时，可以办理业务，所以甲去银行且恰好能办理业务的概率是故答案为：D【考点】几何概型【难度】 27 设抛物线的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：的距离为，则有（ ） （A）（B） （C）（D）【答案】A【解析】设中点为，准线与轴的交点为，分别过作准线

4、的垂线，分别交准线与点，如图所示：由抛物线的定义可知，所以.为梯形的中位线，所以当且仅当垂直于轴时，否则，若不垂直于轴，则四边形为梯形，且。综上，所以故答案为：A【考点】抛物线【难度】 2ABECDGHF8. 如图，在空间四边形中，两条对角线互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边分别相交于点，记四边形的面积为y，设，则（ ） （A）函数的值域为 （B）函数的最大值为8 （C）函数在上单调递减 （D）函数满足 【答案】D【解析】由题可得，所以.同理，所以，所以四边形为平行四边形，又,所以,所以平行四边形为矩形，因为，所以，所以，因为，所以,所以。所以矩形的面积，函数图象关于对

5、称，在上单调递增，在上单调递减，可求得，所以值域是。故答案为：D【考点】函数模型及其应用【难度】 3第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 复数，则_.【答案】【解析】，所以故答案为：【考点】复数综合运算【难度】 110设平面向量满足，那么的夹角_.【答案】【解析】因为，所以故答案为：【考点】平面向量的线性运算【难度】 111一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_. 【答案】【解析】根据三视图画出此四棱锥的直观图：其中，根据此四棱锥的特征可知，最长棱可能为或.求得.所以最长棱为，长度为.故答案为：【考点】空间几何体的三视图与直观图【

6、难度】2 12设为双曲线C：的左、右焦点，且直线为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果，那么双曲线C的方程为_；离心率为_.【答案】 【解析】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以.因为，所以，所以.双曲线的方程为；因为，所以离心率【考点】双曲线【难度】213. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_种不同的购买奖品方案. 【答案】【解析】设购买签字笔支，铅笔盒个，根据题意，需满足条件，当时，；当时，；当时，；当时，；时无解.所以该教师有9种不同的购买

7、方案.故答案为：【考点】线性规划【难度】214. 设函数（1）如果，那么实数_； （2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是_. 【答案】或4 【解析】由题意，解得；第二问如图：的图像是由两条以为顶点的射线组成，当在之间（包括不包括）时，函数的图像和直线有两个交点，即由两个零点。所以的取值范围是故答案为：或4 【考点】零点与方程【难度】2三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数，xR .（）求函数的最小正周期；（）判断函数在区间上是否为增函数？并说明理由.【答案】见解析【解析】（）解：因为，所以函数的最小正周期.

8、 （）解：结论：函数在区间上是增函数. 理由如下：由， 解得， 所以函数的单调递增区间为，. 当时，知在区间上单调递增，所以函数在区间上是增函数.【考点】三角函数综合【难度】316（本小题满分13分）已知数列满足，且其前项和（）求的值和数列的通项公式； （）设数列为等比数列，公比为，且其前项和满足，求的取值范围【答案】见解析【解析】（）解：由题意，得， 因为 ， 所以 ，解得 . 所以 当时，由， 得 . 验证知时，符合上式，所以，. （）解：由（），得.因为 ，所以 ， 解得 又因为，所以的取值范围是 【考点】数列综合应用【难度】317（本小题满分14分）B CA1 D1D A B1 C1

9、E F 如图，在四棱柱中，底面，且，. 点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.（）求证：平面； （）求证： 平面；（）写出三棱锥体积的取值范围. （结论不要求证明）【答案】见解析【解析】B CA1 D1D A B1 C1 E F （）证明：因为是棱柱，所以平面平面.又因为平面平面，平面平面，所以 . 又 平面，平面，所以 平面. （）证明：在四边形ABCD中，因为 ，,且，所以 ，.所以 ，即. 因为 平面平面，所以 . 因为在四棱柱中，所以 . 又因为 平面，所以 平面. （）解：三棱锥的体积的取值范围是.【考点】立体几何综合【难度】318（本小题满分13分） 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置

10、资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下： （1） 投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概 率（2） 购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概 率（）当时，求q的值；（）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求的取值范围；（）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率【答案】见解析【解析】（）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，所以 +=1. 又因为 ， 所以 = （）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概

11、率小，得 ，因为 +=1， 所以 ，解得 . 又因为 ，所以 .所以 . （）解：记事件为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， 用，分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用，分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有种， 它们是：， 所以事件的结果有5种，它们是：，.因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率. 【考点】概率综合【难度】319（本小题满分14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点满足条件.（）求m的值；（）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两

12、点，记和的面积分别为，若,求直线l的方程.【答案】见解析【解析】（）解：因为椭圆C的方程为 ，所以 , 则 ，.因为 ，所以 . （）解：若直线l的斜率不存在，则有 ，不合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，.由 得 ， 可知 恒成立，且 ，.因为和的面积分别为，,所以. 即 .所以 ，则 ，即 ，即 ，解得 . 所以直线l的方程为 或 .【考点】圆锥曲线综合【难度】420（本小题满分13分）对于函数，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数和在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数,.（）当,时, 判断函数和是否相切？并说明理由； （）已知，且函数和相切，求切点P的坐标； （）设，点P的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为呢？（结论不要求证明）【答案】见解析【解析】（）解：结论：当,时,函数和不相切. 理由如下：由条件知，由，得， 又因为 ， 所以当时，所以对于任意的，.当,时,函数和不相切. （）解：若，则，设切点坐标为 ，其中,由题意，得 ， ， 由，