2022年2022年奥林匹克数学初中数学中的数论初步

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载第1章整除在日常生活中,我们会过到很多好玩而又耐人寻味的问题：某同学到文具店买了七个一角二分钱的本子.五个六分钱的铅笔和三个活页夹子；售货员收了他三元钱, 并找仍三角七分钱； 这个同学立刻对售货员说： “您的账算错了！”你能知道他为什么这样快就知道“算错了账”吗？排练团体操时,要求队伍变成10 行.15 行.18 行.24 行时,队形都能成为矩形,问最少需要多少人参与团体操的排练？§1.1十进制整数在学校数学中,我们主要学习的为整数的运算,摸索整数为怎样表示的？ “逢十进一”为什么意思？我们通常接触到整数都为十进制的整数；十进制计

2、数法就为实行逢十进一的法就进行计数的方法；例如,1995 就为由 1 个一千, 9 个一百, 9 个十和 1 个五组成,因此 1995 这个数就可以写成.那么对于任意一个n+1 位的正整数怎样用这种形式表示？为了表示便利,我们常常把用字母表示数字的多位数,在这个多位数上面加一个横线,以防止和乘法混淆,例如,就表示一个五位数；§1.2数的整除设有两个整数a,b（b0）,如有另一整数q,使得,就称 a 被 b整除；或 b 能整除 a；如 a 被 b 整除,也成 a 为 b 的倍数； b 为 a 的约数,并记精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载作 b|a. 如

3、 a 不能被 b 整除,就记作.我们曾经学过下述有关整除的判别法就：1. 被 2 或 5 整除的数的特点为末位数字能被2 或 5 整除；2. 被 4 或 25 整除的数的特点为末两位数字能被4 或 25 整除；3. 被 8 或 125 整除的数字的特点为末三位数字能被8 或 125 整除；4. 被 3 或 9 整除的数的特点为个位数字的和能被3 或 9 整除；5. 被 11 整除的数的特点为其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11 整除；解题过程中我们常用的性质：1. 如；2.3.4. 如 a.b 互质,且5. 如 a.b 互质,且6. n 个连续整数中,必有一个能被n 整除；§

4、 1.31.4奇数和偶数把全体整数分成奇数类和偶数类为一种最常用的分类方法；奇数就为通常所述的单数,偶数就为通常所说的双数；一般的,一个整数假如能被2 整除就叫做偶数,假如不能被2 整除（即被 2除余 1）就叫做奇数；偶数可以记作 2n,奇数可以记作2n-1 或 2n+1（n 为整数）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载奇数和偶数有一些非常简洁又明显的性质：1. 奇数不等于偶数；2 . 奇数；3. 奇数个奇数的和为奇数,偶数个奇数的和为偶数,任意多个偶数的和都为偶数；4.；5. 两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性；6. 奇数的平方为 4k+1 型的数,

5、偶数的平方为4k 型的数（ k 为整数）；7. 任意两个整数的平方和被4 除肯定不余 3；8. 任意两个整数的平方差被4 除肯定不余 2；§1.5质数与合数对于正整数可以依照它们的正约数的个数分为三类：一类为只有一个正约数的数,它就为 1；一类为只有两个正约数的数,这两个正约数只能为1 和它本身,例如 5、7、11 ,这样的数叫做质数（也叫做素数） ；第三类为有两个以上的正约数的数,例如 6 就有 4 个正约数： 1、2、3、6,这样的数叫做合数；因此,正整数为 由 1,质数,合数三部分组成的；关于质数.合数有以下性质：1. 质数有无限多个；2. 除 2 以外的全体质数都为正奇数,除

6、2 以外的全体正偶数都为合数；3. 大于 1 的整数的全部约数中, 1 以外的最小正约数肯定为质数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载4. 假如 a 为合数,那么 a 的最小质因数肯定不大于；§1.6算术基本定理每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数；把一个合数用质因数的连乘的形式来表示,叫做分解质因数；分解质因数有下面一个重要的定理：算术基本定理： 任何一个正整数,都能分解成质因数的连乘积,即：其中为互不相等的质数,；假如不考虑次序,就这个分解式为唯独的；§1.7最大公约数与最小公倍数对于 4.8.12 这一

7、组数, 明显 1.2.4 都能整除它们中的每一个数, 所以 1.2.4 都为它们的公约数,其中4 为这些公约数中的最大的；把这个概念推广到一般情形,有如下定义：假如和 d 都为正整数,且,那么 d 叫做的公约数；公约数中最大的叫做的最大公约数,记作；当（ a,b）=1 时,我们称 a, b 互质的最大公约数表示的为一个正数,为一个能够整除并且能被的每一个约数整除的数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载常用的有关最大约数的性质有：1. 如 a|b ,就（ a,b）=a；2. 如（ a, b）=d,且 n 为正整数,就（ na, nb）=nd；3. 如 n|a ,

8、n|b ,就（ a/n ,b/n ）=（a,b）/n ；其中,性质 3 说明,如（ a,b）=d,就（ a/d ,b/d ） =1；4. 如 a=bq + r （）,就（ a, b） =（ b, r ）；对于 4.8.12 这一组数, 24.48 和 72 等都能被它们中的每一个数整除,24.48 和 72 都叫他们的公倍数,而24 为公倍数中最小的,把这个概念推广到一般形式,有如下的定义：假如和 m都为正整数, 且,那么 m叫做的公倍数；公倍数中最小的数叫做的最小公倍数,记作；5. 如 b|a ,就a , b=a ；6. 如a ,b=m,且 n 为正整数,就 na , nb=mn；7. 如

9、n|a , n|b ,就a/n ,b/n=a,b/n ；8. 如a ,b=m,就（ m/a, m/b）=1；9 . （a,b）=ab/a ,b ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载第2章同余我们在解决一些有关整数的问题时,并不关怀详细的数字为多少,而为关怀被某个整数所除而得到的余数为多少；例如,20xx年的元旦为星期四, 20xx年的元旦时星期几？由于20xx年全年共有 366 天,而 366 除以 7 的余数为 2,所以 2005 念得元旦为星期六,再如,今日为星期六,101010 天后为星期几？这也为同余的问题；我国古代对同于问题有比较深化的讨论,其中比较闻

10、名的有孙子算经中的“物不知数”问题,秦九韶的“大衍求一术”的解同余方程的方法,以及中国剩余定理；其实,有关同余的记载最早的为“韩信点兵”的故事；据说韩信在点兵的时候,为了军事保密,不让敌人知道自己的兵力,先让士兵从1 到 3 报数,然后记住最终一个士兵所报的数；再让士兵从 1 到 5 报数,也记住最终一个士兵所报的数；最终让士兵从1 到 7 报数报数,又登记最终一个士兵所报的数； 这样,他很快算出了自己士兵的总人数,而敌人却无法弄清他的兵力, 这都为利用同余方程解决的；然而,创立同余论的并不为我国古代的数学家,而为大数学家高斯,高斯最早使用了“同余”的概念,并创立了同余理论；下面我们就同余论做

11、一个简洁的介绍；§2.1同余的概念和性质顾名思义,同于就为余数相同,为指被一个正整数所除,得到的余数相同；定义：设 a.b 为两个整数,假如a 和 b 被正整数 m除所得余数相同,就称a 与 b 对于模 m同余,记作：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载,否就,就称 a 与 b 对于模 m不同余,记作；依据定义, a 与 b 为否同于,不仅与a.b 有关,仍与模 m有关,对一对数 a和 b,对于模 m同余,而对于模n 或许就不同余；依据同余的定义,明显有以下 几种关系为成立的：（1）；（2）；（3）；由此可见,同余为一种等价关系,以上这三条分别叫做同余的

12、反身性,对称性和传递性,而等式也具有这几条性质；§2.2剩余类与完全平方数一.剩余类一个整数被 2 除时,余数只能为0 或 1 两种可能,因此可以把全部的整数按 照被 2 除的余数分成两类,一类为被2 除余数为 0,另一类为被 2 除余数为 1；也就为我们常说的偶数和奇数；同样的道理, 一个整数被 3 除时,余数只能为 0. 1.2 这三种可能的某一种,因此全部的整数依据被3 除可以分成余数为0.1.2三类；一般地,任何一个整数；被一个非零的整数m除,可以得到商q 和余数 r ,即 a=mq+r；这里的 r 只能取 o、l、2、m-1 这 m个值；全体整数可按对模m为否同余分为如干个

13、两两不相交的集合,使得在同一个集合申的任意两个数对模m肯定同余,而属于不同集合中的两个数对模m肯定不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载同余；每下个这样的集合称为模m的同余类, 或模 m的剩余类； 由模 m的每个同余类中取定一个数作为代表构成一组数,这组数就称为模m的一个完全剩余系；依据剩余类的概念,很简洁得到以下几条有关剩余类的性质：1. 每一个整数肯定包括在而且仅包含在模m的一个剩余类中；2. 整数 p 所属的模 m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式,这里k 为整数；3. 整数 p.q 在模 m的同一个剩余类中的充要条件为p.q 对模 m同余；实际上

14、,同余式就为剩余类等式的一个特别情形,为集合中一个元素, 前面有关同余的一些性质对剩余类仍旧成立；4. 在任意取定的 m+1个整数中,必有两个整数对模m同余；依据同余式的性质,我们很简洁得到剩余系的其他一些性质：5. m 个 整 数为模m 的一 组完 全剩 余 系 的 充 要 条 件为中的任意两个数对模m都不同余；6 . 假如为模m 的一组完全剩余系,那么对任意的整数也为模 m的一组完全剩余系；二.完全平方数如 a 为整数,就叫做完全平方数；例如1.4.9.16等,下面我们利用同余式来讨论完全平方数；完全平方数的个位数字只能为0.1.4.5.6.9；具有一下性质的数肯定为非完全平方数：（1） 个位数字为 2.3.7.8 的数；（2）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（3）；（4）（5）；§ 2.3简洁的同余方程孙子算经中的“物不知数”问题开创了一次同余式