(word完整版)特殊的平行四边形菱形含答案,推荐文档

1、题型：解答题难度：中等详细信息已知：如图，在 ABC 中，D E 分别是边 AB AC 的中点，连接 DE AF/ BC；1且 AF=BC,连接 DF.（1）求证：四边形 AFDE 是平行四边形；（2）如果 AB=ACZBAC=60，求证：ADL EF.（1 ）通过证明边 DE 平行且等于对边 AF，即可证明四边形 AFDE 是平行四边形；（2 ）由题意得ABC 是等边三角形，故有 AC=BC，又点 E 是 AC 的中点，可得出 DE=AE，四边形 AFDE 是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得证.证明：（1 ） / D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，即得 D

2、E / BC，.（2 分）/ AF / BC，丄 ，/ DE / AF，DE=AF .（2 分）二四边形 AFDE 是平行四边形.（1 分）（2 ） / AB=AC，/ BAC=60 ，ABC 是等边三角形，即得：AC=BC .（1 分）DE=C=AC=AE于是，由点 E 是 AC 的中点，得丄1.- （1 分）又丁四边形 AFDE 是平行四边形，四边形 AFDE 是菱形.（1 分）/ AD 丄 EF.（1 分）难度：压轴 详细信息已知，如图，在 Rt ABC 中，/ C=90，/ A=60 , AB=12cm 点 P 从点 A 沿 AB以每秒 2cm 的速度向点 B 运动，点 Q 从点 C

3、以每秒 1cm 的速度向点 A 运动， 设点P、Q 分别从点AC 同时出发，运动时间为 t (秒)(0vtV6)，回答下 列问题：(1) 直接写出线段 AP AQ 的长(含 t 的代数式表示)：AP=_，AQ=_ ;(2) 设厶 APQ 的面积为 S,写出 S 与 t 的函数关系式；(3) 如图，连接 PC 并把 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP C,那么是否 存在某一时间 t，使四边形 PQPC为菱形？若存在，求出此时 t 的值；若不存圉圍(1 )根据 / A=60 ，AB=12cm ，得出 AC 的长，进而得出 AP=2t，AQ=6-t .(2 )过点 P 作 PH 丄 AC 于

4、 H .由 AP=2t ，AH=t，得出 PH t，从而求得 S 与 t 的函数关系式；(3 )过点 P 作 PM 丄 AC 于 M，根据菱形的性质得 PQ=PC，则可得出 PN=QM=CM ，求得 t 即可.【解析】(1 )T在 Rt ABC 中，/ C=90 ，/ A=60 ，AB=12cm ，/ AC=6，由题意知：AP=2t，AQ=6-t ，(2 )如图过点 P 作 PH 丄 AC 于 H ./ZC=90，/A=60，AB=12cm/ZB=30，/ZHPA=30 / AP=2t，AH=t，/ PH= . - t，1 1/ S=；XACXPH= 2X匡匡X(6-t)(3 )当 t=4 时

5、，四边形 PQPC 是菱形,证明：如图过点 P 作 PM 丄 AC 于 M ,/ CQ=t，由（2 ）可知，AM= EAP=tcm ,1/ QC=AM ，当 PC=PQ 时，即 CM=MQ=AQ= 3 AC=2 时, 四边形 PQPC是菱形，即当 t=4 时，四边形 PQPC是菱形.题型：填空题难度：中等详细信息一个平行四边形的一边长是 9,两条对角线的长分别是 12 和 6 耳，则此平行 四边形的面积为题型：填空题难度：困难详细信息如图，梯形 ABCD 中, AD/ BC，/ C=90，且 AB=AD 连接 BD，过 A 点作 BD 的 垂线交 BC 于 E,如果 CE=3cm CD=4cm

6、 那么 BD=_ cm./ BC,可证四边形 ABED 为菱形，从而得到 BE、BC 的长，继E 直角三角形 CDE 中，根据勾股定理，得-AB=AD , AE 丄 BD , AE 垂直平分 BD ,ZBAE=ZDAE .DE=BE=5-AD/BC, ZDAE=ZAEB./-ZBAE=/AEBAB=BE=5 / BC=BE+EC=8在直角三角形 BCD 中，根据勾股定理，得故答案为：4 胡连接 DE，因为 AB=AD , AE 丄 BD , ADDE=5 .BD=4连接 DE .难度：压轴 详细信息如图， ABC 中，点 D E 分别是边 BC AC 的中点，过点 A 作 AF/ BC 交线段

7、 D 的延长线相交于 F 点，取 AF 的中点 G,如果 BC=2AB求证：（1 四边形 ABDF 是菱形；（2） AC=2DG（1 ）首先根据三角形的中位线定理，得DE / AB，结合 AF / BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2 ）根据菱形的性质可以进一步得到AFGDFEA，贝 U GD=AE，即可证明结论.证明：（1 ）T点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， DE 是ABC 的中位线（三角形中位线的定义），IDE / AB，DE=上 AB （三角形中位线性质）.（1 分）/AF / BC，

8、四边形 ABDF 是平行四边形（平行四边形定义）.（1 分）/BC=2AB ，BC=2BD ，/AB=BD .（ 1 分）四边形 ABDF 是菱形.（1 分）（2 ）v四边形 ABDF 是菱形， AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）./DE= “B，1EF= -AF.（ 1 分）vG 是 AF 的中点./GF=：AF，GF=EF .（ 1 分）/ FGDFEA， （ 1 分）/GD=AE ，vAC=2EC=2AE，AC=2DG .（ 1 分）题型：解答题难度：困难详细信息已知： 如图， 矩形 ABCD 勺对角线 AC 的垂直平分线 EF 与 AD AC BC 分别交于 点 E、O F.(1)

9、 求证：四边形 AFCE 是菱形；(2) 若 AB=5 BC=12 EF=6 求菱形 AFCE 的面积.(1 )根据 ABCD 为矩形，根据矩形的对边平行得到AE 与 CF 平行，由两直线平行得到一对内错角相等， 又 EF 垂直平分 AC， 根据垂直平分线的定义得到 AO=CO， 且 AC 与 EF 垂直， 再加上一对对顶角相 等， 利用“ ASA得到三角形 AOE 与三角形 COF 全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE 为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；(2 )由矩形的性质得到 / B 为直角，在直角三角

10、形 ABC 中，由 AB 与 BC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，又已知 EF 的长，而 AC 与 EF 为菱形 AFCE 的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形 的面积.【解析】(1 )v四边形 ABCD 是矩形，/ AE / FC，/ZEAO=/FCO，/ EF 垂直平分 AC，/ AO=CO ，FE 丄 AC，又ZAOE=ZCOF， AOE COF，/ EO=FO，/四边形 AFCE 为平行四边形，又vFE 丄 AC，/平行四边形 AFCE 为菱形；(2 )在 Rt ABC 中，由,AB=5，BC=12 ，2_3 IT? v根据勾股定理得：AC= 盘用 T1 =13，又 E

11、F=6，|1 11/菱形 AFCE 的面积 S=，AC?EF= -X13X6=39 .题型：选择题难度：简单详细信息下列命题中，真命题是()A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 有一条对角线平分对角的四边形是菱形C菱形是对角线互相垂直平分的四边形D.菱形的对角线相等型：选择题难度：压轴详细信息等腰梯形的两底中点的连线与两腰中点的连线，它们的关系是( )A. 相等B. 互相垂直但不一定互相平分C. 互相平分但不一定互相垂直D. 互相垂直平分【解析】根据 AD=BC , GH / AB / DC 可得 EF 丄 GH ,结合中位线定理可得 EF、GH 互相平分.故选 D.题型：解答题难度：

12、困难详细信息_如图，？ABCD 中 AB=9 对角线 AC 与 BD 相交于点 O, AC=12 BD=4 亍,(1) 求证：?ABCD1 菱形；(2) 求这个平行四边形的面积.(1 )由四边形 ABCD 为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得AO 与 BO 的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可求得KOB 为直角三角形，则可得 AC 丄 BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得 ?ABCD 是菱形；可先画岀示意图，根据等腰梯形的腰长相等可得岀答案.(2 )由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求得菱形的面积.(1 )证明：T四边形 ABCD 为平行四边形，AC=

13、12 ，BD=6 聘7， 1/ A0= 2AC=6 , BO= 2BD=3 苗,T在AOB 中，AB=9 ,：62+ (3 )2=92,2 2 2即 AO +BO =AB ,AOB 为直角三角形，/ AOB=90 ,即 AC 丄 BD, ?ABCD 是菱形；题型：填空题难度：压轴详细信息如图，在矩形 ABCD 中, E、F、G H 分别是四条边的中点，HF=2 EG=4 贝 U 四 边形 EFGH 的面积为由四边形 ABCD 是矩形与 E、F、G、H 分别是四条边的中点，根据 SAS，易证得AEHDGHBEFCGF，则可得 EH=EF=FG=GH ，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四

14、边形EFGH是菱形，又由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得四边形EFGH 的面积.【解析】T四边形 ABCD 是矩形，/ AB=CD , AD=BC , / A= / B= / C= / D=90,TE、F、G、H 分别是四条边的中点，AE=DG=BE=CG , AH=DH=BF=CF ,/ AEHDGH BEF CGF (SAS ),.EH=EF=FG=GH ,.四边形 EFGH 是菱形，THF=2 , EG=4 ,1 1.四边形 EFGH 的面积为：HF?EG=X2X4=4 .故答案为：4 .题型：填空题难度：中等详细信息下列命题：矩形的对角线互相平分且相等；对角线相等的四边形是矩形

15、；菱形的每一条对角线平分一组对角；一条对角线平分一组对角的平行四边 形是菱形.其中正确的命题为(注：把你认为正确的命题序号都填上)根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案.【解析】(2 )由(1 )可知:?ABCD是菱形，1S菱形ABCD= ACXBD=361矩形的对角线互相平分且相等；故正确；2对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；3菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；4一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确.故答案为：题型：解答题难度：困难详细信息如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC BD 相交于 0 点，点

16、P 是线段 AD 上一动点(不 与点 D 重合)，P0 的延长线交 BC 于 Q 点.(1) 求证：四边形 PBQ 助平行四边形.(2) 若 AB=3cm AD=4cm P 从点 A 出发以 1cm/秒的速度向点 D 匀速运动设点 P 运动时间为 t 秒，问四边形 PBQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相 应的t 值；如果不能，说明理由.(1 )依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定APODQOB，所以OP=OQ，则四边形 PBQD 的对角线互相平分，故四边形 PBQD 为平行四边形.(2 )点 P 从点 A 出发运动 t 秒时，AP=tcm ，PD= (4-t ) cm

17、.当四边形 PBQD 是菱形时，PB=PD=(4-t ) cm 在直角AABP 中，根据勾股定理得到 AP2+AB2=PB2,即 t2+32= (4-t )2，由此可以求得 t 的值.(1 )证明：如图，/四边形 ABCD 是矩形，/AD / BC，OD=OB ，/ZPDO=/QOB，在 APOD 与AQOB 中，PDO-AOBO OD=OB./ PODQOB (ASA )，/OP=OQ，/四边形 PBQD 为平行四边形；(2 )点 P 从点 A 出发运动 t 秒时，AP=tcm ，PD= (4-t ) cm . 当四边形 PBQD 是菱形时，PB=PD= ( 4-t ) cm .T四边形 A

18、BCD 是矩形，/ZBAP=90，/在直角AABP 中，AB=3cm ，AP2+AB2=PB2，即卩 t2+32= (4-t )解得：t=s,二点 P 运动时间为 S 秒时，四边形PBQD能够成为菱形.题型：解答题难度：中等详细信息已知，如图，正方形 ABCD 勺边长为 6,菱形 EFGH 勺三个顶点 E、G H 分别在 正方形 ABCD 勺边 AB CD DA 上, AH=2 连接 CF.(1) 当 DG=2 时，求证：菱形 EFGH 为正方形；(2) 求证：/ AEHMCGF(3) 设 DG=x 用含 x 的代数式表示 FCG 的面积.(1 )由于四边形 ABCD 为正方形，四边形 HEF

19、G 为菱形，那么/ D= / A=90 ，HG=HE，而AH=DG=2 ，易证AHEDGH，从而有 / DHG= / HEA，等量代换可得 / AHE+ / DHG=90 ，易证四边形 HEFG 为正方形；(2 )过 F 作 FM 丄 CD，垂足为 M，连接 GE，由 AB 与 CD 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对 角相等，再由 GE 为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；(3 )欲求FCG 的面积，由已知得 CG 的长易求，只需求出 GC 边的高，通过证明 AHEMFG 可 得.(1 )证明：在HDG 和AAEH 中，丁四边形 ABCD 是正方形，

20、/ZD=/A=9C，T四边形 EFGH 是菱形，/ HG=HE ，在 Rt AHDG 和AAEH 中，(HG-HE/ Rt HDGAEH ( HL )，/ZDHG=ZAEH，/ZDHG+ZAHE=90/ZGHE=90，/菱形 EFGH 为正方形，/ZEHG=90:难度：中等详细信息如图，已知 0 为矩形 ABCD 寸角线的交点，过点 D 作 DE/ AC；过点 C 作 CE/ BD且 DE CE 相交于 E 点.(1) 请你判断四边形 OCE 啲形状，并说明理由；(2) 若 AB=6 BC=8 求四边形 OCE 的面积.AD(1 )首先由 CE / BD , DE / AC，可证得四边形 CO

21、DE 是平行四边形，又由四边形 ABCD 是矩形，根 据矩形的性质，易得 OC=OD，即可判定四边形 CODE 是菱形，(2 )由矩形的性质可知四边形 OCED 的面积为矩形 ABCD 面积的一半，问题得解.【解析】(1 )四边形 OCED 的形状是菱形，理由如下：/CE / BD , DE / AC ,四边形 CODE 是平行四边形，T四边形 ABCD 是矩形，/ AC=BD , OA=OC , OB=OD ,OD=OC ,四边形 CODE 是菱形；(2 ) / AB=6 , BC=8 ,矩形 ABCD 的面积=6X8=48 ,111：SODC= #S矩形 ABCD=12 ,四边形 OCED

22、 的面积=2SODC=24 .题型：解答题难度：困难详细信息如图，在菱形 ABCD 中, AB=4 / AND=60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边 上一动点(不与点 A 重合)，延长 ME 交射线 CD 于点 N,连接 MD AN.(1) 求证：四边形 AMDN1 平行四边形；(2) 填空：1当 AM 的值为_ 时，四边形 AMDN1 矩形；2当 AM 的值为_ 时，四边形 AMDN1 菱形.(1 )利用菱形的性质和已知条件可证得 NDEMAE，即可利用四边形 AMDN 的对角线互相平分证得四边形 AMDN 是平行四边形；(2 )有(1)可知四边形 AMDN 是平行四边形，

23、利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即/DMA=90 ，所以 AM= AD=2 时即可；当平行四边形 AMND 的邻边 AM=DM 时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD 是等边三角形即可.(1 )证明：丁四边新 ABCD 是菱形，/ AB / CD ,/ZDNE=/AME,T点 E 是 AD 边的中点，/ AE=DE ,在 ANDE 和 MAE 中,ZA址EDE-AE* 、:.NDE MAE (AAS ),/ NE=ME ,:四边形 AMDN 是平行四边形；(2 )【解析】1当 AM 的值为 2 时，四边形 AMDN 是矩形.理由如下：1/ AM=2= AD ,：ZADM=3vZD

24、AM=6,：ZAMD=9,:平行四边形 AMDN 是矩形；2当 AM 的值为 4 时，四边形 AMDN 是菱形.理由如下：/ AM=4 ,: AM=AD=4 ,: AMD 是等边三角形，: AM=DM ,:平行四边形 AMDN 是菱形.故答案为；(1 ) 2 ,( 2 ) 4 .题型：解答题难度：困难详细信息(1) 如图甲，矩形 ABCD 勺对角线 AC BD 交于点 0,过点 D 作 DP/ OC 且 DP=0C连接 CP 判断四边形 C0DP 勺形状并说明理由.(2) 如果题目中的矩形变为图乙菱形结论应变为什么，说明理由.(1 )根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形C0DP 是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得 0C=0D ,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；(2 )根据菱形的对角线互相垂直可得AC 丄 BD ,再根据垂线的定义求出ZBOC=90 ,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答.【解析】(1 )是菱形.理由如下：/ DP / 0C , DP=0C ,四边形 CODP 是平行四边形，T矩形 ABCD 的对角线 AC、