全等三角形拓展题---尖子生专用（精编版）

1、全等三角形综合应用知识点：1、全等三角形的判定方法：2、角平分线的性质与判定：例题讲解2016 武汉江汉区压轴题 （本题12 分） abc是等腰三角形，abac，ad是abc的中线，以ac为边作等边 ace，be分别与直线ad、ac交于点f、g，连接cf(1) 如图 1，若 abc、ace位于ac异侧，求efc的度数 试判断线段ef、df、af之间的数量关系，并说明理由(2) 若 abc、ace位于ac同侧，试完成备用图，并直接写出线段ef、df、af之间的数量关系解： (1) abae，设abeaebabac，ad是abc的中线设badcad又 2 2 60 180 ， 60 afe dfc

2、 60 efc 180 60 60 60 过点 c 作 ch be 于 h aeb aec60 ， abe bad60 bad hec可证： abd ehc（aas） head易证： cfh cfd （aas） fhdf effh afdf即 efaf 2df(3) 作图、证明的过程一样af ef2df2016 武珞路中学 （本题 10 分）已知等边三角形abc，m 为 ab 上的一点，以cm 为边作等边 cmn，连接 bn(1) 求证： am bn(2) 作 mh bc 于 h，连接 ah若 ahmn ，am1，求 ch 的长证明 ：(1) acm bcn（sas）(2) 由(1) 知： a

3、cmbcn cbn mac 60 mbn 60 60 120 过点 m 作 md bc 交 ac 于 d amd 为等边三角形 amadbn， adm 60 bmcd， mdc 120在 bmn 和 dcm 中 bmn dcm （sas ） bmn dcm ahmn bmn bah dcm在 bah 和acm 中 bahacm （asa） bham 1 bmhc mh bc， mbh 60 bm2bh2 ch2 2016 武珞路中学 （本题 10 分）如图1，已知等腰 abc 中， abac，ad 为 bc 边上的中线，以ab 为边向外作等边abe，直线 ce 与直线 ad 交于点 f(1)

4、若 af10，df 3，试求 ef 的长(2) 若以 ab 为边向内作等边 abe，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹） ，找出ef、af、df 三者的数量关系，并证明你的结论解： (1) 设 bad cad， aec ace在 ace 中， 2602180 ，60连接 bf bfd cfd 60 bfcf2df 6 在 ec 上截取 egcf，连接 ag aegacf （sas） eag caf ，agaf gaf60 afg 为等边三角形 efeg gfaf fc10616 (2) 尺规作图：先作ab 的垂直平分线，再利用半径得到等边设 bad cad， ace aec

5、cae180 2 bae2180260 ，60 bad bef在 af 上截取 ag ef，连接 bg可知： abg ebf（sas） agef， bgbf bfg 为等边三角形 afaggfbf ef2dfef 武汉二中广雅中学2016 （本题12 分）在 abc中，abac，bac （0 60 ） ，以线段bc为边在abc内作等边 dbc(1) 如图 1，abd_（用含 的式子表示）(2) 如图 2，bce150 ，abe60 ，判断 abe的形状并加以证明(3) 在 (2) 的条件下，连接de，若dec45 ，求 的值例 1、 （1）在 abc中， b=c，与 abc全等的三角形有一个角

6、是130，那么abc中与这个角对应的角是（）a、a b 、b c、c d 、b或c （2）如图 1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）a、sss b 、sas c 、aas d、asa （3）如图 2，ad平分 bac ，bf ad于 d，交 ac于 f，de ac ，bad=30 ，则 bde=_ 例 2、如图 3，om 平分 aob ，ao=ob ，ad与 bc相交于 m 。求证： ac=bd 例 3、如图 4，在 abc中， b=c，d、e、f 分别在 ab 、bc 、ac上，且 bd=ce ，d

7、ef= b。求证： ed=ef 例 4、如图 5， abc中， ab=ac ，点 d、e、f分别在 bc 、ab 、ac上，且 bd=cf ，be=cd ，g是 ef的中点。求证： dg ef例 5、如图 6， abc=90 ， ab=bc ，d为 ac上一点，分别过c、a作 bd的垂线，垂足分别为 e、f求证： ef=ce-af 例 6、 如图 7， p为 aob 平分线上一点，pc oa于 c， oap+ obp=180 ， 若 oc=4cm 。求 oa+ob 的值。例 7、如图 8，ad bc ， 1=2， 3= 4，点 e在线段 dc上。求证： ad+bc=ab 例 8、如图 9， 1

8、=2，p为 bn上一点，且 pd bc于 d，ab+bc=2bd。求证： bpa+ bcp=180 巩固：1、如图，点 p为 aef外一点， pa平分 eaf ，pd ef于 d，de=df ，pb ae于 b。求证： af-ab=be 2、如图，在四边形abcd 中，ab=ad ，ca平分 bcd ，aebc于 e，afcd交 cd延长线于 f求证： be=df 3、如图， ca=cb ，cd=ce ， acb= dce= ，ad 、be交于点 h，连 ch 。（1）求证： acd bce ；（2）求证： ch平分 ahe ；（3）求 che 的度数（用含的式子表示）4、如图（1） ，在ab

9、c中，bac=90 ，ab=ac ，ae是过点 a的一条直线， 且点 b、c在 ae的异侧， bd ae于 d，ce ae于 e （1）试说明： bd=de+ce（2）若直线 ae绕 a点旋转到图（ 2）位置时（ bd ce ） ，其余条件不变，问bd与 de 、ce的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线 ae绕 a点旋转到图（ 3）位置时（ bd ce ） ，其余条件不变，问bd与 de 、ce的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由5、如图，在 abc和 ade中， ab=ac ，ad=ae ， bac= dae=90 （1）当点 d在 ac上时，如图 1，线段 bd 、ce有怎样的数量

10、关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图 1 中的 ade绕点 a 顺时针旋转角（0 90） ，如图 2，线段bd 、ce有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由6、如图，在平面直角坐标系中，点b的坐标为（ 2，2） ，点 a为 y 轴正半轴上一动点，过 b点作bc ab交 x 轴的正半轴于点c。（1）求证： ba=bc ；（2）当点 a运动时， oa+oc 的值是否发生变化，若不变，求其值；若发生变化，求变化范围7、已知四边形abcd 中， ab=bc ，abc=120 ， mbn=60 ， mbn 绕 b点旋转，它的两边分别交ad ，dc （或它们的延长线）于e，f（1）当 mbn

11、绕 b点旋转到 ae=cf 时（如图 1） ，求证 ae+cf=ef ；（2）当mbn 绕 b点旋转到 ae cf时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立， 请给予证明； 若不成立， 线段 ae ，cf ，ef又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明8、已知：如图， abc中， abc=45 ， cd ab于 d ，be平分 abc ，且 be ac于 e，与 cd相交于点 f，h是 bc边的中点，连接dh与 be相交于点 g（1）求证： bf=ac ；（2）求证： ce=21bf；（3）若把题目中“ be平分 abc ”改为“ be平分线段 dc ” ，其他条件不变

12、，连接hf求证： hf=ad 9、直线 cd经过 bca的顶点 c ，ca=cb e、f 分别是直线 cd上两点，且 bec=cfa= （1）若直线 cd经过 bca的内部，且 e、f在射线 cd上，请解决下面两个问题：如图 1，若 bca=90 ， =90，则 ef_ |be-af| （填“”， “”或“ =”号） ；如图 2，若 0 bca 180，若使中的结论仍然成立，则与bca应满足的关系是 _ ；（2）如图 3，若直线 cd经过 bca的外部， =bca ，请探究 ef 、与 be 、af三条线段的数量关系，并给予证明第十一讲：全等三角形综合二知识点：1、全等三角形的判定及性质：2、

13、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例 1、如图，在 rtabc中，acb=90 ，cd ab于 d，ae平分 bac ，交 cd于 k，交 bc于 e，f 是 be上一点，且 bf=ce ，求证： fkab 例 2、如图 1， abc中， bac=90 ， ba=ac ，（1）d为 ac的中点，连bd ，过 a点作 ae bd于 e点，交 bc于 f 点，连 df ，求证： adb= cdf （2）若 d ，m为 ac上的三等分点，如图2，连 bd ，过 a作 aebd于点 e，交 bc于点 f，连 mf ，判断adb与 cmf 的大小关系并证明例 3、如图，在 abc中， c=9

14、0 ， m为 ab的中点， dm ab ，cd平分 acb ，求证： md=am例 4、在 abc中， acb为锐角，动点d（异于点 b）在射线 bc上，连接 ad ，以ad为边在 ad的右侧作正方形adef ，连接 cf （1）若 ab=ac ， bac=90 那么如图一，当点 d在线段 bc上时， 线段 cf与 bd之间的位置、大小关系是 _ （直接写出结论）如图二，当点 d在线段 bc的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由（2）若 ab ac ，bac 90点 d在线段 bc上，那么当 acb等于多少度时？线段 cf与 bd之间的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由例 5、如

15、图所示，已知a，b为直线 l 上两点，点 c为直线 l 上方一动点，连接 ac 、 bc ， 分别以 ac 、 bc为直角边向 abc外作等腰直角 cad 和等腰直角 cbe ，满足 cad= cbe=90 ，过点 d作 dd1l 于点 d1，过点 e作 ee1l 于点 e1（1）如图，当点e恰好在直线 l 上时，试说明dd1=ab ；（2）在图中，当d，e两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段dd1，ee1，ab之间的数量关系，并说明理由例 6、如图 1，已知点 a（a，0） ，点 b（0，b） ，且 a、b 满足044ba（1）求 a、b两点的坐标；（2） 若点 c是第一象限内一点， 且

16、 ocb=45 ，过点 a作 ad oc于点 f， 求证：fa=fc ；（3）如图 2，若点 d的坐标为（ 0，1） ，过点 a作 ae ad ，且 ae=ad ，连接 be交 x 轴于点 g ，求 g点的坐标巩固：1、如图，已知 bac=90 ，ad bc于点 d， 1=2，efbc交 ac于点 f试说明 ae=cf 2、如图，abc中，ad平分 bac ，dg bc且平分 bc ，de ab于 e，df ac于 f（1）说明 be=cf 的理由；（2）如果 ab=5 ，ac=3 ，求 ae、be的长3、如图，abc中，ac=2ab ，ad平分 bac交 bc于 d，e是 ad上一点， 且

17、ea=ec 。求证： ebab 4、如图，在 abc中， acb=90 ，p为 ac上一点， pq ab于 q，am ab交 bp的延长线于 m ，mn ac于 n，aq=mn（1）求证： ap=am ；（2）求证： pc=an 5、如图， abc内，bac=60 ，acb=40 ，p，q分别在 bc ，ca上，并且 ap ，bq分别是 bac ，abc的平分线，求证： bq+aq=ab+bp6、将两个全等的直角三角形abc和 dbe按图 （1） 方式摆放，其中 acb= deb=90 ，a=d=30，点 e落在 ab上， de所在直线交 ac所在直线于点f（1）求证： cf=ef ；（2）若

18、将图（ 1）中的 dbe绕点 b按顺时针方向旋转角a，且 0a60，其他条件不变，如图 （2） 请你直接写出af+ef与 de的大小关系：af+ef_ de （填“”或“ =”或“”）（3） 若将图（1） 中 dbe的绕点 b按顺时针方向旋转角，且 60 180，其他条件不变， 如图（3） 请你写出此时af、ef与 de之间的关系， 并加以证明7、如图，在平面直角坐标系中， 点 o为坐标原点， abc的三点坐标分别为a （0，5） ，b（-5 ，0） ，c（2，0） ，bd ac于 d且交 y 轴于 e，连接 ce （1）求 abc的面积；（2）求aeoe的值及 ace的面积8、如图 1，在平

19、面直角坐标系中，点a（4，4） ，点 b、c分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， s 四边形 obac=16 （1） coa 的值为 _ ；（2）求 cab的度数；（3）如图 2，点 m 、n分别是 x 轴正半轴及射线oa上一点，且 oh mn的延长线于h，满足 hon= nmo ，请探究两条线段mn 、oh之间的数量关系，并给出证明9、在平面直角坐标系中，点a（2，0） ，点 b（0，3）和点 c（0.2 ） ；（1）请写出 ob的长度： ob=_ ；（2）如图：若点d在 x 轴上，且点d的坐标为（ -3 ，0） ，求证： aob cod ；（3）若点 d在第二象限，且 aob cod ，则这

20、时点 d的坐标是 _ （直接写答案）10、已知，在 abc中， ca=cb ，ca 、cb的垂直平分线的交点o在 ab上， m 、n分别在直线 ac 、bc上， mon= a=45（1）如图 1，若点 m 、n分别在边 ac 、bc上，求证： cn+mn=am；（2）如图 2，若点 m在边 ac上，点 n在 bc边的延长线上，试猜想cn 、mn 、am之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）11、（1） 如图 1， 以 abc的边 ab、 ac为边分别向外作正方形abde 和正方形 acfg ，连接 eg ，试判断 abc与 aeg面积之间的关系，并说明理由（2）园林小路，曲径通幽，如图2

21、 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米12、如图，将两个全等的直角三角形abd 、ace拼在一起 （图 1） abd不动，（1） 若将 ace绕点 a逆时针旋转， 连接 de ， m是 de的中点，连接 mb 、 mc（图 2） ，证明： mb=mc（2）若将图 1 中的 ce向上平移， cae不变，连接 de ，m是 de的中点，连接 mb 、mc （图 3） ，判断并直接写出mb 、mc的数量关系（3）在（ 2）中，若 cae的大小改变（图4） ，其他条件不变，则（2

22、）中的 mb 、mc的数量关系还成立吗？说明理由13、如图， abc中， d是 bc的中点，过点d的直线 mn交 ac于 n，交 ac的平行线 bm于 m ，pd mn ，交 ab于点 p，连接 pm 、pn （1）求证： bm=cn ；（2）请你判断bp+cn 与 pn的在数量上有何关系，并说明你的理由14、如图，在平面直角坐标系中， o为坐标原点 a、b两点的坐标分别为a （m ， 0） 、b（0，n） ，且0623nnm，点 p从 a出发，以每秒1 个单位的速度沿射线 ao匀速运动，设点p运动时间为 t 秒（1）求 oa 、ob的长；（2）连接 pb ，若 pob 的面积不大于3 且不等

23、于 0，求 t 的范围；（3）过 p作直线 ab的垂线，垂足为d，直线 pd与 y 轴交于点 e，在点 p运动的过程中，是否存在这样的点p，使eop aob ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由等腰三角形小结一、构造等腰三角形例 1如图，在等腰 rtabc中，bac=90 ，ab=ac ，ad=ae ，afbe交 bc于 f，fg cd交 ac于 h ，交 be的延长线于 g(1) 求证： ge=gh ；(2) 问 bg 、af 、fg有何数量关系？证明你的结论练习1等边 abc中，点 0 为 ac 、bc两边垂直平分线的交点，点p为 ab上一动点，pe ac交 bc于 e，点 f为

24、 ac上一点，且 cf=pe ，连 of 、ef，求 ofe的度数二、运用等腰三角形的性质例 2已知 rtabc. 中， ac=bc ，c= 90， d 为 ab中点， edf=90 ， edf绕 d点旋转，它的两边分别交ac 、cb （或它们的延长线）于e、f图 图 图(1) 当edf绕 d点旋转到 de ac于 e （如图）时， 显然 s def+s cef=12s abc. 当edf绕 d 点旋转到 de和 ac不垂直时（如图） ，sdef、s cef、sabc三者之间的数量关系是什么？证明你的结论；(2) 当edf绕 d点旋转到如图所示的位置，请直接写出s def、s cef、sabc

25、之间的数量关系是 （不必证明）练习2如图， abc中， a=90 ab=ac ，d为 ac中点， ae bd于 e，延长 ae交 bc于点 f. 求证： adb= cdf. 3abc中，过 bc边的中点 d作直线交 ab于 e交 ca的延长线于 f，使 ae=af.求证： be=cf. 三、角平分线与等腰三角形例 3 如图， ab cd ， be、ce分别平分 abc 、dcb. 求证： ab+cd=bc. 练习4如图， abc中， a=90 ， ab=ac ，bd平分 abc交 ac于 d，ce bd 交 bd延长线于 e (1)求证： ce=12bd ； (2)求aeb的度数5如图，在 a

26、bc中， m为 bc边中点， ad为bac的平分线， mf ad交 ad延长线于 f，交 ab于 e求证： be=12(ab-ac)四、构造等边三角形例 4如图，已知在平面直角坐标系中，oa=ob=oc=2，点 p从 c点出发沿 y 轴正方向以 1 个单位秒的速度向上运动，连接pa 、pb ，d为 ac的中点 (1)设点 p运动的时间为t 秒，问：当 t 为何值时， dp与 db垂直且相等； (2)若 pa=ab ，在第一象限内有一动点q，连 qa 、 qb 、qp ，且pqa=60 ，问：当 q在第一象限内运动时， apq+ abq的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值

27、. 图图练习6如图， a（o，-1 ） ，a、c关于 x 轴对称， ab=2 ，ef bc ，交 ab的延长线于 e点，交 y 轴于 f 点 (1)求aef ； (2)如图，将 aef绕 a点顺时针旋转交bc延长线于 d点，当 d(m ，2)时，问am+dh 大小是否变化并证明图图全等三角形中常见辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

28、线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目dcbaedfcbaedcbapqcba特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图a

29、bc中， ab=5 ，ac=3 ，则中线 ad的取值范围是 _. 例 2、如图， abc中，e、f 分别在 ab 、ac上，de df ，d是中点，试比较be+cf与 ef的大小 . 例 3、如图， abc中， bd=dc=ac，e是 dc的中点，求证： ad平分 bae. 应用：1、 （09崇文二模）以abc的两边ab 、ac为腰分别向外作等腰rtabd和等腰rtace，90 ,badcae连接de ，m 、n分别是bc 、de的中点探究：am与de的位置关系及数量关系（1） 如图当abc为直角三角形时，am与de的位置关系是，线段am与de的数量关系是；（2）将图中的等腰rtabd绕点 a

30、沿逆时针方向旋转(0ad+ae. 四、借助角平分线造全等例 1、如图，已知在 abc中， b=60， abc的角平分线 ad,ce相交于点 o，求证： oe=od 例 2、如图， abc中，ad平分 bac ，dg bc且平 分bc，de ab于 e，df ac于 f. （1）说明 be=cf 的理由；（2）如果 ab=a，ac=b，求 ae 、be的长 . 应用：1、如图，op是mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在abc中，acb是直角，b=60，ad、ce分别是bac、bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的nmefacbafedcba数量关系；（2）如图，在abc中，如果acb不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1、正方形 abcd 中， e为 bc上的一点， f 为 cd上的一点， be+df=ef ，求 eaf的度数 . 例 2 、d 为等腰rt abc斜边 ab的中点， dm dn,dm,dn 分别交 bc,ca于点 e,f。（1） 当mdn绕点 d转动时，求证de=df 。（2） 若 ab=2 ，求四边形 dec