2015年天津市高考数学试卷(文科)

1、2015年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5.00分）已知全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=2，3，5，集合b=1，3，4，6，则集合aub=（）a3b2，5c1，4，6d2，3，52（5.00分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）a7b8c9d143（5.00分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）a2b3c4d54（5.00分）设xr，则“1x2”是“|x2|1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件5（5.00分）已知双曲线=1（a0，b0

2、）的一个焦点为f（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）a=1b=1cy2=1dx2=16（5.00分）如图，在圆o中，m、n是弦ab的三等分点，弦cd，ce分别经过点m，n，若cm=2，md=4，cn=3，则线段ne的长为（）ab3cd7（5.00分）已知定义在r上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）aabcbacbccabdcba8（5.00分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（）a2b3c4

3、d5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5.00分）i是虚数单位，计算的结果为 10（5.00分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m311（5.00分）已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为 12（5.00分）已知a0，b0，ab=8，则当a的值为 时，log2alog2（2b）取得最大值13（5.00分）在等腰梯形abcd中，已知abdc，ab=2，bc=1，abc=60°，点e和f分别在线段bc和dc上，且=，=，则的值为 14（5.00分）已知函数f（x）=si

4、nx+cosx（0），xr，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13.00分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设a为事件“编号为a5和a6的两名运动员中至少有1人被抽

5、到”，求事件a发生的概率16（13.00分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知abc的面积为3，bc=2，cosa=（）求a和sinc的值；（）求cos（2a+）的值17（13.00分）如图，已知aa1平面abc，bb1aa1，ab=ac=3，bc=2，aa1=，bb1=2，点e和f分别为bc和a1c的中点（）求证：ef平面a1b1ba；（）求证：平面aea1平面bcb1；（）求直线a1b1与平面bcb1所成角的大小18（13.00分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7（）求an和bn的通项公式；（）设c

6、n=anbn，nn*，求数列cn的前n项和19（14.00分）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为b，左焦点为f，离心率为（）求直线bf的斜率（）设直线bf与椭圆交于点p（p异于点b），过点b且垂直于bp的直线与椭圆交于点q（q异于点b），直线pq与y轴交于点m，|pm|=|mq|（i）求的值（ii）若|pm|sinbqp=，求椭圆的方程20（14.00分）已知函数f（x）=4xx4，xr（）求f（x）的单调区间；（）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为p，曲线在点p处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）g（x）；（）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x

7、2，且x1x2，求证：x2x1+42015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5.00分）已知全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=2，3，5，集合b=1，3，4，6，则集合aub=（）a3b2，5c1，4，6d2，3，5【分析】求出集合b的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集u=1，2，3，4，5，6，集合b=1，3，4，6，ub=2，5，又集合a=2，3，5，则集合aub=2，5故选：b【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查2（5.00分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大

8、值为（）a7b8c9d14【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z经过点a时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即a（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9即目标函数z=3x+y的最大值为9故选：c【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3（5.00分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）a2b3c4d5【

9、分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当s=0时满足条件s1，退出循环，输出i的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=10，i=0i=1，s=9不满足条件s1，i=2，s=7不满足条件s1，i=3，s=4不满足条件s1，i=4，s=0满足条件s1，退出循环，输出i的值为4故选：c【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，s的值是解题的关键，属于基础题4（5.00分）设xr，则“1x2”是“|x2|1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【分析】求解：|x2|1，得出“1x2”，根据充分必要条件的定义判断即

10、可【解答】解：|x2|1，1x3，“1x2”根据充分必要条件的定义可得出：“1x2”是“|x2|1”的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题5（5.00分）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为f（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）a=1b=1cy2=1dx2=1【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为f（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2

11、=3相切，b=a，焦点为f（2，0），a2+b2=4，a=1，b=，双曲线的方程为x2=1故选：d【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键6（5.00分）如图，在圆o中，m、n是弦ab的三等分点，弦cd，ce分别经过点m，n，若cm=2，md=4，cn=3，则线段ne的长为（）ab3cd【分析】由相交弦定理求出am，再利用相交弦定理求ne即可【解答】解：由相交弦定理可得cmmd=ammb，2×4=am2am，am=2，mn=nb=2，又cnne=annb，3×ne=4×2，ne=故选：a【点评】

12、本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础7（5.00分）已知定义在r上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）aabcbacbccabdcba【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在0，+）上的单调性即可比较出a，b，c的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f

13、（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；0log23log25；cab故选：c【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8（5.00分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（）a2b3c4

14、d5【分析】求出函数y=f（x）g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=3f（2x），y=f（x）g（x）=f（x）3+f（2x），由f（x）3+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=3，设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x0，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数

15、h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）g（x）的零点个数为2个，故选：a【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5.00分）i是虚数单位，计算的结果为i【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：i是虚数单位，=i故答案为：i【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查10（5.00分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答

16、】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；该几何体的体积为v几何体=2×12×1+122=故答案为：【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11（5.00分）已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为3【分析】由题意求出f'（x），利用f（1）=3，求a【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f（x）=alnx+ax=alnx+a，又f（1）=3，所以a=3；故答案为：3【点

17、评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键12（5.00分）已知a0，b0，ab=8，则当a的值为4时，log2alog2（2b）取得最大值【分析】由条件可得a1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a1再利用基本不等式可得log2alog2（2b）=4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，故答案为：4【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题

18、13（5.00分）在等腰梯形abcd中，已知abdc，ab=2，bc=1，abc=60°，点e和f分别在线段bc和dc上，且=，=，则的值为【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可【解答】解：ab=2，bc=1，abc=60°，bg=，cd=21=1，bcd=120°，=，=，=（+）（+）=（+）（+）=+=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120&#

19、176;=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键14（5.00分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xr，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（x+），由2kx+2k+，kz可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：，kz，从而解得k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kz，结合已知可得：2=，从而可求的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），函数f（x）在区间（，

20、）内单调递增，02kx+2k+，kz可解得函数f（x）的单调递增区间为：，kz，可得：，kz，解得：02且022k，kz，解得：，kz，可解得：k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kz，由函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，可得：2=，可解得：=故答案为：【点评】本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13.00分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三

21、个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设a为事件“编号为a5和a6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件a发生的概率【分析】（）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件a包含上述9个，由概率公式可得【解答】解：（）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，应甲、乙、丙三个协

22、会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，a6），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，a6），（a3，a4），（a3，a5），（a3，a6），（a4，a5），（a4，a6），（a5，a6），共15种；（ii）设a为事件“编号为a5和a6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件a包含：（a1，a5），（a1，a6），（a2，a5），（a2，a6），（a3，a5），（a3，a6），（a4，a5），（a4，a6），（a5，a6）共9个基本事件，事件a发生的概率p

23、=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题16（13.00分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知abc的面积为3，bc=2，cosa=（）求a和sinc的值；（）求cos（2a+）的值【分析】（）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinc的值；（）利用两角和的余弦函数化简cos（2a+），然后直接求解即可【解答】解：（）在三角形abc中，由cosa=，可得sina=，abc的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosa，可得a=8，解得sinc=；（）cos（2a+）=cos2

24、acossin2asin=【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力17（13.00分）如图，已知aa1平面abc，bb1aa1，ab=ac=3，bc=2，aa1=，bb1=2，点e和f分别为bc和a1c的中点（）求证：ef平面a1b1ba；（）求证：平面aea1平面bcb1；（）求直线a1b1与平面bcb1所成角的大小【分析】（）连接a1b，易证efa1b，由线面平行的判定定理可得；（）易证aebc，bb1ae，可证ae平面bcb1，进而可得面面垂直；（）取bb1中点m和b1c中点n，连接a1m，a1n，ne，易证a1b1n即为直线a1b1与平面bcb

25、1所成角，解三角形可得【解答】（）证明：连接a1b，在a1bc中，e和f分别是bc和a1c的中点，efa1b，又a1b平面a1b1ba，ef平面a1b1ba，ef平面a1b1ba；（）证明：ab=ac，e为bc中点，aebc，aa1平面abc，bb1aa1，bb1平面abc，bb1ae，又bcbb1=b，ae平面bcb1，又ae平面aea1，平面aea1平面bcb1；（）取bb1中点m和b1c中点n，连接a1m，a1n，ne，n和e分别为b1c和bc的中点，ne平行且等于b1b，ne平行且等于a1a，四边形a1aen是平行四边形，a1n平行且等于ae，又ae平面bcb1，a1n平面bcb1，a

26、1b1n即为直线a1b1与平面bcb1所成角，在abc中，可得ae=2，a1n=ae=2，bmaa1，bm=aa1，a1mab且a1m=ab，又由abbb1，a1mbb1，在rta1mb1中，a1b1=4，在rta1nb1中，sina1b1n=，a1b1n=30°，即直线a1b1与平面bcb1所成角的大小为30°【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题18（13.00分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7（）求an和bn的通项公式；（）设cn=anbn，nn*，求数列cn的

27、前n项和【分析】（）设出数列an的公比和数列bn的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列cn的前n项和【解答】解：（）设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意，q0，由已知有，消去d整理得：q42q28=0q0，解得q=2，d=2，数列an的通项公式为，nn*；数列bn的通项公式为bn=2n1，nn*（）由（）有，设cn的前n项和为sn，则，两式作差得：=2n+13（2n1）×2n=（2n3）×2n3【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的

28、基本方法和运算求解能力，是中档题19（14.00分）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为b，左焦点为f，离心率为（）求直线bf的斜率（）设直线bf与椭圆交于点p（p异于点b），过点b且垂直于bp的直线与椭圆交于点q（q异于点b），直线pq与y轴交于点m，|pm|=|mq|（i）求的值（ii）若|pm|sinbqp=，求椭圆的方程【分析】（）通过e=、a2=b2+c2、b（0，b），计算即得结论；（）设点p（xp，yp），q（xq，yq），m（xm，ym）（i）通过（i），联立直线bf与椭圆方程，利用韦达定理可得xp=，利用bqbp，联立直线bq与椭圆方程，通过韦达定理得xq=，计算即得结论；（i

29、i）通过=可得|pq|=|pm|，利用|pm|sinbqp=，可得|bp|=，通过yp=2xp+2c=c计算可得c=1，进而可得结论【解答】解：（）设左焦点f（c，0），离心率e=，a2=b2+c2，a=c，b=2c，又b（0，b），直线bf的斜率k=2；（）设点p（xp，yp），q（xq，yq），m（xm，ym）（i）由（i）知a=c，b=2c，kbf=2，椭圆方程为+=1，直线bf方程为y=2x+2c，联立直线bf与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xp=，bqbp，直线bq的方程为：y=x+2c，联立直线bq与椭圆方程，消去y并整理得：21x240cx=0，解得xq=，又=，及xm=0，=；（ii）=，=，即|pq|=|pm|，又|pm|sinbqp=，|bp|=|pq|sinbqp=|pm|sinbqp=，又yp=2xp+2c=c，|bp|=c，因此=c，即c=1，椭圆的方程为：+=1【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题20（14.00分）已知函