2022年2022年四边形中“新定义”型试题探究

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载四边形中“新定义”型试题探究浙江省象山县丹城中学王赛英徐敏贤邮编315700所谓“新定义” 型试题,为指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念,要求考生现学现用,主要考查考生阅读懂得才能.应用新学问才能.规律推理才能和创新才能. 给“什么”,用“什么”,为 “新定义”型试题解题的基本思路. 以四边形为背景的几何“新定义”型试题,看似平淡无奇,认真研读却发觉试题韵味无穷,极具探究价值和选拔功能. 求解这类试题的关键为：正确懂得新定义,并将此定义作为解题的依据,同时娴熟把握相关的基本 概念.性质 、 把握图形的变化规律.一.以特别点为契机进行“新定义”例 1 （

2、2007 年宁波市中考数学试题）四边形一条对角线所在直线上的点,假如到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两个端点的距离相等,就称这点为这个四 边形的准等距点 如图 l ,点 p为四边形 abcd 对角线 ac 所在直线上的一点, pd=pb ,papc,就点 p 为四边形abcd 的准等距点1如图 2,画出菱形abcd的一个准等距点2如图 3,作出四边形abcd的一个准等距点尺规作图 、保留作图痕迹,不要求写作法3如图 4,在四边形abcd中, p 为 ac 上的点, pa pc,延长bp 交 cd 于点 e,延长 dp 交 bc 于点 f,且 cdf= cbe ,ce=cf 求

3、图 1证：点 p 为四边形abcd 的准等距点4试争论四边形的准等距点个数的情形说出相应四边形的特点及准等距点的个数,不必证明 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dp cb图 2a图 3deapcfb图 4图4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:（ 1）如图 2,连结 ac、 在 ac 上任取除ac 中点外的点p、点 p 即为所画点（ 2）如图 3,连结 bd、 作 bd 的中垂线交直线ac 于点 p、因点 p 不为 ac 的中点 、故点 p即为所求作点（ 3）如图 4,连结 db ,在 dcf 与 bce 中, cdf= cbe , dcf= bce ,cf=ce.

4、 dcf bceaas , cd=cb、 cdb= cbd、 pdb= pbd , pd=pb ,papc、点 p 为四边形abcd 的准等距点 .（ 4）当四边形的对角线相互垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时,准等距点的个数为 0 个；四边形的对角线相互垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时,准等距点有很多个1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当四边形的对角线不相互垂直,但相互平分时,准等距点的个数为0 个；当四边形的对角线不相互垂直,又不相互平分, 且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时,准等距点的个数为1 个；当四边形的对角线既不相互垂直又不相互平分,且任何一条对角

5、线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时,准等距点的个数为2 个.评析：本道题以特别点为契机,创设了一个全新的概念 四边形的准等距点.第（ 1）小题为新定义的简洁应用.第（ 2）小题依据新定义的内涵作图,其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点,且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏捷.镇静淡定的同学,从作图中不难发觉一般的四边形等距点可能为0.1.2.很多个 .第（ 3）小题,常中见新. 拙中藏巧,利用新定义及三角形有关学问就可使命题获证.第（ 4）小题就难度极大,对分析 问题才能.分类争论才能.抽象思维才能.归纳才能及语言表达才能提出了极高的要求.好在（ 1）.（ 2）两小题解决后累积的

6、体会,为第（4）小题解决铺设了平台,特别为第（2）小题画图时产生的灵感,为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于为,类比.联想才能强、 思维灵敏的同学会从对角线位置关系入手,对四边形等距点个数进行分类争论；思维严密.深刻的同学,会依据对角线垂直与否及为否平分,分成五类,最终,经抽象.归纳成四类.二.以特别边为契机边进行“新定义”例 2 （ 2007 年北京市中考数学试题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（ 1）请写出一个你学过的特别四边形中为等对边四边形的图形的名称；（ 2）如图,在 abc 中,点 d,e 分别在 a

7、b ,ac 上,设 cd .a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载be 相交于点o,如 a=60 °,dcb= ebc= a.请你写出图2fe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中一个与 a 相等的角,并猜想图中哪个四边形为等对边四边形；（ 3）在 abc 中,假如 a 为不等于 60°的锐角,点d ,e 分b1d ogc图 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载别在 ab ,ac 上, 且 dcb= ebc= a. 探究： 满意上述条件的2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图形中为否存在等对边四边形,并证明你的结论.解：（ 1）

8、平行四边形.等腰梯形等.（2）答：与 a 相等的角为bod （或 coe ） .四边形 dbce 为等对边四边形.（3）答：此时存在等对边四边形,为四边形dbce.证明：如图5,作 cg be 于 g 点,作 bf cd 交 cd 延长线于 f 点, f=90 0=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 egc.dcbebc1a , bc为公共边,2bcf cbg. bf=cg.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bdf= abe+ ebc+ dcb , bec= abe+ a , bdf= bec ,又 f=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载egc ,bdfc

9、eg , bd=ce ,四边形dbce 为等对边四边形.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评析： 此题以一组对边相等关系为契机, 创设了一个全新的概念 等对边四边形 .语言精练 、设问流畅,层次感强 .解决此题,需较强的分析问题才能.推理论证才能 . 第（ 1）小题为新定义的简洁应用 .第（ 2）小题的第一问,利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而其次问,易得猜想：bd=ce ,四边形dbce为等对边四边形,但凭直角得到的猜想不肯定2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载牢靠,为此大多数考生会设法证明自己的猜想.由公共边bc、 dcb= ebc=1 a=30 °

10、 、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bod= coe=60 °这些条件及要证的猜想bd=ce ,不难想到添帮助线的方法：分别过点b.c 作 cd .be 的垂线 、从而证明自己的猜想.第（ 3）小题完全可类比第（2）小题的其次精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载问进行, 先证 bcf cbg ,再证得 bdf ceg ,继而使问题获得解决；当然,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第（ 3）小题,也可作 hcb= dbc 交 be 于点 h,构造全等三角形bdc 与 chb,得bd=ch ,再证 ch=ce ,也可使问题获得解决.三.以特别角为契机

11、进行“新定义”例 3（ 2006 年安徽省中考数学试题）如图 6,凸四边形abcd中,假如点 p 满意 apd apb = .且 bpc cpd,就称点p 为四边形abcd 的一个半等角点 l）在图 7 正方形abcd内画一个半等角点p,且满意. 2 ）在图 8 四边形abcd中画出一个半等角点p,保留画图痕迹（不需写出画法）. 3 ）如四边形abcd有两个半等角点p1 .p2（如图 9 ,证明线段p1 p2 上任一点也为它的半等角点.ddcpibapcabb图 6图 7图 8图 9解：（ 1）所画的点p 在 ac 上且不为ac 的中点和ac 的端点,即可 .（ 2）画点 b 关于 ac 的对

12、称点b,延长 d b交 ac于点 p,点 p 即为所求的点 .（ 3）连 p1a.p1d.p1b.p1c 和 p2d.p2b,依据题意 、 a p1d= a p1b, d p1c= b p1c, a p 1b+ b p 1c=180 0、 p1 在 ac上,同理, p2 也在 ac上.在 d p 1 p 2 和 bp1 p 2 中d p1 p2= b p1 p2, d p2 p1=b p2p1, p1 p2= p1 p2, d p1 p2 b p1 p2, p1d=p1b,p2d=p2b, b.d 关于 ac 对称 .设 p 为 p1 p 上任一点,连结pd .pb,由对称性,得dpa=bpa

13、 , dpc= bpc,点 p 为四边形的半等角点.评析：此题以顶点相同的四个角满意特别的数量.位置关系为契机、 创设了一个全新的 概念 四边形半等角点.第（ 1）小题为新定义的直接应用.第（ 2）小题,语言简洁.精练, 看似平淡,实就蕴涵丰富的思维内涵、 突出考查了同学敏捷运用基础学问解决问题的才能. 通过分析,发觉所求作的点在对角线ac上,且 dpa= bpa,但要画出点p 仍不简洁； 连续分析,发觉dpb 关于直线ac 对称,点b 关于 ac 的对称点b在 dp 上,至此,才 峰回路转,柳暗花明. 第（ 3）小题要证明线段p1 p2 上任一点也为它的半等角点,需先证a .p1 .p2.b

14、 四点在始终线上,再证线段p1 p2 上任一点满意条件dpa=bpa , dpc=bpc ,从而使问题获证,此小题对思维的严密性提出了较高的要求.四.以特别对角线为契机进行“新定义”例 4 2006 年北京市中考数学试题我们给出如下定义：如一个四边形的两条对角线相等,就称这个四边形为等对角线四边形请解答以下问题：（ 1）写出你所学过的特别四边形中为等对角线四边形的两种图形的名称；（ 2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600 时,这对600 角所对的两边3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论解：（ 1）矩形.等腰梯形.（ 2）

15、结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600 时、这对 600 角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知：四边形abcd 中,对角线ac , bd 交于点 o , acbd ,且aod60o 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证： bcad ac dada精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：过点d 作 df ac ,在 df 上截精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 de ,使 deac 连结ce , be oooebe精品学习资料精选学习资料 - -

16、- 欢迎下载edoaod60 ,四边形 aced 为平行bccf f精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四边形, cead ；又 acbd , de= ac =bd , edo=60 0、 bde 为等边三图 110图 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载角 形 , bedeac 当 bc 与 ce 在 同 一 条 直 线 上 时 （ 如 图10 ）, 就bccebe , bcadac 当 bc 与 ce 不在同一条直线上时（如图11）,在 bce 中,有 bccebe , bcadac 综合.,得bcad ac 即等对角线四边形中两条对角线所夹角为600 时,这对60

17、0 角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长评析： 此题以对角线之间满意相等关系为契机,创设了一个全新的概念 等对角线四边形 .第（ 1）小题考查同学运用新学问的才能及把握课标规定的双基学问的情形.第（ 2）小题,语言精练 、 构思精致, 涉及的学问点不多,但思维含量及高.着重考查同学观看力.分析 才能.规律推理才能.好多考生面对此题,如同“昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天际路”. 解决此题, 可就其特别情形入手,即当此等对角线四边形为梯形时先争论,不难想到等对角线梯形问题常添帮助线为平移对角线至过角的顶点,从而使特别情形时问题获证；对于一般情形,就可类比特别情形的方法,使问题得到解决.五

18、.以特别位置关系为契机进行“新定义”例 5 （ 2005年资阳市中考数学试题）阅读以下短文,然后解决以下问题：假如一个三角形和一个矩形满意条件：三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,就称这样的矩形为三角形的“友好矩形 ” 如. 图 12 所示,矩形 abef 即为 abc 的“友好矩形 ”.明显,当 abc 为钝角三角形时,其“友好矩形 ”只有一个.(1) 仿照以上表达,说明什么为一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图 13,如 abc 为直角三角形,且c=90 °,在图 13 中画出 abc 的全部“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小；精

19、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图 12图 13图 14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 如 abc 为锐角三角形, 且 bc>ac>ab,在图 14 中画出 abc 的全部“友好矩形” , 指出其中周长最小的矩形并加以证明.解：1 假如一个三角形和一个平行四边形满意条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合, 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,就称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2 个友好矩形,如图的矩形bcad .abef .易知,矩形bcad .abef 的面积都等于abc 面积的 2 倍, abc 的“友好矩形”的面积相等 .(3) 此时共有3 个友好矩形,如图的矩形bcde . cafg 及 abhk ,其中的矩形abhk的周长最小.证明：易知,这三个矩形的面积相等,令其为s. 设矩形 bcde .cafg 及 abhk 的周长分别为l1,l2,l3 , abc 的边长 bc=a