常用的一些矢量运算公式

1、常用的一些矢量运算公式1.三重标量积rrrrrr如 a ， b 和 c 是三个矢量，组合ab ? c叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中， 设坐标轴向的三个单位矢量标记为r rrrrri, j , k，令三个矢量的分量记为a a1, a2 , a3 , bb1,b2 ,b3及 cc1, c2 ,c3则有rr rc1c2c3r rri jkrrra b ? c a1a2 a3 ? c1 i c2 j c3 ka1a2 a3bb12 b3b1b2b3rrrr rrrrr因此，三重标量积必有如下关系式：a b ? c b c ? a c a ? b

2、即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。2.三重矢量积rrrrrr如 a ， b 和 c 是三个矢量，组合abc叫做他们的三重标量积，因有rrrrrrrrra(b c)a(cb)(cb)a故有中心法则成立， 这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有rrrrr rrr ra (b c)(a ?b)c a ?c b（ 1-209）一个重要的性质（证略）:rrrrr rrr r将矢量作重新排列又有：a b ? c b a cb ? a c（ 1-210 ）ra）3.算子（r是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a）则是一个标量算子，将它作用于标量

3、，即rrrr(a )是在aa倍。如以无穷小的位置矢量dra，则r方向的变化速率的代替以上矢量)rrd(dr是d rd r在位移方向的变化率的倍，即。dr)r(drdrrrrrrrr若将(dr )v(dr)vvdr变化率的d r倍，既为速度矢量作用于矢量，则就是再位移方向dvrvdr的全微分应用三重矢量积公式（1-209）rrruuruurrrrrr rrrra ba b0a0 b(b)a (a)b b( ? a) a( ?b)应用三重矢量积公式（1-210）又有r rrrruurrrrrrrrra ?ba0 ? ba ?b0a (b) (a )b b (a) ( ?b) a将以上两式结合（相减

4、）后可得rr1rrrrr(rr(rrrrr(a)b2a ? babba)ab)b(? a)a(?b)rrrrrrr1rrv2a b vv v 0(v )vv (v)一个重要的特例，令，因则有24.算子的应用rrr令是标量，aa; b是矢量，为并矢量，则有rrrrr(a )( 0 a)( a0 )r( ? a) a ?()rrrr( a)r( a0 )( 0 a)a(a)(rrra)? a)2 arrrrruur uuruurr(a; b)( a0 ;b0 )( a0 ; b)b(?a)(a)b在直角坐标中，令rrrraiaxja ykazrrrixjkzyraxayaz?axyzrr r i

5、jkraxyzaxay az2222?()x2y2z2raaxxay yazzur对一组正交曲线坐标系(1,2,3 ) ，其单位矢量 (e1 ,e2 , e3 ) ，将任意位置矢量R 变分写为urh2d 2e2h3d 3e3R h1d 1e1urrrr其中 h1 , h2 , h3为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，Rdxidx jdxk ，所以uruururh1h2 h31。 在 柱 坐 标 (r , z)中 ， 因Rdrerrdedzez ， 所 以uruuruurh1h31,h2r(r , ,)R drerrd er sin e。在球坐标中 ， 因， 所 以h1 1,h2r ,h3r

6、 sin。ruruurur在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量aa1e1a2 e2a3 e3 ，则有e1e2e3h11h22h33r1( h2 h3a1 )(h3 h1a2 )(h2 h3 a1 )?ah1h2h3133h1e1h2e2 h3e3r 1ah1h2 h3123h1a1h2 a2h3a3单位矢量的旋度和散度为ure2h1e3h1 (1,2,3轮换 )e1h1h33h1h22ur1(h2h3 )?e1(1,2,3轮换 )h1h2 h3121( h2 h3)( h3h1)( h1 h2)h1 h2 h31h112h223h33123rrnan(n , n, n )作用于矢量为方向梯度

7、r rra2 (nh1nh2 )a3 (nh1nh3 )n a e n a11h1 h212h3h1132131ra3 (n2h2h2 )a3 (n2h2h3 )e1 n a2n3n1h2h332h3h112ra1 ( n3h3h1 )a2 (n3h3h2 )e3 n a3n1n2h3h113h2 h323笛卡尔量1.求和约定 .克罗尼克尔符号 .轮转符号以 x1 (i1,2,3) 表示笛卡尔直角坐标系的坐标，i1 (i1,2,3) 表示三个坐标轴方向单位矢量。( x1 , x2 , x3 )dx1dx1dx2dx3dxi令，定义求和约定的写法为x2x3xi式中重复dxjdxi下标称为哑指标，

8、 表示求和约定。 哑指标字母可以任意更换，xj和xi 具有相同的效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。0,ij克罗克尼尔（ Kroneker ）符号定义为ij1,ijr urxiij , ij3, ij xix ji1 ?i2ij ,在笛卡尔直角坐标系中，有xj100rI010单位矩阵也可以表示为111213212223( ij )0013132330,当 i , j, k中有两个相同时轮转符号定义为ijk1,当 i , j , k为1,2,3顺序轮转排列时-1,当 i, j , k为非 1,2,3轮转顺序排列时例如 1232313121, 1323212131。采用轮

9、转符号ijk 可使运算的书写简化，如rri1i2i3aba1a2a3ijk aj bkiib1b2b3或rr(ab)iijka jbkiii1i2i3vx1ijk (vk )iix2 x3xjv1v2 v3或(v) iijk(vk)x j2.笛卡尔量定义在直角坐标系中量称为笛卡尔量，而量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量， 标量亦称为零阶量。 如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成， 在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，uur uur uur矢量亦称为一阶量。若有一个量（如应力）在任一点处有三个矢量分量p1, p2,

10、 p3 即这个量具有九个分量。这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9 个分量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则这个量称为二阶量，常简称为量。在三维空间中被称为零阶量，一阶量，二阶量等等，是因为它们分别有30 ,31,32个分量，而称之为零阶，一阶，二阶量，并可由此类推到n 阶量。r uururuurur uuruuri1 p1i 2 p2i3 p3rururp1i1 p11i2 p12i3 p13笛卡尔二阶量所确定的三个矢量的分解式为uurrururp2i1 p21i2 p22i 3 p23uurrururp3i1 p31i2 p32i3 p33p11 p12 p1

11、3则量可用 9 个量元素来定义，可写成如下的矩阵形式p21 p22 p23p31 p32 p33或写成量的九项式：iii jpij , i , j 1,2,3如 p11p12p131, pij0(ij ) ，则为单位量如果两分两满足条件pijp ji，则这个量叫对称量。如果两分两满足条件pijp ji，则这个量叫反对称量。 若将量的分量 pij 与 p ji互易位置后的量， 则称该量的共轭量， 并以cp11 p21 p31表示：cp12 p22 p32p13 p23 p333.并失r rr rab写 成a;b为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失。 令rrururr rurura i1a1i

12、 2a2i 3a3 , b i1b1i 2b2i3b3 ， 则 并 失 亦 有 9 个 分 量 ， 写 成 矩 阵 形 式 为a1b1 a1b2 a1b3r rr rr r r rab a; b a2b1a2b2a2b3，并失为二阶量。必须注意，并失a; bb; aa3b1a3b2 a3b3与是不同的b1a1b1 a2b1a3r rr rr rb; a b2a1b2a2b2a3b; aa; bb3a1b3a2b3a3，由此可见是并失的共轭量。a1a2a3x1x1x1rra1a2a3grad a; ax2x2x2矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶量：a1a2a3x3x3x3da1a1 dx1a

13、1dx2rrx1x2, x )daa2 dxa2dxa(r )a( x , x考虑矢量1 23 的无穷小增量，因2x11x22da3a3 dx1a3dx2x1x2a1a2a3rx1x1x1rrd aa1a2a3da / d rrx2x2x2故为具有九个分量的二阶量dra1a2a3rx3x3x3rr r因可将da表示为量d a / d r与矢量d rrrrrrrd a rd ar? d rd r ? grad ad r (; a)d rrrrrrrrd a d r ? ( ; a) (d r); a ( dr)a应用并失运算法则又有rr(r )dd r ? gradd r ?对标量函数类似的有并

14、失运算服从如下四个运算法则a1 dx3x3a2 dx3a3 dx3x3的点乘，a;b;c(a; b); ca;( b; c)（1）结合律法则连续的并失积可以任何方式加上括号而不改变结果。r rr rr ra; b( a);b(a; b)在并失运算中可以提到任何一个位置。（2）标量率法则标量（ 3）缩并率法则 两个矢量点乘为一个标量， 一个并失（量）与一个矢量点乘则为一个矢量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，(a;b) ?ca;( b ? c)(b ? c)a可知并失与矢量的点乘后为一矢量：如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并失( a; b)

15、 ?( c; d)a;( b ?c); d(b? c)( a; d)a;( bc)a;ba;c（4）分配律法则4.量的梯度，散度和格林定理零阶量（标量）的梯度是矢量，一阶量（矢量）的梯度是二阶量，一次类推，二阶量的梯度必为三阶量。Aij Aji ( x1, x2, x3 )AijAAxk设 A 是二阶量，其分量，定义xkij ,k 表示ij对求偏导数。ur, k1,2,3grad Axk梯度符号是一矢量算子，x1 x2x3故量 A 的梯度gradAAAijAij ,k33可写为k量 A 的梯度具有27 个分量的量，即个分量，属于i, j 1,2,3, k1,2,3三阶量。一阶量（矢量）的散度是一个标量，二阶量的散度将是一个矢量。散度的定义为divA? AAijA11A21A31,A12A22A32,A13A23A33x1x2x3x1x2x3x1x2x3k在正交坐标系( 1 ,2, 3)中，拉美系数为h1 ,h2 , h3时，二阶量的散度和变形率量分量Dij的公式为Aij3232divA? A1h1 h2h3A1 kAkkln hk ?1h1h2 h3 A1kAkkln hik 1 h1h2 h3khk1k 1 h1h2h3khk2D12h2( v2 )h1( v1 )h11h2h22h