2012高考福建文科数学试题及答案(高清版)

1、2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(福建卷)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分理科：第卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分第卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数(2i)2等于()a34i b54i c32i d52i2已知集合m1,2,3,4，n2,2，下列结论成立的是()anm bmnmcmnn dmn23已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()a bx1c

2、x5 dx04一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()a球 b三棱锥c正方体 d圆柱5已知双曲线的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()a b c d6阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()a3 b10 c0 d27直线xy20与圆x2y24相交于a，b两点，则弦ab的长度等于()a b c d18函数f(x)sin(x)的图象的一条对称轴是 ()a b c d9设 则f(g()的值为()a1 b0 c1 d10若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()a b1 c d211数列an的通项公式，其前n项和为sn，

3、则s2 012等于()a1 006 b2 012 c503 d012(文)已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0其中正确结论的序号是()a b c d第卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡的相应位置13在abc中，已知bac60°，abc45°，则ac_14一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动

4、员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_15已知关于x的不等式x2ax2a0在r上恒成立，则实数a的取值范围是_16某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(文科)本大题

5、共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在等差数列an和等比数列bn中，a1b11，b48，an的前10项和s1055(1)求an和bn；(2)现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率18某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程，其中b20，；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从()中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售

6、收入成本)19如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m为棱dd1上的一点(1)求三棱锥amcc1的体积；(2)当a1mmc取得最小值时，求证：b1m平面mac20某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°cos217°sin13°cos17°；sin215°cos215°sin15°cos15°；sin218°cos212°sin18°cos12°；sin2(18°)cos248°sin(18&

7、#176;)cos48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论21如图，等边三角形oab的边长为，且其三个顶点均在抛物线e：x22py(p0)上(1)求抛物线e的方程；(2)设动直线l与抛物线e相切于点p，与直线y1相交于点q证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点22已知函数f(x)axsinx(ar)，且在0，上的最大值为(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，)内的零点个数，并加

8、以证明1 a(2i)244ii244i134i2 dm1,2,3,4，n2,2，mn23 da(x1,2)，b(2,1)，ab，a·b(x1，2)·(2,1)2(x1)2×12x0，即x04 d圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，这个几何体不可以是圆柱5 c由双曲线的右焦点为(3,0)知c3，即c29，又c2a2b2，9a25，即a24，a2故所求离心率6 a(1)k1,14，s2×111；(2)k2,24，s2×120；(3)k3,34，s2×033；(4)k4，输出s37 b圆心o到直线ab的距离，所以8 c函数f(x)sin(x)

9、的图象的对称轴是xk，kz，即xk，kz当k1时x故选c9bg()0，f(g()f(0)010 b由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线xm经过函数y2x的图象与直线xy30的交点p时取得最大值，即得2x3x，即x1m11 a函数的周期，可分四组求和：a1a5a2 0090，a2a6a2 010262 010503×1 006，a3a7a2 0110，a4a8a2 012482 012503×1 008故s2 0120503×1 0060503×1 008503×(1 0061 008)1 00612 c设g(x)x36x29x0，则x

10、10，x2x33，其图象如下图：要使f(x)=x36x2+9xabc有3个零点，需将g(x)的图象向下平移，如图所示：又f(x)=3x212x+9=0时，x1=1，x2=3，即得f(1)是极大值，f(3)是极小值故由图象可知f(0)·f(1)0，f(0)·f(3)013答案：解析：如图：由正弦定理得，即，即，故14答案：12解析：，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为985642(人)，应抽取女运动员人数为42×12(人)15答案：(0,8)解析：x2ax2a0在r上恒成立，(a)24·2a0，即a28a0,0a8故a的取值范围是(0,8)16答案：16

11、解析：由题意知，各城市相互到达，且费用最少为12233516fggdaeefgcbc17解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q依题意得s1010d55，b4q38，解得d1，q2，所以ann，bn2n1(2)分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)故所求的概率18解：(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5，(y1y2y3y4y5y6)80，所以ab8020×8.5250，从而回归直线方程为20x25

12、0(2)设工厂获得的利润为l元，依题意得lx(20x250)4(20x250)20x2330x1 00020(x)2361.25，当且仅当x8.25时，l取得最大值故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润19解：(1)由长方体abcd­a1b1c1d1知，ad平面cdd1c1，故点a到平面cdd1c1的距离等于ad1又，(2)将侧面cdd1c1绕dd1逆时针转90°展开，与侧面add1a1共面(如图)，当a1，m，c共线时，a1m+mc取得最小值由ad=cd=1，aa1=2，得m为dd1中点连结c1m，在c1mc中，cc1=2，cc12=mc12+mc2，得cmc1=9

13、0°，即cmmc1又由长方体abcda1b1c1d1知，b1c1平面cdd1c1，b1c1cm又b1c1c1m=c1，cm平面b1c1m，得cmb1m同理可证，b1mam，又ammc=m，b1m平面mac20(理17，文20)解：方法一：(1)选择式，计算如下：sin215°cos215°sin15°cos15°1sin30°(2)三角恒等式为sin2cos2(30°)sin·cos(30°)证明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin2(cos30°co

14、ssin30°sin)2sin·(cos30°cossin30°sin)sin2cos2sincossin2sin·cossin2sin2cos2方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30°)sin·cos(30°)证明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin(cos30°cossin30°sin)cos2(cos60°·cos2sin60°sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1

15、cos2)21解：方法一：(1)依题意，boy30°设b(x，y)，则x|ob|sin30°，y|ob|·cos 30°12因为点b(，12)在x22py上，所以()22p×12，解得p2故抛物线e的方程为x24y(2)由(1)知，设p(x0，y0)，则x00，且直线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx02由得所以q(，1)设m(0，y1)，令对满足(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，(，1y1)，由，得y0y0y1y1y120，即(y12y12)(1y1)y00(*)由于(*)式对满足(x00)的y0恒成立，所以解得y

16、11故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1)方法二：(1)同方法一(2)由(1)知，设p(x0，y0)，则x00，且直线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx02由得所以q(，1)取x02，此时p(2,1)，q(0，1)，以pq为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点m1(0,1)或m2(0，1)；取x01，此时p(1，)，q(，1)，以pq为直径的圆为(x)2(y)2，交y轴于m3(0,1)或m4(0，)故若满足条件的点m存在，只能是m(0,1)以下证明点m(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，(，2)，2y022y022y020故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m22解

17、：(1)由已知得f(x)a(sinxxcosx)，对于任意x(0，)，有sinxxcosx0当a0时，不合题意；当a0，x(0，)时，f(x)0，从而f(x)在(0，)内单调递减，又f(x)在0，上的图象是连续不断的，故f(x)在0，上的最大值为，不合题意；当a0，x(0，)时，f(x)0，从而f(x)在(0，)内单调递增，又f(x)在0，上的图象是连续不断的，故f(x)在0，上的最大值为，即，解得a1综上所述，得f(x)xsinx(2)f(x)在(0，)内有且只有两个零点证明如下：由(1)知，f(x)xsinx，从而有f(0)0，又f(x)在0，上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，)内至少存在一个零点又由(1)知f(x)在0，上单调递增，故f(x)在(0，)内有且仅有一个零点当x，时，令g(x)f(x)sinxxcosx由g()10，g()0，