小学阶段奥数知识点总结(33大类)

1、小学阶段奥数知识点总结（共计33 大类）一、年龄问题的三大特征二、归一问题特点三、植树问题总结四、鸡兔同笼问题五、盈亏问题六、牛吃草问题七、平均数问题八、周期循环数九、抽屉原理十、定义新运算十一、数列求和十二、二进制及其应用十三、加法原理十四、质数与合数十五、约数与倍数十六、数的整除十七、余数及其应用十八、余数问题十九、分数与百分数的应用二十、分数大小的比较二十一、完全平方数二十二、比和比例二十三、综合行程问题二十四、工程问题二十五、逻辑推理问题二十六、几何面积二十七、时钟问题快慢表问题二十八、时钟问题钟面追及二十九、浓度与配比三十、经济问题三十一、简单方程三十二、不定方程三十三、循环小数一、

2、年龄问题的三大特征年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住 年龄差 是个不变的数（常数），而 倍数却是每年都在变化的这个关键。例：父亲今年 54 岁，儿子今年 18 岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？ 父子年龄的差是多少？54 18 = 36 （岁） 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？7-1=6 几年前儿子多少岁？36÷6 = 6 （岁） 几年前父亲年龄是儿子年龄的7 倍？18 6=12( 年)答： 1

3、2 年前父亲的年龄是儿子年龄的7 倍。二、归一问题特点归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度” 等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值， 再根据题中 “照这样计算”

4、、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。例 1 一种钢轨， 4 根共重 1900 千克，现在有 95000 千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）分析：以一根钢轨的重量为单一量。（ 1）一根钢轨重多少千克？1900 ÷4475 （千克）。（2）95000 千克能制造多少根钢轨？95000 ÷475 200 （根）。解： 95000 ÷（1900 ÷4） 200 （根）。答：可以制造 200 根钢轨。例 2 王家养了 5 头奶牛，7 天产牛奶 630 千克，照这样计算， 8 头奶牛 15 天可产牛奶多少千

5、克？分析：以 1 头奶牛 1 天产的牛奶为单一量。（1）1 头奶牛 1 天产奶多少千克？630 ÷5÷7 18（千克）。（2）8 头奶牛 15 天可产牛奶多少千克？18 ×8 ×15 2160 （千克）。解：（ 630 ÷5 ÷7 ）×8 ×15=2160 （千克）。答：可产牛奶 2160 千克。例 3 三台同样的磨面机 2.5 时可以磨面粉 2400 千克， 8 台这样的磨面机磨 25600 千克面粉需要多少时间？分析与解：以 1 台磨面机 1 时磨的面粉为单一量。（ 1）1 台磨面机 1 时磨面粉多少千克？24

6、00 ÷3÷2.5=320 （千克）。（2）8 台磨面机磨 25600 千克面粉需要多少小时？25600 ÷320 ÷8=10 （时）。综合列式为25600 ÷（2400 ÷3÷2.5 ）÷8=10 （时）。例 4 4 辆大卡车运沙土， 7 趟共运走沙土 336 吨。现在有沙土 420 吨，要求 5 趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？分析与解：以 1 辆卡车 1 趟运的沙土为单一量。（ 1）1 辆卡车 1 趟运沙土多少吨？336 ÷4÷7=12 （吨）。（2）5 趟运走 420 吨沙土需卡车

7、多少辆？420 ÷12 ÷57（辆）。（3）需要增加多少辆卡车？7-4 3（辆）。综合列式为420 ÷（336 ÷4÷7）÷5-4 3（辆）。与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。例 5 一项工程， 8 个人工作 15 时可以完成，如果 12 个人工作，那么多少小时可以完成？分析：（ 1）工程总量相当于 1 个人工作多少小时？15 ×8 120 （时）。（2）12 个人完成这项工程需要多少小时？120 &

8、#247;12 10 （时）。解： 15 ×8 ÷12 10（时）。答： 12 人需 10 时完成。例 6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米， 5 时到达。若要 4 时到达，则每小时需要多行多少千米？分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？60 ×5=300 （千米）。（2）4 时到达，每小时需要行多少千米？300 ÷475 （千米）。（3）每小时多行多少千米？75 6015 （千米）。解：（ 60 ×5 ）÷4 6015 （千米）。答：每小时需要多行15 千米。例 7 修一条公

9、路，原计划 60 人工作， 80 天完成。现在工作 20 天后，又增加了 30 人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？分析：（ 1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？60 ×80 4800 （劳动日）。（2）60 人工作 20 天后，还剩下多少劳动日？4800-60 ×20=3600 （劳动日）。（3）剩下的工程增加30 人后还需多少天完成？3600 ÷（60 30 ）=40 （天）。解：（ 60 ×80-60 ×20 ）÷（60 30 ） 40 （天）。答：再用 40 天可以完成。三、植树问题总结植树问题基本类型：在直线或者不封

10、闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式：棵数= 段数 1棵距×段数 = 总长棵数= 段数 1棵距×段数 = 总长棵数= 段数棵距×段数 = 总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系1.红领巾公园一条长 200 距离栽种了 39 株月季花米的甬道两端各有一株桃树,每两株月季花相隔,现在两棵桃树之间等米.此题与题 4 类型相同 ,所求不同 .已知全长 200 米,棵数 39 株,求间隔长 .列式是:200 ÷(39+1)=200 ÷40=5(

11、米)答:每两棵月季花相隔5 米.2.学校召开运动会前 ,在 100 米直跑道外侧每隔10 米插一面彩旗 ,在跑道的一端原有一面彩旗还需备面彩旗 ?此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的一端要植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:棵数 = 全长÷间隔长全长 = 间隔长×棵数间隔长 = 全长÷棵数只要知道其中两个 ,就可以求出第三个量 .100 米是全长 ,10 米是间隔长 ,求棵树.列式是 :100 ÷10=10( 面)答:还需准备 10 面彩旗 .3.在一条长 50 米的跑道两旁 ,从头到尾每隔 5 米插一面彩旗 ,一共插面彩旗

12、?此题也属于植树问题中植树线路不封闭的,并要求植树线路的两端都要植树.与题 1 类似 ,但又要求在线路的两旁,而不再是一侧 .解法一 :50 ÷5+1=10+1=11(面) 先求出一侧的 ,再求两旁 .11 ×2=22( 面)答:一共要插 22 面彩旗 .解法二 :把线路两旁转化成一侧在转化成一侧时 ,有两棵重叠了答:一共要插 22 面彩旗 .50 ×2=100( ,所以还需加米),100 ÷5+1=20+1=21(1.21+1=22(面)面).4.街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12 米栽一棵海棠树 ,共用树苗 25 棵,这条甬

13、路长米?此题与题 7 类型相同 ,所求不同 .已知间隔长 12 米,棵数是 25 棵,求全长 . 列式是 :12 ×25=300( 米)答:这条甬路长 300 米.5. 街心公园一条甬道长 200 米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉 ,共栽种美人蕉 82 棵,每两棵美人蕉相距米.此题与题 8 类型相同 ,所求不同 .解法一 :82 棵是甬道两旁的 ,先求出一旁栽的棵数.82÷2=41( 棵),再求间隔长 .200 ÷(41-1)=200÷40=5( 米)答 :每两棵美人蕉相距5 米.解法二 :可以把两旁转成一侧人蕉重叠,所以共植82-1=81(80

14、=5( 米)答 :每两棵美人蕉相距5 米.200 ×2=400( 米 ),转化成一侧后两棵美棵 ), 再 求 间 隔 长 ,400 ÷(81-1)=400÷6.有一条长1250 米的公路 ,在公路的一侧从头到尾每隔25 米栽一棵杨树 ,园林部门需运来棵杨树苗 ?此题是植树问题中植树线路不是封闭的一种树.那么全长、棵数、间隔三量之间的关系是棵数 = 全长÷间隔长 +1全长 = 间隔长×(棵数 -1)间隔长 = 全长÷(棵数 -1)只要知道其中两个 ,就可求出第三个量 .1250式是 :1250 ÷25+1=50+1=51(棵)

15、.答:需运来 51 棵树苗 .,并要求植树线路的两端都要植:是全长 ,25 是间隔长求棵数 ,列7.在一条绿荫大道的一侧从头到尾每隔15 米坚一根电线杆 ,共用电线杆 86根,这条绿荫大道全长米.此题与题 1 类型相同 ,所求不同 .15 是间隔长 ,86 是棵数 ,求全长 .列式是 :15 ×(86-1)=15 ×85=1275( 米)答: 这条绿荫大道全长1275 米.8.红领巾公园内一条林荫大道全长800 米,在它的一侧从头到尾等距离地放着 41 个垃圾桶 ,每两个垃圾桶之间相距米.已知全长 800 米,棵数是 41 个,求间隔长 .列式是 :800 ÷(4

16、1-1)=800÷40=20( 米)答:每两个垃圾桶相距20 米.9.在一条长 2500 米的公路一侧架设电线杆,每隔 50 米架设一根 ,若公路两端都不架设 ,共需电线杆根.此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的两端都不植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:棵数 = 全长÷间隔长 -1全长 = 间隔长×(棵数 +1)间隔长 = 全长÷(棵数 +1)只要知道其中两个 ,就可以求出第三个量 .2500 米是全长 ,50 米是间隔长 ,求棵数 .列式是 :2500 ÷50-1=50-1=49(答:共需电线杆是 49 根.根)

17、10. 在一条公路上每隔 16 米架设一根电线杆 ,不算路的两端共用电线杆 54根,这条公路全长米.此题与题 4 类型相同 ,所求不同 .已知间隔长 16 米,又知棵数 54 根,求全长 . 列式是 :16 ×(54+1)=16 ×55=880( 米)答:这条公路全长 880 米.11. 一个圆形养鱼池全长 200 米,现在水池周围种上杨树 25 棵,隔几米种一棵才能都种上 ?此题类型与题 11 相同 ,所求不同 .已知全长 200 米,棵数 25 棵,求间隔长 .列式是:200 ÷25=8( 米)答:隔 8 米种一棵才能都种上 .12. 明明要爷爷出一道趣味题

18、,爷爷给他念了一个顺口溜 :湖边春色分外娇 ,一株杏树一株桃 ,平湖周围三千米 ,六米一株都栽到 ,漫步湖畔美景色 ,可知桃杏各多少 ?由顺口溜可知 ,植树线路是封闭的 ,所以棵数与间隔数相等 .共栽桃树杏树 3000 ÷6=500( 棵).由于“一株杏树一株桃” ,所以桃、杏的棵数相等 ,都是500 ÷2=250( 棵 ).答:桃树、杏树各 250 棵.13. 一个圆形池塘 ,它的周长是 300 米,每隔 5 米栽种一棵柳树 ,需要树苗多少株?此题是植树问题中植树线路是封闭的一种 .在圆、正方形、长方形、闭全曲线等上面植树 ,因为首尾相接 ,两端重合在一起 .所以全长、间

19、隔长、棵数三量之间的关系是 :棵数 = 全长÷间隔长全长 = 间隔长×棵数间隔长 = 全长÷棵数只要知道其中两个 ,就能求出第三个量 .已知全长 300 米,间隔长 5 米,求棵数 .列式是 :300 ÷5=60( 株)答 :需要树苗 60 株.14. 一个圆形水池周围每隔 2 米栽一棵杨树 ,共栽了 40 棵,水池的周长是多少米?此题与题 11 类型相同 ,所求不同 .已知间隔长 2 米,又知棵数 40 棵,求全长 . 列式是 :2×40=80( 米)答:水池的周长是 80 米.四、鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题

20、、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数×总头数总脚数）÷（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。例 1 小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设 16 只都是鸡，那么

21、就应该有 2×1632 （只）脚，但实际上有 44 只脚，比假设的情况多了 44-32 12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了 2 只。因此只要算出 12 里面有几个 2，就可以求出兔的只数。解：有兔（ 44-2 ×16 ）÷（4-2 ）=6 （只），有鸡 16-6 10 （只）。答：有 6 只兔， 10 只鸡。当然，我们也可以假设 16 只都是兔子，那么就应该有 4×16 64（只）脚，但实际上有 44 只脚，比假设的情况少了 64 44 20 （只）脚，这是因为把

22、鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了 4-2 2 （只）。因此只要算出 20 里面有几个 2，就可以求出鸡的只数。有鸡（ 4×16-44 ）÷（4-2 ）=10 （只），有兔 16 10 6（只）。由例 1 看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。1、100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚各有多少人？分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，

23、那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设 100 人全是大和尚，那么共需馍300 个，比实际多 300 140 160 （个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 3 12 （个），因为 160 ÷2 80 ，故小和尚有 80 人，大和尚有100 80 20 （人）。同样，也可以假设 100 人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。2、 彩色文化用品每套19 元，普通文化用品每套11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套？分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有 1 个头 11 只脚

24、，一种“怪兔”有 1 个头 19 只脚，它们共有 16 个头， 280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了 16 套彩色文化用品，则共需19 ×16 304 （元），比实际多304 280 24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用 19 11 8（元），所以买普通文化用品24 ÷8=3 （套），买彩色文化用品16 3 13 （套）。例 2 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 200 只，而实际上只多 2

25、0 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200 20=180 （只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 4 26（只），而 180 ÷6 30 ，因此有兔子 30 只，鸡 100 30 70 （只）。解：有兔（ 2×100 20 ）÷（2 4） 30 （只），有鸡 100 30=70 （只）。答：有鸡 70 只，兔 30 只。1、现有大、小油瓶共50 个，每个大瓶可装油4 千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20 千克。问：大、小瓶各有多少个？分析：本题与例4 非常类似，仿照例4 的解法即可

26、。解：小瓶有（ 4×50-20 ）÷（42） 30 （个），大瓶有 50-30 20 （个）。答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。2、一批钢材，用小卡车装载要45 辆，用大卡车装载只要36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法， 假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材， 因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，所以要剩下 4 ×36=144 （吨）。根据条件，要装完这 144 吨钢材还需要 45-36=9 （辆）小卡车。这样每辆小卡车能装 144 ÷

27、;916 （吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解： 4×36 ÷（45-36 ）×45 720 （吨）。答：这批钢材有720 吨。例 3 乐乐百货商店委托搬运站运送500 只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5 元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 0.24 ×500=120 （元）。实际上只得到 115.5 元，少得 120-115.5=4.5 （元）。搬运站每打破一只花瓶要损失 0.24

28、 1.26 1.5 （元）。因此共打破花瓶 4.5 ÷1.5 3（只）。解：（ 0.24 ×500 115.5）÷（0.241.26） 3（只）。答：共打破3 只花瓶。1、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12 ×（2 3） 60 （下）。可求出小乐每分钟跳（780 60 ）÷（2 33） 90 （下），小乐一共跳了 90 ×3=270

29、 （下），因此小喜比小乐共多跳780 270 ×2240 （下）。五、盈亏问题盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）÷两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大

30、不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。（ 1）幼儿园老师给每个小朋友分饼干， 每个小朋友 5 块饼干，就多 22 快；每个小朋友分 7 块饼干，就少 18 块。问：有几个小朋友和多少块饼干？本类题是两次分配方案中一盈一亏的盈亏问题,解题的基本方法是 :份数 = （盈 + 亏）÷两次分配差；由题意可知 :小朋友的人数和饼干的块数是不变的,按第一种方案 ,分配多22块 ,而按第二种方案分配就少18块,两种子选手不同的方案的结果相差22+18=40(块 ), 为什么会多分出40块呢 ?是因为两种方案,每人相差7

31、-5=2( 块),每人相差 2 块,多少人相差 40 块呢 ?40÷2=20( 人)就是小朋友的人数 .再根据关系式 (2) 可以求出饼干的总数量 .解:( 22+18)÷(7-5)=20( 人)20 ×5+22=122(块)或 20×7-18=122(块)（ 2）四（1 ）班同学植树， 每人植 12 棵，刚好植完，每人植 14 棵差 8 棵。有多少个同学？多少棵树苗？8÷（14-12 ）=4 （人）12 ×4=48 （棵）(3) 雷锋小组为学校搬砖。 如果每人搬 18 块，还剩 2 块；如果每人搬 20 块，就有一位同学没砖可搬。问

32、共有多少块砖？（20+2 ）÷(20-18)=11(11-1)*20=200（二）两次都有余（盈），可用公式：（大盈 - 小盈）÷（两次分配数的差） = 份数。（4）四（1 ）班将一批练习本奖给三好学生。如果每人奖5 本，则缺 9 本，如果每人奖 3 本，则缺 1 本。这个班有三好学生多少人？练习本有多少本？本类题是两次分配分配中都亏的盈亏问题,解题的基本方法是 :份数 = （大亏 - 小亏）÷两次分配差；由题意可知 ,三好学生人数和练习本数是不变的.比较两种分配方案 ,结果相差 9-1=8( 本),这是因为两次分配方案每人得到的练习本相差5-3=2( 本).所以

33、三好学生人数为 :8 ÷2=4( 人),练习本有:5 ×4-9=11(本 ) 解 :(9-1)÷(5-3)= 8 ÷2=4( 人)5 ×4-9=11( 本)或 3×4-9=1=11(本)（三）两次都不够（亏），可用公式：（大亏 - 小亏）÷（两次每人分配数的差）= 人数。（5 ）某班为男生分配宿舍，如果每间住 6 人，则多 8 人；如果每间住 8 人，恰好合适。问：有几间宿舍，男生有几人？本类题是两次分配方案中一种盈 ,一种正好分完的盈亏问题 ,解题的基本方法是份数 = 盈÷两次分配差；由题意可知 :宿舍的间数和男

34、生人数不变 .按第一种分配方案分配多出 8 人,而按第二种分配方案的结果相差 8 人,每间房增加的人数为 8-6=2( 人).因此 , 可以先求出房间数 ,再求出男生人数 .解:8÷（8-6)=8 ÷4=2( 人)6 ×4+8=32( 人 )或 8×4=32( 人)（ 6 ）兄弟两人每月收入之比为 4：3，支出钱数之比为 18 ：13 ，他们每月都结余 360 元，求兄弟两人月收入分别为多少？分析与解：设兄弟两人支出钱数分别为18x,13x(18x360) : (13x360)4 :3x180兄弟两人月收入分别为3600 元、 2700 元。(7) 某工

35、厂生产一种产品， 只要成本下降 6.4% ， 利润率就会提高 8 个百分点，求原利润率。分析与解：前后售价没变，设一开始利润率为x，则之后利润率变成 ,x 0.08 原成本 100 元，现成本 93.6 元。100(1x)93.6(1.08x)x0.17原利润率为百分之十七。六、牛吃草问题牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“ 1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量 = （较长时间×长时间牛头数 - 较短时间×短时间牛

36、头数）÷（长时间 - 短时间）；总草量 = 较长时间×长时间牛头数 - 较长时间×生长量1、牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。可供 25 头牛吃几天？草速：（ 10 ×20 15 ×10 ）÷(20 10)=5原有草：（ 10 5）×20=100天数： 100 ÷（25 5 ）=52、一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27 头牛吃 6 周，或供23 头牛吃 9 周。那么可供 21 头牛吃几周？草速：（ 23 ×9 27×6）&

37、#247;(9 6)=15原有草：（ 27 15 ）×6=72天数： 72 ÷（21 15 ）=123、一片牧场可供 24 头牛吃 6 周， 20 头牛吃 10 周，这片牧场可供 18 头牛吃几周？草速：（ 20 ×10 24 ×6）÷(10 6)=14原有草：（ 24 14 ）×6=60天数： 60 ÷（18 14 ）=154、有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用抽水机来抽水， 36 分钟可以抽完，如果使用5 架抽水机来抽水，可抽完。现在 12 分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？3 架20 分钟水速

38、：（ 3×36 5×20 ）÷(36 20)=0.5原有水：（ 30.5 ）×36=90架数： 90 ÷12 0.5=85、有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用水机需抽 8 小时；如用 8 台抽水机需抽 12 小时。那么，如果用机，需抽多少小时？10 台抽6 台抽水水速：（ 8×12 10×8）÷(12 8)=4原有水：（ 10 4）×8=48时间： 48 ÷（6 4）=246、有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供 17 可供 19 头牛吃 24 天。现有牛若干头在吃

39、草， 6 天后，杀了的牛吃了 2 天将草吃完。问原来有牛多少头？头牛吃 30 天，4 头牛，余下草速：（ 17 ×30 19 ×24 ）÷(30 24)=9原有草：（ 17 9）×30=240头数： 240 9×(62) 4 ÷（6 2）=377、有 3 个牧场长满草，第一牧场 33 公亩，可供牛 22 头吃 54 天；第二牧场 28 公亩，可供 17 头牛吃 84 天，第三牧场 40 公亩，可供多少头牛吃24 天？（每块地每公亩草量相同且都是匀速生长）8、有一片牧场， 24 头牛 6 天可以将草吃完， 或 21 头牛 8 天可以吃完

40、。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？9、禁毒图片展8 点开门，但很早便有人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个入场口， 8 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口， 8 点 5 分就没有人排队。第一个观众到达时距离 8 点还有多少分钟？七、平均数问题平均数基本公式：平均数 = 总数量÷总份数总数量 = 平均数×总份数总份数 = 总数量÷平均数平均数 = 基准数每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所

41、有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式八、周期循环数周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被 400 整除；九、抽屉原理抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1 ）个

42、物体放在n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体。抽屉原则二：如果把n 个物体放在 m 个抽屉里，其中n>m ，那么必有一个抽屉至少有 : k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点： X 表示不超过 X 的最大整数。例4.35

43、1=4 ；0.321=0 ；2.9999=2 ；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。小升初奥数知识点（定义新运算）定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。小升初奥数知识点（数列求和）数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差

44、数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn, 通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式： an = a1+ （n 1）d ；通项首项（项数一 1) ×公差；数列和公式： sn,= (a1+ an) ×n &#

45、247;2；数列和（首项末项）×项数÷ 2 ；项数公式： n= (an+ a1)÷d 1；项数 = （末项 - 首项）÷公差 1 ；公差公式： d = （an a1 ）÷（n 1 ）；公差 = （末项首项）÷（项数 1 ）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；小升初奥数知识点（二进制及其应用）二进制及其应用十进制：用 09 十个数字表示，逢10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2表示20，百位上的2表示200 。所以234=200+30+4=2×102+3 ×10+4 。=An 

46、5;10n-1+An-110n-5+An-6×10n-7+×10n-2+An-2+A3 ×102+A2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×101+A1 ×100×注意： N0= ； N =N （其中 N 是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示，逢 2 进 1 ；不同数位上的数字表示不同的含义。（ 2 ）= An ×2n-1+An-1 ×2n-2+An-2 ×2n-3+An-3 ×2n-4+An-4 ×2n-5+An-6×2n-7+A3 &#

47、215;22+A2 ×21+A1 ×20注意： An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。小升初奥数知识点（加法原理）加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法 ，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有

48、： m1+ m2. +mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法 不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有： m1 ×m2. ×mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点

49、：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数 1+2+3+ + （点数一 1）；数角规律 =1+2+3+ + （射线数一 1）；数长方形规律：个数 = 长的线段数×宽的线段数：数长方形规律：个数 =1 ×1+2 ×2+3 ×3+ + 行数×列数小升初奥数知识点（质数与合数）质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数

50、。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式： N= ，其中 a1 、a2 、a3 an 都是合数 N 的质因数，且 a1<a2<a3< <an 。求约数个数的公式： P=(r1+1) ×(r2+1) ×(r3+1) × ×(rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是 1 ，这两个数叫做互质数。小升初奥数知识点（约数与倍数）约数与倍数约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。

51、公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数 m ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m 。例如： 12 的约数有 1、2、3、4、6、12 ；18 的约数有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公约数有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是： 6 ，记作（ 12 ，18 ）=6 ；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有： 12 、24 、36 、48 ；18 的倍数