高等数学电子教案

1、第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。 4 1 不定积分的概念与性质一 、教 学 目 的 与 要 求 ：1理解原函数与不定积分的概念及性质。2掌握不定积分的基本公式。二 、重 点 、 难 点 ： 原函数与不定积分的概念三 、主 要 外 语 词 汇 ： at first func

2、tion ， be accumulate function ，indefinite integral ， formulas integrals elementary forms. 四 、辅 助 教 学 情 况 ： 多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版 （ 修 改 ）五 、参 考 教 材 （ 资 料 ） ： 同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版一、原函数与不定积分的概念定义 1如果在区间i 上可导函数f(x)的导函数为f(x)即对任一x i都有f (x) f(x)或 df(x) f(x)dx那么函数f(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 i 上的原函数例如因为 (si

3、n x)cos x所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时因为xx21)(所以x 是x21的原函数提问 : cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 i 上连续那么在区间i 上存在可导函数f(x)使对任一 xi 都有f (x) f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数 f(x)在区间 i 上有原函数f(x)那么 f(x)就有无限多个原函数f(x) c 都是 f(x)的原函数其中 c 是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和 f(x)都是 f(x)的原函数则(x) f(x) c(c 为某个常数

4、 )定义 2 在区间 i 上函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或 f(x)dx )在区间 i 上的不定积分记作dxxf)(其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx 称为被积表达式x 称为积分变量根据定义如果 f(x)是 f(x)在区间 i 上的一个原函数那么 f(x) c 就是 f(x)的不定积分即cxfdxxf)()(因而不定积分dxxf)(可以表示f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数所以cxxdxsincos因为x 是x21的原函数所以cxdxx21例 2. 求函数xxf1)(的不定积分解：当 x0 时(ln x)x1cxd

5、xxln1(x0)当 x0 时ln(x)xx1) 1(1cxdxx)ln(1(x0)解 : 设 x a sin t22t那么22xatataacossin222dxa cos t d t于是tdtatadxxacoscos22cttatdta)2sin4121(cos222因为axtarcsin, axaaxttt222cossin22sin所以dxxa22ctta)2sin4121(2cxaxaxa22221arcsin2解 : 设 x a sin t22t那么tdtatadxxacoscos22cttatdta)2sin4121(cos222cxaxaxa22221arcsin2提示 :2

6、2xatataacossin222dx acos tdt提示 : axtarcsin, axaaxttt222cossin22sin例 20. 求22axdx(a0)解法一设 x a tan t22t那么22axtaa222tanta2tan1a sec tdx a sec 2t d t于是22axdxtdtdttatasecsecsec2 ln |sec t tan t | c因为aaxt22secaxttan所以22axdx ln |sec t tan t | ccaaxax)ln(22122)ln(caxx其中 c 1c ln a解法一设 x a tan t22t那么tdtdttataa

7、xdxsecsecsec222ln|sect tant| ccaaxax)ln(22122)ln(caxx其中 c 1c ln a提示 :22axtaa222tanasectdx a sec 2t dt提示 :aaxt22secaxttan解法二 : 设 x a sh t那么22axdxcaxctdtdttataarshch ch caxax1)(ln2122)ln(caxx其中 c 1c ln a提示 : 22ax222atshaa ch tdxa ch t d t例 23. 求22axdx(a0)解 : 当 xa 时设 x a sec t (20t)那么22ax222secata1sec2

8、taa tan t于是22axdxtdtdttattasectantansec ln |sec t tan t | c因为aaxt22tanaxtsec所以22axdx ln |sec t tan t | ccaaxax|ln22122)ln(caxx其中 c 1c ln a当 xa 于是22axdxcauuaudu)ln(2222caxx)ln(22122)ln(caxx122222)ln(lncaxxcaaxx其中 c 1c 2ln a综合起来有22axdxcaxx|ln22解 : 当 xa 时设 x a sec t (20t)那么22axdxtdtdttattasectantansecc

9、aaxaxctt)ln(|tansec|ln22caxx)ln(22其中 c 1c ln a当 xa于是22axdxcauuaudu)ln(2222caaxxcaxx22222ln)ln(122)ln(caxx其中 c 1c 2ln a提示 :22ax222secata1sec2taatant提示 :aaxt22tanaxtsec综合起来有caxxaxdx|ln2222补充公式(16)cxxdx|cos|lntancxxdx|sin|lncot(18)cxxxdx|tansec|lnsec(19)cxxxdx|cotcsc|lncsc(20)caxadxxaarctan1122(21)caxa

10、xadxax|ln21122(22)caxdxxaarcsin122(23)caxxaxdx)ln(2222(24)caxxaxdx|ln2222 4 3 分部积分法一 、教 学 目 的 与 要 求 ：掌 握 分 部 积 分 公 式 ， 并 会 灵 活 运 用 。二 、重 点 、 难 点 : 用 分 部 积 分 公 式 时 的u 和 dv 的 选 取三 、主 要 外 语 词 汇 :divide a department integral四 、辅 助 教 学 情 况 ： 多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版 （ 修 改 ）五 、参 考 教 材 （ 资 料 ） ： 同 济 大 学 高 等

11、 数 学 第 五 版设函数 u u(x)及 v v(x)具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为(uv)u v uv移项得uv(uv)u v对这个等式两边求不定积分得vdxuuvdxvu或vduuvudv这个公式称为分部积分公式分部积分过程: vdxuuvvduuvudvdxvu例 1 xdxxxxxdxdxxsinsinsincosx sin x cos x c例 2 cexedxexexdedxxexxxxxx例 3 2222dxeexdexdxexxxxxxxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx222x2ex2xex2excex(x22x 2 ) c例 4 dxxxxx

12、xdxxdxx121ln21ln21ln222cxxxxdxxx22241ln2121ln21例 5 xxdxxxdxarccosarccosarccosdxxxxx211arccos)1 ()1(21arccos2212xdxxxcxxx21arccos例 6 2arctan21arctanxdxxdxxdxxxxx2221121arctan21dxxxx)111 (21arctan2122cxxxxarctan2121arctan212例 7 求xdxexsin解 因为xdexexdexdxexxxxsinsinsinsinxxxxxdexexdxexecossincossinxdexex

13、exxxcoscossinxdexexexxxcoscossinxdxexexexxxsincossin所以cxxexdxexx)cos(sin21sin例 8 求xdx3sec解 因为xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xdxxxx2tansectansecdxxxxx) 1(secsectansec2xdxxdxxxsecsectansec3xdxxxxx3sec|tansec|lntansec所以xdx3seccxxxx|)tansec|lntan(sec21例 9 求nnaxdxi)(22其中 n 为正整数解caxaaxdxiarctan1221当 n 1 时，用分部

14、积分法有dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122dxaxaaxnaxxnnn)()(1) 1(2)(222122122即)(1( 2)(211221nnnniainaxxi于是) 32()() 1(2111222nnninaxxnai以此作为递推公式并由caxaiarctan11即可得ni例 10 求dxex解 令 xt 2则dx 2tdt于dxexcxectedttextt) 1(2) 1(22xdexxdedxexxx2)(2xdeexdexxxx222cxeceexxxx) 1(222第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分)()()()

15、(xdxfdxxxfux)(令duuf)()()()()(xdvxudxxvxu)()()()(xduxvxvxu哪些积分可以用分部积分法？xdxxcosdxxexdxexx2xdxxlnxdxarccosxdxxarctanxdxexsinxdx3sec2222duedxedxxeuxx2222dxeexdexdxexxxxx 4 4 有理函数的积分一 、教 学 目 的 与 要 求 ：会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。二 、重 点 （ 难 点 ） ： 有理函数的积分。三 、主 要 外 语 词 汇 ： have the reason function integral四 、

16、辅 助 教 学 情 况 ： 多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版 （ 修 改 ）五 、 参 考 教 材 （ 资 料 ） ： 同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数: mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp11101110)()(其中 m和 n 都是非负整数a0a1a2an及 b0b1b2bm都是实数并且 a00 b00当 n m时称这有理函数是真分式而当 n m 时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如1111) 1(1122223xxxxx

17、xxx真分式的不定积分求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例 1 求dxxxx6532解dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxdxx25366ln|x 3| 5ln|x 2| c提示)3)(2()32()(23)3)(2(3xxbaxbaxbxaxxxa b 13a 2b 3 a 6 b5分母是二次质因式的真分式的不定积分例 2 求dxxxx3222解dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22dxxxdxxxx3213322221222222)2() 1() 1(332) 32(21xxdxxxxdcxxx2

18、1arctan23)32ln(212提示321332221323)22(213222222xxxxxxxxxxx例 3 求dxxx2) 1(1解dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122dxxdxxdxx2) 1(1111cxxx11| 1|ln|ln提示222) 1(1) 1(1)1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xxxxxxxx二、可化为有理函数的积分举例1。三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sin x 及 cos x 的有理

19、式表示故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式用于三角函数有理式积分的变换: 把 sin x、cos x 表成2tanx的函数然后作变换2tanxu222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx变换后原积分变成了有理函数的积分例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1解 令2tanxu则212sinuux2211cosuuxx 2arctan uduudx212于是dxxxx)cos1(sinsin1)111(12)121 (2222uuuuuuduu212d

20、uuu)12(21cuuu|)|ln22(212cxxx|2tan|ln212tan2tan412解 令2tanxu则duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1duuucuuu)12(21|)|ln22(212cxxx|2tan|ln212tan2tan412说明 : 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如cxxdxdxxx)sin1ln()sin1(sin11sin1cos2、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求dxxx 1解 设ux 1即12ux则duuuuduuudxxx

21、12211222cuuduu)arctan( 2)111 (22cxx)1arctan1(2例 6 求321xdx解 设ux32即23ux则duuuduuuxdx111331121223cuuuduuu|)1 |ln2(3)111(32cxxx|21 |ln23)2(233332例 7 求xxdx)1 (3解 设 x t6于是 dx6t5dt从而dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1(cttdtt)arctan( 6)111 (62cxx)arctan(666例 8 求dxxxx11解 设txx1即112tx于是dtttttdxxxx222) 1(2) 1(11dttdttt

22、)111 (212222cttt|11|ln2cxxxxxx11ln12练习1求xdxcos2解作变换2tanxt则有dttdx2122211costtxxdxcos222211212tttdtdtt23123)3(11322tdtct3arctan32cx)2tan31arctan(322求dxxx45cossin解dxxx45cossinxdxxcoscossin44xdxxcoscos)cos1(422xdxxcos)cos1cos21(42cxxx3cos31cos2cos3求dxxxx23132解dxxxx23132dxxxx) 1)(2(13dxxx)1427(dxx217dxx1

23、147ln|x 2| 4ln|x 1| c 4.5 积分表的使用一 、教 学 目 的 与 要 求 ：会 根 据 函 数 类 型 在 积 分 表 中 查 得 所 需 结 果 。二 、重 点 （ 难 点 ） ： 对 要 查 函 数 的 变 形 和 类 型 的 判 定 。三 、主 要 外 语 词 汇 ： integral calculus form四 、 辅 助 教 学 情 况 ： 多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版 （ 修 改 ）参 考 教 材 （ 资 料 ） ： 同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表

24、这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果积分表一、含有ax b 的积分1cbaxabaxdx|ln12) 1()() 1(1)(1cbaxadxbax3cbaxbbaxadxbaxx|)|ln(124cbaxbbaxbbaxadxbaxx|ln)(2)(21122325cxbaxbbaxxdxln1)(6cxbaxbabxbaxxdxln1)(227cbaxbbaxadxbaxx|ln1)(228cbaxbbaxbbaxadxbaxx2322|ln21)(9cxbaxbbaxbbaxxdxln1)(1)(22例 1 求dxxx2) 43(解这是含有

25、3x 4 的积分在积分表中查得公式cbaxbbaxadxbaxx|ln1)(22现在 a 3、 b 4 于是cxxdxxx434|43 |ln91)43(2二、含有bax的积分1cbaxadxbax3)(322cbaxbaxadxbaxx32)()23(1523cbaxbabxxaadxbaxx322232)()81215(10524cbaxbaxadxbaxx)2(3225cbaxbabxxaadxbaxx)843(152222326)0(arctan2) 0(ln1bcbbaxbbcbbaxbbaxbbaxxdx7baxxdxbabxbaxbaxxdx228baxxdxbbaxdxxbax

26、29baxxdxaxbaxdxxbax22三、含 x2a2的积分1caxaaxdxarctan12221222122222)() 1(232)() 1(2)(nnnaxdxannaxanxaxdx3caxaxaaxdxln2122四、含有ax2b(a 0)的积分1)0(ln21) 0(arctan12bcbxabxaabbcxbaabbaxdx2cbaxadxbaxx|ln21223baxdxabaxdxbaxx2224cbaxxbbaxxdx|ln21)(2225dxbaxbabxbaxxdx22211)(6cbxxbaxbabaxxdx22222321|ln2)(7dxbaxbbaxbxb

27、axdx2222121)(2)(五、含有ax2bx c (a 0)的积分六、含有22ax(a 0)的积分1caxxcaxaxdx)ln(arsh221222caxaxaxdx222322)(3caxdxaxx22224caxdxaxx223221)(5caxxaaxxdxaxx)ln(22222222226caxxaxxdxaxx)ln()(222232227cxaaxaaxxdx|ln122228cxaaxaxxdx2222229caxxaaxxdxax)ln(222222222例 3 求942xxdx解因为222)23(2194xxdxxxdx所以这是含有22ax的积分这里23a在积分表中

28、查得公式cxaaxaaxxdx|ln12222于是cxxcxxxxdx|2394ln31|23)23(ln3221942222七、含有22ax(a 0)的积分1caxxcaxxxaxdx|ln|arch|221222caxaxaxdx222322)(3caxdxaxx22224caxdxaxx223221)(5caxxaaxxdxaxx|ln22222222226caxxaxxdxaxx|ln)(222232227cxaaaxxdx|arccos1228cxaaxaxxdx2222229caxxaaxxdxax|ln222222222八、含有22xa(a 0)的积分1caxxadxarcsin222cxaaxxadx222322)(3cxadxx