2022年2022年初二数学--勾股定理讲义

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【学问点归纳】初二数学勾股定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.已知直角三角形的两边,求第三边勾股定理2.求直角三角形周长.面积等问题3.验证勾股定理成立1.勾股数的应用 勾股定理勾股定理的逆定理2.判定三角形的外形3.求最大.最小角的问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载勾股定理的应用1.面积问题2.求长度问题3.最短距离问题4.航海问题5.网格问题6.图形问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点一：勾股定理（ 1）对于任意的直角三角形,假如它的两条直角边

2、分别为a.b,斜边为c,那么肯定有a 2b 2c 2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（ 2）结论：有一个角为30°的直角三角形,30°角所对的直角边等于斜边的一半；有一个角为45°的直角三角形为等腰直角三角形；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（ 3）勾股定理的验证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载baabcacbbcbbcaaabaab例题：例 1：已知直角三角形的两边,利用勾股定理求第三边；（ 1） 在 rtabc 中, c=90°如 a=5, b=12,就 c= ；如 a=15, c=25,就 b=

3、 ；如 c=61, b=60,就 a= ；如 ab=3 4,c=10 就 rt abc 的面积为 = ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 假如直角三角形的两直角边长分别为n 21 , 2n（ n>1）,那么它的斜边长为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a .2nb .n+1c.n2 1d. n 21（ 3） 在 rtabc 中, a、b、c 为三边长,就以下关系中正确选项（）a. a 2b2c2b.a2c2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c. c2b2a 2d. 以上都有可能精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4） 已

4、知一个直角三角形的两边长分别为3 和 4,就第三边长的平方为（）a .25b .14c.7d .7 或 25例 2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长.面积等问题；（ 1） 直角三角形两直角边长分别为5 和 12,就它斜边上的高为 ；22（ 2）已知 rt abc 中, c=90 °,如 a+b=14cm,c=10cm ,就 rtabc 的面积为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a .24 cmb.36cm2c.48 cmd.60 cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） 已知 x.y 为正数,且 x 2-4 +（ y2-3）

5、2=0,假如以x .y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）a .5b .25c.7d .15例 3：探究勾股定理的证明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载有四个斜边为c.两直角边长为a、b 的全等三角形,拼成如下列图的五边形,利用这个图形证明勾股定理；eafgdbmhc考点二：勾股定理的逆定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a、b、c 有关系, a 2b 2c2 ,那么这个三角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形为直角三角形；（ 2）常见的勾股数：（

6、3n、4n、5n ）、5n、12n、13n ,8n、15n、17n ,7n、24n、25n ,9n、40n、41n.（n 为正整数）（ 3）直角三角形的判定方法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如三角形的三边长a、b、c 有关系, a 2b 2c2 ,那么这个三角形为直角三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有一个角为直角的三角形为直角三角形；两内角互余的三角形为直角三角形；假如一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形为直角三角形；例题：例 1：勾股数的应用（ 1） 以下各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的为（）a. 4, 5, 6b.

7、 2, 3, 4c. 11,12, 13d. 8 , 15, 17（ 2） 如线段 a, b, c 组成直角三角形,就它们的比为（）a .2 3 4b .3 4 6c.512 13d.46 7例 2：利用勾股定理逆定理判定三角形的外形（1） 下面的三角形中： abc中, c= a b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 abc中, a： b： c=1： 2：3； abc中, a： b： c=3 ：4： 5； abc中,三边长分别为8, 15,17其中为直角三角形的个数有（）a 1 个b 2 个c 3 个d4 个（ 2） 如三角形的三边之比为2 :1 :1 ,就这个三

8、角形肯定为（）22a. 等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.不等边三角形（ 3） 已知 a,b, c 为 abc 三边,且满意 a2 b2a2+b2 c2 0,就它的外形为（）a. 直角三角形b.等腰三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形（4） 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数、得到的三角形为 a 钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.等腰三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5） 如 abc的三边长a、b、c 满意 a2b2c220012a16b20c ,试判定 abc的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载外形；（ 6） abc 的两

9、边分别为5、12,另一边为奇数, 且 a+b+c 为 3 的倍数,就 c 应为,此三角形为；例 3：求最大.最小角的问题（ 1） 如三角形三条边的长分别为7、24、25,就这个三角形的最大内角为度；（ 2） 已知三角形三边的比为1：3 ： 2,就其最小角为；考点三：勾股定理的应用例题：例 1：面积问题（ 1） 下图为一株漂亮的勾股树,其中全部的四边形都为正方形,全部的三角形都为直角三角形, 如正方形 a .b .c.d 的边长分别为3.5.2.3,就最大正方形e 的面积为 （）a. 13b. 26c. 47d. 94精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载bbascs1s

10、2d3s1cases32（图 1）（图 2）（图 3）（ 3） 如图, abc 为直角三角形,分别以ab , bc , ac 为直径向外作半圆,用勾股定理说明三个半圆的面积关系,可得（）a. s 1+ s2> s3b. s1+ s2= s3c. s2+s3< s1d.以上都不为（ 2）如下列图,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别为s1.s2.s3, 就它们之间的关系为（）a. s 1- s2= s3b. s 1+ s2 = s3c. s2+s3< s1d. s2- s3=s1例 2：求长度问题（ 1） 小明想知道学校旗杆的高,他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面仍多

11、1 米,当他把绳子的下端拉开5 米后,发觉下端刚好接触地面,求旗杆的高度；（ 2） 在一棵树10m 高的 b 处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m 处的池塘a 处； .另外一只爬到树顶d 处后直接跃到a 外,距离以直线运算,假如两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高？d bca例 3：最短路程问题（ 1）如图 1,已知圆柱体底面圆的半径为2 ,高为 2,ab ,cd 分别为两底面的直径,ad ,bc 为母线,如一只小虫从a 点动身,从侧面爬行到c 点,就小虫爬行的最短路线的长度为；（结果保留根式）（ 2） 如图 2,有一个长.宽.高为3 米的封闭的正方体纸盒,一只昆虫从顶点a 要爬到顶

12、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载点 b ,那么这只昆虫爬行的最短距离为；adcabb（图 1）（图 2）例 4：航海问题（ 1） 一轮船以16 海里 /时的速度从a 港向东北方向航行,另一艘船同时以12 海里 /时的速度从 a 港向西北方向航行,经过1.5 小时后,它们相距 海里（ 2）（深圳）如图1,某货船以24 海里时的速度将一批重要物资从a 处运往正东方向的m 处,在点a 处测得某岛c 在北偏东60°的方向上；该货船航行30 分钟到达b 处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在c 岛四周 9 海里的区域内有暗礁,如连续向正 东方向

13、航行,该货船有无暗礁危急？试说明理由；北cacd6030东abdmb（图 1）（图 2）（ 3）如图 2,某沿海开放城市a 接到台风警报, 在该市正南方向260km 的 b 处有一台风中心,沿 bc 方向以 15km/h 的速度向d 移动,已知城市a 到 bc 的距离 ad=100km ,那么台风中心经过多长时间从b 点移到d 点？假如在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危急, 正在 d 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危急？例 5：网格问题（ 1）如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,就网格上的三角形abc 中,边长为无理数的边数为（）精品学习资料

14、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a 0b 1c 2d 3（ 2） 如图,正方形网格中的abc ,如小方格边长为1,就 abc 为 （）a. 直角三角形b.锐角三角形c.钝角三角形d.以上答案都不对（ 3） 如图,小方格都为边长为1 的正方形 、就四边形abcd 的面积为 a 25b. 12.5c. 9d. 8.5dabacccbab（图 1）（图 2）（图 3）例 6：图形问题（ 1） 如图 1,求该四边形的面积（ 2）（ 2021 四川宜宾） 如图 2,已知, 在 abc 中, a= 45°, ac=2, ab=3+1,就边 bc 的长为c123bd413a（图

15、1）（图 2）（ 3） 某公司的大门如下列图、其中四边形为长方形、上部为以为直径的半圆、 其中 =2.3, =2 、现有一辆装满货物的卡车、高为 2.5 、宽为 1.6、问这辆卡车能否通过公司的大门.并说明你的理由.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（ 4）（太原） 将一根长24 的筷子置于地面直径为5 , 高为 12 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h ,就 h 的取值范畴；【中考链接】1.（ 2021 广西钦州市）如图为一张直角三角形的纸片,两直角边ac 6 cm .bc 8 cm,现将 abc 折叠,使点b 与点 a 重合,折痕为de,就 be 的长为

16、（ a ） 4 cm（ b ） 5 cm（ c） 6 cm（ d） 10 cmbadc2（ 2021 山东荷泽）（ 此题满分 8 分）如下列图,在rt abc 中, c 90°, a 30°,bd 为 abc 的平分线, cd 5 ,求 ab 的长3. 如图, 正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按以下要求画三角形：使三角形的三边长分别为3.8 .5 （在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）甲乙4（ 2021 广东湛江） 以下四组线段中,可以构成直角三角形的为（）a.1 , 2, 3b.2, 3,

17、4c.3, 4, 5d.4 , 5, 65（ 2021 四川泸州） 在abc中, ab=6 , ac=8 , bc=10 ,就该三角形为（）a 锐角三角形b 直角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载c钝角三角形d 等腰直角三角形6. （ 2021 辽宁丹东市）已知 abc为边长为 1 的等腰直角三角形,以rt abc的斜边 ac为直角边,画其次个等腰rt acd,再以 rt acd的斜边 ad为直角边,画第三个等腰rtade,依此类推,第n 个等腰直角三角形的斜边长为efdcagb7.（ 2021 广西南宁） 如图,每个小正方形的边长为1,abc 的三边 a、b、 c 的大小关系式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a） acb（ b） abc（ c） cab（ d） cba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8（ 2021 湖北孝感） （此题满分10 分） 问题情境 勾股定理为一条古老的数学定理,它有许多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,闻名数学家华罗庚曾提出把“数形关系 ”（勾股定理）带到其他星球,作为地球人与其他星球“人 ”进行第一次 “谈话 ”的语言； 定理表述 请你依据图1 中的直角三角形表达勾股定理（用文字及符号语言表达）；（ 3 分）精品学习资料精