2022年2022年初二数学最短路径问题知识归纳+练习

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题为图论讨论中的一个经典算法问题,旨在查找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法详细的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点,求最短路径的问题确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反,该问题为已知终结结点,求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径全局最短路径问题-求图中全部的最短路径【问题原型】 “将军饮马” ,“造桥选址” ,“费马点” 【涉及学问】 “两点之间线段最短”,“垂线段最短” ,“三角形三边关系”,“轴对称” ,“平移”【出题背景】角.

2、三角形.菱形.矩形.正方形.梯形.圆.坐标轴.抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年显现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载al连 ab,与 l 交点即为pbapl两点之间线段最短pa +pb 最小值为ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直线l 上求一点p,使bpa+pb 值最小【问题 2】“将军饮马”作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab作 b 关于 l 的对称点bl连 a b ,与 l 交点即为pab两点之间线段最短lpa+pb 最小值为a bp精品学

3、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直线l 上求一点p,使b'pa+pb 值最小【问题 3】作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l 1lp分别作点p 关于两直线的 对称点p和 p ,连 pp ,2p'l 1mp两点之间线段最短pm +mn +pn 的最小值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直线l1 . l 2 上分别求点与两直线交点即为m , nnl2线段 pp的长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m .n,使 pmn的周长最小p''精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【问题 4】作法图形原理精品

4、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直线l 1qpl2l . l分别作点q .p 关于直线 l 1 . l 2 的对称点q和 p连 qp,与两直线交点即q'l 1mqpl 2n两点之间线段最短 四边形 pqmn 周长的最小值为线段pp的长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12 上分别求点m .n ,使四边形pqmn的周长最小为 m , n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【问题 5】“造桥选址”作法图形原理- 1 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载am m将点 a 向下平移mn 的长nn 度单位得a,连 ab,交 nb于点 n,过 n 作

5、nm m 于aa'm两点之间线段最短mam +mn +bn 的最小值为n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 m n ,在 m . n ,m 上分别求点m .n,使 mn m ,且am+ mn+ bn 的值最小nab+mn b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【问题 6】作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ablm a n将点 a 向右平移 a 个长度单位得 a,作 a关于 l 的对称点 a ,连 a b,交直线aa'blmn两点之间线段最短am +mn +bn 的最小值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直线 l

6、上求两点m .n（ ml 于点n,将n 点向左平a b+ mn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在左）,使 mna ,并使移 a 个单位得m a''精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载am + mn+ nb 的值最小【问题 7】作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l1p作点p 关于l1p'al 1 的对称点p点到直线,垂线段最短精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l 2p ,作 pb l 2 于 b,交 l 2pa+ ab 的最小值为线段p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 l 1 上求点a,在l 2

7、上求于 al 2b的长b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 b,使 pa+ ab 值最小【问题 8】作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l 1nal2作点a 关于mbl 2 的对称点b'l 1两点之间线段最短精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a ,作点 b 关于 l1 的对称an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 为 l上肯定点, b 为 l上点 b,连 ab交l于 m ,am +mn +nb的最小值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1肯定点,在2l 2 上求点m ,2交 l 1 于 nmbl 2线段 ab的长

8、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a'在l 1上 求 点n , 使am + mn+ nb 的值最小【问题 9】作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abl连 ab ,作 ab 的中垂线与直线 l 的交点即为pa垂直平分上的点到线段两b端点的距离相等l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直线l 上求一点p,使ppapb 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载papb的值 最小 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【问题 10】作法图形原理- 2 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a三角形任意两边之差小于ab精品

9、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l在直线l 上求一点p,使作直线ab,与直线l 的交点即为 pb第三边palppb ab 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载papb的值 最大 papb的最大值 ab 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【问题 11】作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aal作 b 关于 l 的对称点bb'三角形任意两边之差小于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b作直线a b,与 l 交点即为 pl第三边papbpb ab 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在直线l 上求一点p,使papb最大

10、值 ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载papb的值 最大 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【问题 12】“费马点”作法图形原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abc abc 中每一内角都小于120°,在 abc 内求一点p,使 pa+pb +pc 值最小所求点为“费马点” ,即满d足 apb bpcapc 120 °以ab.ac为边向外作等边abd . ace,连 cd .be 相交b于 p ,点 p 即为所求ae两点之间线段最短ppa+ pb+ pc 最小值 cd c精品学习资料精选

11、学习资料 - - - 欢迎下载【精品练习 】1如下列图,正方形abcd 的面积为12, abe 为等边三角形,点e 在正方形abcd 内,在对角线ac 上有一点 p,使 pd +pe 的和最小,就这个最小值为（）a da 23b 26c 3d 6peb c2如图,在边长为2 的菱形abcd 中, abc 60 °,如将 acd 绕点 a 旋转,当ac .ad 分别与 bc .cd交于点 e.f ,就 cef 的周长的最小值为（）a 2b 23c 23d 4- 3 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3四边形abcd 中, b d 90 °, c 70 °

12、;,在 bc .cd 上分别找一点m. n,使 amn 的周长最小时, amn + anm 的度数为（）ada 120°b 130°c 110 °d 140 °nbmc4如图,在锐角abc 中, ab 42 , bac 45 °, bac 的平分线交bc 于点 d , m .n 分别为ad 和 abc上的动点,就bm +mn 的最小值为dmanb5如图, rt abc 中, c 90 °, b 30 °,ab 6,点 e 在 ab 边上,点d 在 bc 边上（不与点b.c 重合）,且 ed ae,就线段ae 的取值范畴为ae

13、cdb6如图,aob 30 °,点 m .n 分别在边oa.ob 上,且 om 1, on 3,点 p .q 分别在边ob.oa 上,就 mp pq qn 的最小值为 （注“勾股定理” ：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 rtabc 中, c 90°,就有ac 2bc 2ab2 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7如图,三角形 abc 中, oab aob 15 °,点 b 在 x 轴的正半轴,坐标为b 63 , 0oc 平分 aob ,点 m 在 oc 的延长线上,点n 为边 oa 上的点

14、,就ma mn 的最小值为 - 4 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8已知a（ 2, 4）.b （4, 2） c 在 y 轴上, d 在 x 轴上,就四边形abcd 的周长最小值为,此时c.d 两点的坐标分别为yabox9已知a（ 1, 1）.b （4, 2）y（ 1） p 为 x 轴上一动点,求pa+pb 的最小值和此时p 点的坐标；baox精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） p 为 x 轴上一动点,求papb的值最大时p 点的坐标；y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载baox（ 3） cd 为 x 轴上一条动线段,d 在 c 点右边且cd 1,求当ac+ cd+ db 的最小值和此时c 点的坐标；ybaocdx10 点 c 为 aob 内一点（ 1）在 oa 求作点 d , ob 上求作点e ,使 cde 的周长最小,请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下,如aob 30°, oc 10,求 cde 周长的最小值和此时dce 的度数acob- 5 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11（ 1）如图,abd 和 ace 均为等边三角形,be.ce 交于 f,连