高一第1学期昂立机构数学教案讲义-07—命题和充要条件-教师版

1、高 一 第 1 学 期 昂 立 机 构 数 学 教 案 讲义 - 0 7 命 题 和 充 要 条 件 - 教 师 版( 共 2 6 页 )-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可- -内页可以根据需求调整合适字体及大小- 1 高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题命题和充要条件教学目标1、理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；2、理解四种命题及其相互关系；3、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；4、理解子集与推出关系。教学重点1、熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化；2、熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论；3、理解充分条件、必要条件、充要条件之间的

2、关系，并会证明。教学安排版块时长1 例题解析80 2 巩固训练30 3 师生总结10 4 课后练习30 2 1设全集为r，21xyxm，则mcr.【难度】【答案】，112已知集合2,yxyxm，4,yxyxn，那么集合nm.【难度】【答案】13，3全集9876543210，u，集合85310，a，86542，b，则bcacuu.【难度】【答案】97，【解析】解法一：9,7 , 6, 4, 2acu，9,7 , 3 , 1 , 0bcu，所以97，bcacuu；解法二：8 , 6, 5 ,4, 3 , 2, 1 , 0ba，所以97，bacu，所以97，bacbcacuuu.4已知集合72xxa

3、，121mxmxb，若aba，则实数m的取值范围是.【难度】【答案】4m命题和充要条件热身练习3 【解析】aba，则ab，不能忽视b的情况，当b时，121mm，解得2m；当b时，71221121mmmm，解得42m，所以实数m 的取值范围是4m.5若集合rxaxxxa,012，集合21，b，且ba，则实数a的取值范围.【难度】【答案】2 ,2子集与推出关系充要条件充分条件、必要条件充分、必要条件等价命题四种命题形式命题与推出关系命题的形式及等价关系命题和充要条件一、有关命题的概念一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。【例 1

4、】判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。例题解析知识梳理4 （1）12 是 4 的倍数；（2）对角互补的四边形外接于一个圆；（3）我会说英语；（4）今天下雨吗?（5）ab是有理数，则ba,都是有理数。【难度】【答案】（ 1）是命题，真命题，因为3412。（2）是命题，真命题，定理。（3）是命题，假命题，当2,2 ba时，ab为有理数，而ba,不是有理数。（4）不是命题，没有对一事物做出判断。（5）不是命题，因为其不能做出真假判断。【例 2】判断下列命题的真假：（1）质数都是奇数；（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；（3）若0 x，0y，则0 xy。（4）若ab,ac,

5、则bc。【难度】【答案】（ 1）假命题，例如2 是质数但不是奇数。（2）真命题；（ 3）真命题；（4）假命题，例如 5, 4,3 ,2, 1,5 ,4,3 ,2, 1cba，此时cb说明：假命题的判断可以使用“ 举反例法 ” 。 若判断为真命题，则需证明。一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作。相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作。5 如果，并且，那么就说与等价，记作。复合命题的真假“非 p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p 非 p 真假假真“p且 q”形式复合命题的真假可以用下表表示：“p且 q”形式复合命题的真假可以用下表表示：p q p或

6、 q 真真真真假真假真真假假假【例 3】写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。（1）p：9 是 144的约数，q：9 是 225的约数。（2）p：方程210 x的解是1x，q：方程210 x的解是1x；（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是 0. 【难度】【答案】由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”，如果不符，要作语言上的调整。（1）p或q：9 是 144或 225的约数；p且q：9 是 144与 225的公约数，（或写成： 9 是 144 的约数，且 9是 225的约数）；非p：9 不是 144的约数.p

7、 q p 且 q 真真真真假假假真假假假假6 p真，q真，“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假 .（2）p或q：方程012x的解是1x,或方程012x的解是1x（注意，不能写成“方程012x的解是1x”，这与真值表不符）；p且q：方程012x的解是1x，且方程012x的解是1x；非p：方程012x的解不都是1x（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；p假，q假，“p或q”与，“p且q” 均为假，而“非p”为真 .（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；p

8、假，q假，“p或q”与“p且q” 均为假，而“非p”为真. 【巩固训练】1、判断下列命题的真假：（1）所有能被6 整除的整数都是3 的倍数；（2）关于x的方程+ =0(ax babr、）有且只有一个实数根。【难度】 【答案】（ 1）真命题。（ 2）假命题，当0,0 ba时，方程无实数根。说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。若判断为真命题，则需证明。2、判断命题 “ 若2x或3y，则+5x y” 的真假。【难度】 【答案】假命题，例如4, 1 yx此时5yx。7 说明：根据其逆否命题的真假来进行判断原命题的真假，因为它们是等价的。二、命题的四种形式及其关系一个数学命题用条件，结论表示就是“如

9、果，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题 。【例 5】命题“若一个数是负数，则他的平方是正数”的逆命题是（） a. “若一个数是负数，则它的平方不是正数” b. “若一个数的平方是正数，则它是负数” c. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” d. “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【难度】【答案】 b 如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题 。【例 4】若命题p的否命题是q，命题的逆命题是r，则r是p的逆命题的（）a. 原命

10、题b. 逆否命题c. 逆命题d. 否命题【难度】【答案】 d 命题、的否定分别记作、（命题的否定与否命题是两种不同形式）。如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题 。【例 6】写出命题“已知abcdr、 、 、，若=a bc d，则=ac bd”的其他三种形式。【难度】【答案】逆命题：已知abcdr、 、 、，若=ac bd，则=a bc d，。否命题：已知abcdr、 、 、，若ab或cd，则acbd。8 逆否命题：已知abcdr、 、 、，若acbd，则ab或cd。四种命题形式及其相互关系: 常见结论的否定形式：

11、（拓展内容）原结论否定形式原结论否定形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有 n个至多有 n-1 个小于大于或等于至多有 n个至少有 n+1个对所有的x成立存在x不成立p 或 q非 p 且非 q对任何的 x不成立存在 x成立p 且 q非 p 或非 q【例 7】命题：已知 a，b为实数，若20 xaxb有非空解集，则240ab。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？【难度】【答案】逆命题：已知ba,为实数，若240ab，则20 xaxb有非空解集否命题：已知ba,为实数，若20 xaxb没有非空解集，则240ab逆否命题：已知ba,为实数，

12、若240ab，则20 xaxb没有非空解集9 【巩固训练】1、下列结论错误的是（）a命题“若 p ，则 q”与命题“若非p则非 q”互为逆否命题b命题 p ：任意0,11xxe，命题 q：存在210 xrxx，则pq为真c“若22ambm则ab”的逆命题为真命题d若pq为假命题，则 p 、 q均为假命题ab22ambm【难度】【答案】 c 2、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。（1）; 023, 2,2xxxrx则若（2）；都为、则若0,022baba【难度】【答案】（ 1）逆命题：2,023,2xxxrx则若假命题。否命题：023,2,2xxxrx则若假命题。逆否命题：2,

13、023,2xxxrx则若真命题。（2）逆命题：0, 022baba则都为、若真命题。否命题：0,022中至少有一个不为、则若baba真命题。逆否命题：0,022baba则中至少有一个不为、若真命题。3、写出下列命题的逆命题、否命题.（1）两个有理数的和是有理数；（2）.5|1|,46xxx则或【难度】【答案】（ 1）逆命题：若两个数的和是有理数，那么这两个数是有理数。10 否命题：若两个数不都是有理数，那么它们的和不是有理数。（2）逆命题：.46, 5|1|xxx或则若。否命题：.5|1|, 46xxx则且若。三、有关等价命题如果a、b是两个命题，abba,，那么a、b叫做等价命题 （互为逆否

14、命题的两个命题是等价命题）。【例 8】下列各组中两个命题是否为等价命题。（1）.”与“bbaba（2）.”与“baxax【难度】【答案】（ 1）bbaba，反过来，若ax，则bax，而bba，所以即有bx，ba，则babba。所以为等价命题。（2）,baxax而axbax，不等价。【例 9】已知：abcbcabbddacdc是的边上的一点，求证命题“如果, 那么 d不在abc的内角平分线上”【难度】【答案】原命题的逆否命题为已知abcbcd是的边上的一点，如果dabc在的内角平分线上，那么abbdacdc证明：过c 作da 的平行线交ba 的延长线于e，在bce中，/ /,dace,babdb

15、adbecaedc且dacace, 又badace. 11 becace, aeac从而abbdacdc因为逆否命题为真命题，所以原命题为真命题。【巩固训练】1、下列各组中两个命题是否为等价命题。（1）“baa”与“ba”（2）“bam”与“bam”【难度】【答案】（ 1）babaa，而反过来不成立，所以不等价。（2）bambam，而反过来不成立，所以不等价。2、判断下列命题真假。（1）. 5042mmxx有两实根，则若（2）. 21, 3yxyx或则若【难度】【答案】（ 1）其逆否命题为：无实根，则若0452mxxm，为真命题，所以原命题为真命题。（ 2）其逆否命题为：.3,21yxyx则且

16、若，为真命题，所以原命题为真命题。四、充要条件的判定充分条件与必要条件：一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。例如0a是=0ab充分非必要条件，1x是2x的必要非充分条件。充要条件：如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要12 条件，这时我们就说是的充要条件。例如0a或0b是=0ab充分必要条件。【例 10】证明：0ac是关于x的一元二次方程2+ =0axbx c有两个不同的实数根的充分非必要条件。【难度】【答案】充分性：若0，方程有两个不同的实数根。非必要性：当方程有两个不同的实数根，则0，而不仅仅是0 xy”的什么条件？【

17、难度】【答案】必要非充分条件。说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。13 2、已知qp、都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么prs,分别是q的什么条件？【难度】【答案】s是q的充要条件； (srq，qs) r是q的充要条件； (rq，qsr) p是q的必要条件； (qsrp) 五、充分条件、必要条件、充要条件的应用【例 13】判断是的什么条件（1）11:a1: a；（2）aba:bba:；（3）yx:22:yx；（4）0, 0:21xx0,0:2121xxxx. 【难度】【答案】（ 1）是的必要非充分条件；（2）是的充要条件；（3）是的非充分非必要条件；（4

18、）是的充要条件；【例 14】求有关x的方程042)2(2)1(2mxmxm（1）有一个根大于 1，有一个根小于 1 的充要条件 .（2）“有两个小于 3 的根”的充要条件。【难度】【答案】（ 1）设方程两个根分别为21,xx，不妨设1, 121xx，则问题等价于：0) 1)(1(021xx19m。14 （2）设方程两个根分别为21,xx，不妨设3, 321xx，则问题等价于：510-010)3)(3(0) 3() 3(02121mmxxxx或【例 15】已知关于 x 的实系数二次方程x2+ax+b=0 有两个实数根 、 ，证明： | |2 且| |2是 2|a|4+b且|b|0即有024024

19、baba4+b2a(4+b) 又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性 由 2|a|4+bf( 2)0且 f(x)的图象是开口向上的抛物线方程 f(x)=0 的两根 ， 同在(2，2）内或无实根 ， 是方程 f(x)=0 的实根， ， 同在(2，2）内，即 | |2 且| |2 【巩固训练】1、已知,a b是实数，则0000ababab“且”是“且”的 （） a.充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件 c.充分必要条件 d. 既不充分也不必要条件15 【难度】【答案】 c. 2、已知命题: 431px；命题2:(21)(1)0q xaxa a。若 p 是 q的充分不必要条件，则实数 a的

20、取值范围是 _ 。【难度】【答案】21,0六、子集与推出关系设a、b是非空集合，b|b|具有性质，具有性质baaa，则ba与等价。【例 16】利用子集与推出关系判断下列甲是乙的什么条件。（1）甲：0 x，乙：0 x；（2）甲：022yx，乙：0,0 yx；（3）甲：0 x，乙：0| x；（4）甲：2| x，乙：1|1| x。【难度】【答案】（ 1）令0|xxa，0|xxb，b是a的子集，但是a不是b的子集。所以甲是乙的必要非充分条件。（2）甲是乙的必充要条件。（3）甲是乙的充分非必要条件。（ 4）甲是乙的必要非充分条件。【例 17】（1）是否存在实数 m，使得20 xm是2230 xx的充分条

21、件？（2）是否存在实数 m，使得20 xm是2230 xx的必要条件？【难度】16 【答案】（ 1）欲使得20 xm是2230 xx的充分条件，则只要|12mx xx x或3x，则只要12m即2m，故存在实数2m时，使20 xm是2230 xx的充分条件（2）欲使20 xm是2230 xx的必要条件，则只要|12mx xx x或3x，则这是不可能的，故不存在实数m时，使20 xm是2230 xx的必要条件【例 18】若不等式1xm成立的充分不必要条件是1132x，则实数 m 的取值范围是_。【难度】【答案】解不等 式1xm得到11mxm，由题可知：1132x11mxm所以113112mm，则4

22、312mm，所以 m的取值范围是1 42 3，【巩固训练】1、已知：22221234,:14xyxya，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围【难度】【答案】553322a2、设1-5-2 +1-2m-3,m,xxxmxr：或， ：或是的充分条件，求实数m的取值范围。【难度】【答案】01m。17 【解析】命题和充要条件是高中数学的重要内容，在高考中占有很高的地位.历年高考命题中,充分条件和必要条件已经成了高考考查的一个热点,虽然这一部分在课本中只占一小节内容 ,定义也很简单 ,但它涉及的知识面很广 ,几乎渗透了高中数学的每一个角落；充要条件是数学中极其重要的一个概念,有关充要条件问题的求解是

23、解题的一个难点,解这类问题需熟练掌握条件的概念,理解其含义 ,结合题设条件正确地分清条件与结论.在高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式、立体几何等知识结合起来进行考查1、设命题甲为： “05x” ，命题乙： “23x” ，则甲是乙的条件【知识点】充分、必要条件的判定【难度】【题型】填空题【答案】充分非必要2、已知命题p：“20 xa a” ，命题q：“241x” ，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的应用【难度】【题型】填空题课后练习反思总结18 【答案】 052a（或0ap，其中52p即可）3、“1a” 是“

24、 函数22cossinyaxax 的最小正周期为” 的条件【知识点】充分、必要条件的判定【难度】【题型】填空题【答案】充分非必要4、已知方程0fx的解集是a，方程0g x的解集是b，则方程0fxg x的解集是【知识点】有关命题基本知识【难度】【题型】填空题【答案】ab5、已知四个命题：0c是函数 fxx xc 是奇函数的必要非充分条件；若,x yr，则221xy是2xy的充分非必要条件；ab、是abc的两内角，则ab是sinsinab的充要条件；两条直线的斜率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；其中为真命题的有（把你认为是真命题的序号都填上）【知识点】有关命题的概念【难度】【题型】填空题【答案】6、二次函数 fx 的二次项系数为正，且对任意实数x恒有22f