2022年2022年初中数学概念整理

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载1.整数整数（ integer）：像 -2, -1, 0,1,2 这样的数称为整数；整数为人类能够把握的最基本的数学工具；如何分类我们以 0 为界限,将整数分为三大类a.正整数,即大于0 的整数如, 1, 2,3, n, b.0 既不为正整数,也不为负整数,他为介于正整数和负整数的数 c.负整数,即小于0 的整数如, -1, -2, -3,-n, 2.分数把整体 “1平”均分成如干份、表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母表示把一个物体平均分成几份 、分子为表示这样几份的数；把1 平均分成分母份,表示这样的分子份；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

2、载分子在上分母在下, （如这样表示b）也可以把它当做除法来看,用分子除以分母,相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载反除法也可以改为用分数表示；百分数与分数的区分（ 1）意义不同,百分数只表示两个数的倍比关系,不能带单位名称；分数既可以表示详细的数,又可以表示两个数的关系,表示详细数时可带单位名称；（ 2）百分数的分子可以为整数,也可以为小数；而分数的分子不能为小数只为除0 以外的自然数；百分数不行以约分,而分数一般通过约分化成最简分数；（ 3）任何一个百分数都可以写成分母为100 的分数,而分母为100 的分数并不都具有百分数的意义；（4）应用范畴的不同,百分数在生产和生活中,常用

3、于调查.统计.分析和比较,而分数经常在运算.测量中的不到整数结果时使用； 3.正数与负数正数：大于0 的数叫正数；如1.15. 3000.负数：比零小（<0 的数；用负号（即相当于减号）“ ”标记；如 -2.-5.33 .-45.-0.6 等；任何正数前加上负号都等于负数. 负数比零,正数小在数轴线上,负数都在0 的左侧,没有最大与最小的负数,全部的负数都比自然数小；七年级上1.14.有理数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数n的形式；无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数任何一个有理数都可以在数轴上表示；（ m.n 都为整

4、数,且n0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数；无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率）有理数和无理数统称为实数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有理数正整数正数正分数0负整数负数负分数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有理数包括：1 自然数：数0, 1,2, 3,叫做自然数 .2 正整数：1, 2, 3,叫做正整数；3 负整数：1, 2, 3,叫做负整数；4 整数：正整数.0.负整数统称为整数；5 分数：正分数.负分数统称为分数；6 奇数：不能被2 整除的整数叫做奇数；如-3, -1,

5、 1, 5 等；全部的奇数都可用2n-1或 2n+1 表示, n 为整数；7 偶数：能被2 整除的整数叫做偶数；如-2, 0, 4,8 等；全部的偶数都可用2n 表示,n 为整数；8 质数：假如一个大于1 的整数,除了1 和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2, 3, 11, 13 等； 2 为最小的质数；9 合数：假如一个大于1 的整数,除了1 和它本身外,仍有其他因数,这个数就称为合数,如4, 6, 9,15 等； 4 为最小的合数；一个合数至少有3 个因数；10互质数：假如两个正整数,除了1 以外没有其他公因数,这两个整数称为互质数,如 2 和 5,7 和 13 等；

6、如 3, -98.11,5.72727272,7/22 都为有理数；七年级上1.2.15.数轴规定了唯独的原点,唯独的正方向和唯独的单位长度的直线叫数轴；全部的实数都可以用数轴上的点来表示；也可以用数轴来比较两个实数的大小；画一条水平直线,在直线上取一点表示 0（叫做原点, origin ）,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向（ positive direction ）,就得到右面的数轴；所以原点.单位长度.正方向为数轴的三要素；如图：利用数轴可以比较有理数的大小,数轴上从左往右的点表示的数就为按从小到大的顺序；数轴意义：1）从原点动身朝正方向的射线（正半轴）上的点对应正数

7、,相反方向的射线（负半轴） 上的点对应负数,原点对应零；2）在数轴上表示的两个数,正方向的数大于负方向的数；3）正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数；数轴为一种特定几何图形；原点.正方向. 长度单位称数轴的三要素,这三者缺一不行把规定了唯独的原点,正方向,单位长度的一条直线叫做数轴；任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,但数轴上的数不都为有理数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数；七年级上1.2.26.相反数相反数：只有符号不同的两个数互为相反数,其中的一个数叫做另一个数的相反数；相反数的代数意义：到原两个数的和

8、为零,其中一个数为另一个数的相反数,这两个数称为互为相反数；相反数的几何意义：到原点距离相等的两个点表示的两个数为互为相反数；在数轴上,互为相反数（0 除外）的两个点位于原点的两旁,并且关于原点对称；正数的相反数为负数,负数的相反数为正数；a 的相反数为 -a, 0 的相反数为0；七年级上1.2.37.肯定值肯定值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数肯定值；肯定值只能为非负数；几何意义：在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的肯定值如：指在数轴上 表示的点与原点的距离,这个距离为 5,所以的肯定值为 5,又如指在数轴上表示 1.5 的点与原点的距离,这个距离为 1.5,所以 1.5 的肯

9、定值为 1.5；代数意义：正数和0 的肯定值为它本身,负数的肯定值为它的相反数、0 的肯定值为0互为相反数的两个数的肯定值相等；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 的肯定值用 “ |a 表|七年级上1.2.48.近似数示”读作 “a的肯定值 ” |a|=a（ a0） |a|=-a（ a0）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一个数与精确数相近 比精确数略多或者略少些、 这一个数称之为近似数approximate number.如: 我国的人口无法运算精确数目,但为可以说出一个近似数.比如说我国人口有13 亿、13 亿就为一个近似数；在通常情形下, 近似数相加减, 精确

10、度最低的一个已知数精确到哪一位,和或者差也至多只能精确到这一位；示例例如,一个同学去年体重30.4 千克,今年体重比去年增加了3.18 千克；求今年体重时要把这两个近似数加起来；由于30.4 只精确到非常位,比3.18 的精确度（精确到百分位）低,所以加得的和最多也只能精确到非常位；七年级上 1.5.39.科学计数法数学术语, a×10 的 n 次幂的形式；将一个数字表示成（ a×10 的 n 次幂的形式） ,其中 1|a|10, n 表示整数,这种记数方法叫科学记数法；用幂的形式,有时可以便利的表示日常生活中遇到的一些较大的数,如：光的速度大约为300 000 000 米

11、/秒；全世界人口数大约为：6 100 000 000这样的大数,读.写都很不便利,考虑到10 的幂有如下特点：10 的二次方 =100, 10 的三次方 =1000, 10 的四次方 =10 000；一般的, 10 的 n 次幂,在1 的后面有n 个 0,这样就可用10 的幂表示一些大数,如：1096 100 000 000=6.11 0×00 000 000=6.1×任何非 0 实数的 0 次方都等于1当有了负整数指数幂的时候,小于1 的正数也可以用科学记数法表示；例如：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0.00001= 105（10 的负 5 次方）,即小于

12、1 的正数也可以用科学记数法表示为a 乘 10 的 负精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 次方的形式,其中a 为正整数数位只有一位的正数,n 为正整数；有效数字： 在一个近似数中,从左边第一个不为0 的数字起, 到精确到的位数止,这中间全部的数字都叫这个近似数字的有效数字；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如： 890314000 保留三位有效数字为8.90108 （ 8.90*10 的 8 次方）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0.00934593 保留三位有效数字为七年级上1.5.29.35310（ 9

13、.35*10 的-3 次方）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10.有理数的运算有理数集为一个域,即在其中可进行四就运算（0 作除数除外） ,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a.b.c 等都表示任意的有理数）：加法的交换律a+b=b+a；加法的结合律a+b+c=a+b+c ；存在数0,使0+a=a+0=a；对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使 a+-a=-a+a=0 ；乘法的交换律ab=ba；乘法的结合律abc=abc；安排律ab+c=ab+ac；存在乘法的单位元10,使得对任意有理数a, 1a=a1=a；对于不为0 的有理数a,存在乘法逆元1/a,使 a1/a=1/

14、aa=1 ；0a 0此外,有理数为一个序域,即在其上存在一个次序关系；有理数仍为一个阿基米德域,即对有理数a 和 b,a0,b>0,必可找到一个自然数n,使 nb>a；由此不难推知,不存在最大的有理数；有理数加减混合运算1.理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法,我们可以依据有理数减法法就将减法转化为加法,这样就可将混合运算统一为加法运算,统一后的式子为几个正数或负数的和的形式,我们把这样的式子叫做代数和；2.有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）运用减法法就将有理数混合运算中的减法转化为加法；（2）运用加法法就,加法交换律,加法结合律简便运算；有理数范畴内已有的肯定值

15、,相反数等概念,在实数范畴内有同样的意义；一般情形下,有理数为这样分类的：整数.分数；正数.负数和零；负有理数,非负有理数11.乘方乘方的意义.各部分名称及读写在 a n 中,相同的乘数a 叫做底数 base number,a 的个数 n 叫做指数 exponent,乘方运精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载算的结果a n 叫做幂 念 mì）； an 读作 a 的 n 次方,假如把an 看作乘方的结果,就读作a 的 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载次幂；a 2 或 a 的二次方（或a 的二次幂）也可以读作a 的平

16、方；a 3 或 a 的三次方（或a 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三次幂）也可以读作a 的立方；每一个自然数都可以看作这个数的一次方,也叫作一次幂；如：8 可以看作81 ；当指数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 1 时,通常省略不写；运算次序：先乘方,再括号,接乘除,尾加减；（1）.相同乘数相乘的积用乘方表示（2）.依据乘方的意义运算出答案4n1） 9； 2） 0；94 =9×9×9×9=6561精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可以看出0 n =0（n 为正数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

17、料精选学习资料 - - - 欢迎下载0（3）. n =1（ n0）（4）.区分易混的概念321） 8 与 8×3； 2 5 ×2 与 5； 3） 452 与 45 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）.运算一个数的小数次方,假如那个小数为有理数,就把它化为p/q（即分数）的形式,那么任何一个数n 的 p/q 次方就等于n 的 p 次方再开q 次根号七年级上1.5.1 12.单项式数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也为单项式单项式为整式,而不为分式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；全部字母的指数之和叫做这个单项式的次数；任何一个非零数的

18、零次方等于1；留意：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11）.分母含有未知数的式子不属于单项式；例如,x不为单项式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）.单独的一个数字或字母也为单项式；例如,1 和x2 y 也为单项式,0.5mn 不为单精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载项式；单项式为字母与数的乘积；单项式的次数：一个单项式中,全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数；单项式的系数：单项式中的数字因数；如：2xy 的系数为2； -5zy 的系数为 -5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载字母 t 的指数

19、为1, 100t 为一次单项式如：abg .用运算符号把表示数的字母或数连接起来的式子叫代数式；代数式不含有“.”“ ”. “ ”.“符”号等3xy.b都为单项式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载单项式书写规章：数与字母相乘时,数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘,带分数要化为假分数单项式为几次,就叫做几次单项式字母不能在分母中“为”数,不为字母、读 pai精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意1.数字写在字母的前面,省略乘号；5a .16xy 等 2.常数 也就为自然数）的次数为0；3.单项式分母不能为字母；（由于这样为分式

20、,不为单项式）4. 为常数,因此也可以作为系数；5.如系数为带分数,要化成假分数；6.但一个单项式的系数为1 或-1 时, “1通”常省略不写,如（ -1）ab 写成 -ab 等；7.在单项式中字母不行以做分母、分子可以；【注：像三分之a+b 之类的不为单项式】8.单项式中系数不为0,否就单项无意义；单项式乘法法就：单项式相乘,把它们的系数.相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式 13.多项式如干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）；多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就为这个多项式的次数；不含

21、字母的项叫做常数项；如一式中：最高项的次数为5,此式有 3 个单项式组成,就称其为：五次三项式；比较广义的定义,1 个或 0 个单项式的和也算多项式；按这个定义,多项式就为整式；实际上,仍没有一个只对狭义多项式起作用,对单项式不起的定理：0 作为多项式时,次数为负无穷大；留意：（1）由于多项式的每一项都为单项式,股每一项既有系数,又有次数,整个多项式没有系数；（ 2）多项式的次数为组成多项式的各单项式中次数最高的那个单项式次数；（ 3）把多项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载式的项和次数结合起来,通常叫做几次几项式,如x2x1 为二次三项式； （ 4）多项式的精品学习资料精选学习资

22、料 - - - 欢迎下载每一项都包括其前面的符号；14.整式整式为有理式的一部分、在有理式中可以包含加、减、乘 、除四种运算 、但在整式中除数不能含有字母 .单项式和多项式统称为整式.2x/3 为单项式. 0.4x+3为多项式,他们都属于整式；而x/y 不为整式；代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数、以及虽有除法运算及分数、但除式或分母中不含变数者 、就称为整式 .代数式 :由数和表示数的字母经有限次加.减.乘.除.乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式；例如:ax 2b, 2 3, b2/26 , a+2等；留意：1.不包括等于号（=.）.不等号（ . .） .

23、约等号 ； 2.可以有肯定值；例如：|x|, |-2.25| 等；整式不包括开方,分母为字母的数；整式可以分为定义和运算、定义又可以分为单项式和多项式、运算又可以分为加减和乘除.加减包括合并同类项、乘除包括基本运算.法就和公式、基本运算又可以分为幂的运算性质、法就可以分为整式.除法 、公式可以分为乘法公式.零指数幂和负整数指数幂 .数与字母的乘积叫做单项式； 几个单项式的和为多项式； 单项式与多项式统称为整式； 单项式中的数字因数叫做单项式的系数； 单项式中全部字母的指数和叫做单项式的指数； 多项式中次数最高精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载项的次数叫做多项式的次数；多项式可以按降

24、幂和升幂排列,（ 1）升幂： 依据多项式中制定的未知数的次数从低到高排列；（ 2）降幂：依据多项式中制定的未知数的次数从高到低排列； 七年级上2.115.分式分式的基本概念：形如a/b ,a .b 为整式, b 中含有未知数且b 不等于 0 的整式叫做分式fraction ；其中 a 叫做分式的分子,b 叫做分式的分母；把握分式的概念应留意：判定一个式子为否为分式,不要看式子为否为a/b 的形式,关键要满意；（ 1）分式的分母中必需含有未知数；（ 2）分母的值不能为零,假如分母的值为零,那么分式无意义；由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性； 整式和分式统称为有理式；带有根号的式

25、子叫做无理式无理式和有理式统称代数式分式的法就1） .约分：把一个分式的分子和分母的公因式不为 1 的数）约去,这种变形称为约分；2.分式的乘法法就：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘；3） . 分式的加减法法就：同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；4） .通分：异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分；如：3/2 和 2/3 可化为9/6和 4/6.即： 3*3/2*3 , 2*2/3*2 ！5） .异分母分式的加减法法就：异分母的分式相加减,先通分, 化为同分母的分式,然后再按同分

26、母分式的加减法法就进行运算；注:分式的概念包括3 个方面：分式为两个整式相除的分式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用；分式的分母中必需含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这为区分整式的重要依据；在任何情形下,分式的分母的值都不行以为0,否就分式无意义；这里,分母为指除式而言；而不为只就分母中某一个字母来说的；也就为说,分式的分母不为零为隐含在此分式中而无须注明的条件；分式的基本性质和变形应用1.分式的基本性质: 分式的分子和分母同时乘以（或除以） 同一个不为0 的整式, 分式的值不变；用式子表示为：a/b=a*c/b*c a/b=a÷c/b÷c

27、（ a、b、c 为整式,且c0）2.约分 :把一个分式的分子和分母的公因式约去、这种变形称为分式的约分3.分式的约分步骤:1假如分式的分子和分母都为单项式或者为几个因式乘积的形式、将它们的公因式约去.2分式的分子和分母都为多项式、将分子和分母分别分解因式、再将公因式约去 .注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数、字母取分子和分母共有的字母 、指数取公共字母的最小指数、即为它们的公因式.4.最简分式 : 一个分式的分子和分母没有公因式时、这个分式称为最简分式. 约分时 、一般将一个分式化为最简分式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.通分 :把几个异分母分式分别化为

28、与原分式值相等的同分母分式、叫做分式的通分.6.分式的通分步骤:先求出全部分式分母的最简公分母、再将全部分式的分母变为最简公分母 .同时各分式依据分母所扩大的倍数、相应扩大各自的分子.注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.注:1 约分和通分的依据都为分式的基本性质2.2分式的约分和通分都为互逆运算过程.分式的四就运算1.同分母分式加减法就:同分母的分式相加减、分母不变 、把分子相加减. 用字母表示为： a/c ±b/c=a ±b/c2.异分母分式加减法就:异分母的分式相加减、先通分 、化为同分母的分式、 然后再按同分

29、母分式的加减法法就进行运算.用字母表示为：a/b ±c/d=ad ±cb/bd 3.分式的乘法法就: 两个分式相乘 、把分子相乘的积作为积的分子、把分母相乘的积作为积的分母 .用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 4.分式的除法法就:1. 两个分式相除、把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b ÷c/d=ad/bc2.除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:a/b ÷c/d=a/b*d/c16.方程含有未知数的等式叫方程方程（英文： equation ）为表示两个数学式（如两个数.函数.量.运算）之间相等关系的一种等式,通常在两者之间有一

30、等号“=”；方程不用按逆向思维摸索,可直接列出等式并含有未知数；它具有多种形式,如一元一次方程.二元一次方程等；等式的基本性质1等式两边同时加或减 同一个数或同一个代数式,所得的结果仍为等式；用字母表示为：如a b,c 为一个数或一个代数式；就：1a+c b+c 2a-cb-c等式的基本性质2等式的两边同时乘或除以同一个不为的数所得的结果仍为等式； 如 a=b、就 b=a（等式的对称性） ； 如 a=b、b=c 就 a=c（等式的传递性） ；用字母表示为：如a b,c 为一个数或一个代数式（不为）；就：a×c=b ×c a ÷cb÷c方程的一些概念：方程

31、的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；解方程：求方程的解的过程叫做解方程；解方程的依据：1.移项；2.等式的基本性质；3.合并同类项；4. 加减乘除各部分间的关系；解方程的步骤：1.能运算的先运算；2.转化 运算 结果17.一元一次方程只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都为整式,未知数的次数为1,这样的方程叫做一元一次方程；通常形式为ax+b=0a, b 为常数,且a0）；一元一次方程属于整式方程,即方程两边都为整式；一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们将 ax+b=0 （其中 x 为未知数

32、, a.b 为已知数,并且a0）叫一元一次方程的标准形式；这里 a 为未知数的系数, b 为常数, x 的次数必需为1；一元一次方程英文为linear equation in one）性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍旧成立；等式的性质二:等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0 的数,等式仍旧成立；等式的性质三:等式两边同时乘方（或开方）,等式仍旧成立；解方程都为依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减一同一个数,等式仍旧成立；一般解法1）去分母方程两边同时乘各分母的最大公倍数；2）去括号一般先去小括号,再去中括号,最终去大括号；但次序有

33、时可依据情形而定使运算简便；可依据乘法安排律；3）移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别遗忘了要变号；一般都为这样： （比方）从5x=4x+8得 到 5x - 4x=8；把未知数移到一起！ 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4）合并同类项将原方程化为ax=ba 0的形式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5）系数化一方程两边同时除以未知数的系数；6）得出方程的解；同解方程假如两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程；方程的同解原理：（ 1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程为同解方程；（ 2）方程的两边同乘

34、或同除同一个不为的数所得的方程与原方程为同解方程；做一元一次方程应用题的重要方法：（1）仔细审题（2）分析已知和未知的量（3）找一个等量关系（4）设未知数（5）列方程（6）解方程（ 7）检验（ 8）写出答18.二元一次方程二元一次方程定义：一个含有两个未知数,并且未知数的指数都为1 的整式方程, 叫二元一次方程二元一次方程组定义：由两个二元一次方程组成的方程组,叫二元一次方程组二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解；二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解；一般解法,消元：将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决；消元的

35、方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5 6x+13y=89 解：由得x=5-y 把带入,得65-y+13y=89 ,解得 y=59/7把 y=59/7 带入,得x=5-59/7 ,即 x=-24/7 x=-24/7 , y=59/7这种解法就为代入消元法；加减消元法例：解方程组x+y=9 x-y=5 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： +,得 2x=14 ,即 x=7把 x=7 带入,得7+y=9 ,解得 y=2 x=7 ,y=2这种解法就为加减消元法；二元一次方程组的解有三种情形：1.有一组解如方程组 x+y=5 6x+13y=89 的解为 x=-24/7 , y=59

36、/7 ；2.有很多组解如方程组 x+y=6 2x+2y=12 ,由于这两个方程实际上为一个方程（亦称作 “方程有两个相等的实数根”）,所以此类方程组有很多组解；3.无解如方程组x+y=4 2x+2y=10 ,由于方程化简后为x+y=5 ,这与方程相冲突,所以此类方程组无解；20.一元二次方程在一个等式中, 只含有一个未知数,且未知数的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程有四个特点：1只含有一个未知数；2 且未知数次数最高次数为2； 3为整式方程要判定一个方程为否为一元二次方程,先看它为否为整式方程,如为,再对它进行精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理 假如能整理

37、为ax2bxc0a0 的形式, 就这个方程就为一元二次方程（ 4）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将方程化为一般形式：ax2bxc0 时,应满意a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般解法1）配方法（可解全部一元二次方程） 如：解方程：x2+2x 3=0解：把常数项移项得： x2+2x=3等式两边同时加 1（构成完全平方式）得： x2+2x+1=4因式分解得： （ x+12=4解得： x1=-3、x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2）公式法（可解全部一元二次方程）

38、第一要通过 b2-4ac 的值来判定一元二次方程有几个根1.当 b2-4ac 0 时 x 无实数根（中学）2.当 b2-4ac=0 时 x 有两个相同的实数根 即 x1=x23.当 b2-4ac 0 时 x 有两个不相同的实数根当判定完成后,如方程有根可根属于 2.3 两种情形方程有根就可依据公式： x=- b±（b2 4ac） /2a来求得方程的根3）因式分解法 （可解部分一元二次方程） （因式分解法又分“提公因式法 ”.“公式法 （又分 “平精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方差公式 ”和“完全平方公式”两种） ”和 “十字相乘法 ”；如：解方程：x2+2x+1=0解

39、：利用完全平方公式因式分解得：（ x+1 2=0解得： x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程） 如何挑选最简洁的解法：（ 1）.看为否可以直接开方解；（2）.看为否能用因式分解法解（因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最终考虑十字相乘法）；（ 3）.使用公式法求解；（ 4）.最终再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程,但为有时候解题太麻烦）；例题精讲：1）.直接开平方法：直接开平方法就为用直接开平方求解一元二次方程的方法；用直接开平方法解形如x- m2=n n的0方程,其解为x=m± n例 1解方程（ 1） 3x+12=7（ 2）9x2-2

40、4x+16=11分析：（ 1）此方程明显用直接开平方法好做,（ 2）方程左边为完全平方式3x-42 ,右边=11>0 ,所以此方程也可用直接开平方法解；（ 1）解： 3x+12=7 3x+12=7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 3x+1=± 7注 x= .意不要丢解 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原方程的解为x1=.、x2= .（ 2）解：9x2-24x+16=11 3x-42=11 3x-4=± 11 x= .原方程的解为x1=.、x2= . 2配方法：例 1 用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2

41、将二次项系数化为1： x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+ 2= + 2配方： x-2=直接开平方得：x-= ± x=原方程的解为x1=、x2= .3公式法：把一元二次方程化成ax2+bx+c 的一般形式,然后把各项系数a、 b、 c 的值代入求根公式就可得到方程的根；当 b2-4ac>0 时,求根公式为x1=- b+b2-4ac/2a、x2=-b- b2-4ac/2a （两个不相等的实数根）当 b2-4ac=0 时,求根公式为x1=x2=-b/2a （两个相等的实数根）当 b2-4ac<0时,求根公式为x1=- b+4ac-b2i/2a、x2=-b-

42、 4ac-b2i/2a （两个虚数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载根）（中学懂得为无实数根）例 3用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 a=2、 b=-8、 c=5b2-4ac=-82-4×2×5=64-40=24>0 x= = =原方程的解为x1=、x2= . 4因式分解法：把方程变形为一边为零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式, 让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就为原方程的两个根；这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法；例 4用因式分解法解以下方程：

43、 1 x+3x-6=-8 2 2x2+3x=03 6x2+5x-50=0 选学）4x2-4x+4=0（选学）1 解： x+3x-6=-8化简整理得x2-3x-10=0 方程左边为二次三项式,右边为零 x-5x+2=0 方程左边分解因式 x-5=0 或 x+2=0 转化成两个一元一次方程 x1=5、x2=-2 为原方程的解；2 解： 2x2+3x=0x2x+3=0 用提公因式法将方程左边分解因式 x=0 或 2x+3=0 转化成两个一元一次方程 x1=0, x2=-3/2 为原方程的解；留意：有些同学做这种题目时简洁丢掉x=0 这个解,应记住一元二次方程有两个解；3 解： 6x2+5x-50=0

44、2x-53x+10=0 十字相乘分解因式时要特殊留意符号不要出错 2x-5=0 或 3x+10=0 x1=5/2、 x2=-10/3为原方程的解；4 解： x2-4x+4 =0（ 4 可分解为2 ·2 ,此题可用因式分解法）x-2x-2 =0 x1=2 、x2=2 为原方程的解；小结：一般解一元二次方程,最常用的方法仍为因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数；直接开平方法为最基本的方法；公式法和配方法为最重要的方法；公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,肯定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前

45、应先运算判别式的值,以便判定方程为否有解；配方法为推导公式的工具,把握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程；但为, 配方法在学习其他数学学问时有广泛的应用,为中学要求把握的三种重要的数学方法之一,肯定要把握好；（三种重要的数学方法：换元法, 配方法,待定系数法） ；21.分式方程分式方程为方程中的一种,且分母里含有未知数的方程叫做分式方程（fractional equation ）；例如 100/x=95/x+0.35精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分式方程的解法：去分母 方程两边同时乘以最简公分母最简公分母 :系数取最小公倍数显现的字 母

46、取最高次幂显现的因式取最高次幂）、将分式方程化为整式方程;如遇到互为相反数时. 不要忘了转变符号; 按解整式方程的步骤（移项,如有括号应去括号、留意变号 、合并同类项,系数化为1）求出未知数的值;验根 求出未知数的值后必需验根、由于在把分式方程化 为整式方程的过程中、扩大了未知数的取值范畴、可能产生增根.验根时把整式方程的根代入最简公分母,假如最简公分母等于0,这个根就为增根；否就这个根就为原分式方程的根；如解出的根为增根,就原方程无解；假如分式本身约分了,也要带进去检验；在列分式方程解应用题时,不仅要检验所的解为否满意方程式,仍要检验为否符合题意；一般的, 解分式方程时, 去分母后所得整式方

47、程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,假如最简公分母的值不为零,就为方程的解.归纳：解分式方程的基本思路为将分式方程化为整式方程,详细做法为 “去分母 ”,即方程两边同乘最简公分母,这也为解分式方程的一般思路和做法；例题：（ 1） x/x+1=2x/3x+3+1 两 边 乘 3x+1 3x=2x+3x+33x=5x+32x=-3x=-3/2分式方程要检验经检验, x=-3/2 为方程的解（ 2） 2/（ x-1） =4/ （ x2-1 ） 两边乘 x+1x-12x+1=42x+2=42x=2x=1分式方程要检验把 x=1 带入原方程,使分母为0,为增根；所以原方程

48、2/x-1=4/x2-1无解肯定要检验！ ！检验格式：把x=a 带入最简公分母,如x=a 使最简公分母为0、就 a 为原方程的增根.如x=a 使最简公分母不为零、就 a 为原方程的根 .留意：可凭体会判定为否有解；如有解,带入全部分母运算：如无解,带入无解分母即可22.不等式一般的,用符号“ ”（或 “）”, “”（或 “）”、 “连”接的式子叫做不等式；不等式中可以含有未知数,也可以不含）不等式的性质：（ 1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或式子 ,不等号的方向不变；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（ 3）

49、不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向转变；（ 4）不等式的两边都乘以0、不等号变等号；不等式的基本性质（字母表示）性质 1：假如 a>b、那么 a±c>b±c性质 2：假如 a>b,c>0 ,那么 ac>bc或 a/c>b/c性质 3：假如 a>b,c<0 ,那么 ac<bc或 a/c<b/c不等式的最基本性质假如 x y ,那么 y x ；假如 y x ,那么 x y ；（对称性）假如 x y , y z；那么 x z；（传递性）假如 x y ,而 z 为任意实数或整式,那么x z y z ；（加

50、法就） 假如 x y, z 0,那么 xz yz；假如 x y, z 0,那么 xz yz;（乘法就）假如 x y ,z0、那么 x÷z y÷z; 假如 x y, z 0、那么 x÷z y÷z；假如 x y ,m n,那么 x+m y+n 充分不必要条件假如 x y 0, m n 0,那么 xm yn假如 x y 0,那么 x 的 n 次幂 y 的 n 次幂（ n 为正数）假如由不等式的基本性质动身,通过规律推理, 可以论证大量的初等不等式,以下为其中比较出名的；解不等式可遵循的一些同解原理主要的有：不等式 f（x ）g（ x）与不等式g（ x） f（

51、x ）同解；假如不等式f（ x ） g（x ）的定义域被解析式h（ x ）的定义域所包含,那么不等式f（x） g（ x）与不等式f（ x ） h（ x） g（ x） h（ x）同解；假如不等式f（ x ） g（ x ） 的定义域被解析式h（ x ）的定义域所包含,并且h（ x）0,那么不等式fx g（ x ）与不等式h（ x ） f（ x） h（ x ） g（ x ） 同解；假如h（x ） 0,那么不等式f（ x） g（ x）与不等式h xf （ x） h （x ） g（x ）同解；不等式 f（x ） g（x ） 0 与不等式同解；不等式f（ x） g（x） 0 与不等式同解；留意事项1.符号：不等式两边都乘以或除以一个负数,要转变不等号的方向；2.确定解集：比两个值都大,就比大的仍大；比两个值都小,就比小的仍小；比大