2022年2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习37：不等关系

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载中考数学复习资料,细心整编吐血举荐、 如如有用请打赏支持,感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习37不等关系一.内容提要1. 不等式三个基本性质： 不等式两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式,不等号的方向不变； 不等式两边都乘 或除以 同一个正数,不等号的方向不变； 不等式两边都乘 或除以 同一个负数,不等号的方向转变；2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集；设 a>b、 不等式组精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa 的解集为 x>a xbxa 的解集为 x&

2、lt;b xb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xb 的解集为 b<x<a xaxa的解集为空集x b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理 三角形任意边两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； 在一个三角形中,大边对大角,大角对大边；直角三角形中,斜边大于任始终角边； 有两组边对应相等的两个三角形中假如这两边的夹角大,那么第三边也大；假如第三边大,那么它所对的角也大；任意多边形的每一边都小于其他各边的和二.例题例 1.已

3、知： x2,求以下代数式的取值范畴：73x、 x1x解： x 2,两边乘以 3,得3x 6两边加上 7,得73x7673x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 x1 y、x+1=xy、y 1x=1x=1 xy2,1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在两边乘以 y1 时,依据不等式基本性质2 和 3,得不等式组：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y 1012 y1y10或12 y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y1y1y3或y322y1.5或 y<1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 x1 1.5 或xx1 1x精品学习资

4、料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2. 设实数 a、b 满意不等式a ab aab ,试打算 a、b 的符号；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：不等式两边都为非负数,两边平方不等号方向不变两边平方得, a2 2 a a+b+a+b2<a22aa+b+a+b2化简,得 a （a+b） >a ab , 可知a0,a+b 0a ab两边除以 a 得, a+b>a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明显不等式要成立,只有aa1 , 故 a<0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此得 a+b

5、> ab ,明显只有 a+b>0、又 a<0、故 b>0a、b 的符号为： a<0、 b>0例 3. 已知： o为 abc内的一点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：1 oaoboc 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.2abbcca分析：此题实质为要证明2（oa oaoc） abbc ca且 oa obocab bcca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明： oa obabaob ocbcdoc oacaoc2（oa oboc） abbc cab延长 bo交 ac于 d,abadob od,oddcocabaco

6、b oc,同理 abbcoaoc, bccaoa ob即 2（ab bcca） 2（oaoboc） 1 oaoboc 1.2abbcca例 4. 求证直角三角形两条直角边的和,小于斜边与斜边上的高的和已知： abc中, acbrt , cd ab于 d求证： cacb abcd证明：设 cd h、a、b、c为 a, b, c的对边依据勾股定理, a2+b2=c2、a2 +b2c2 h2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据三角形面积公式1 ab= 1 ch2ab2ch精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22：（ a+b）2<c+h 2ca+b>0、c+h>

7、;0ba ha+b<c+hadbc又证明：（用求差法）假设同上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 ab=ch、 得 h= abcabacbcc 2abaccb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a+b c+h=a+bccccc>0、a c<0、c b>0 直角三角形中斜边大于任始终角边 a+b c+h 0 a+bc+h再证明：学完四点共圆后,可证ca cdabcb在 ab上截取 be bc,在 ac上取 cfcd,c两等腰 bce和 cdff1顶角 b=dcf2aedb底角 2 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四边形 cdef为圆

8、内接四边形efa cde rtaf<ae,即 af cf<abbe ,accd<ab cbcacbab cd例 5. 已知： abc中, d, e 分别在 bc,ac上, b 1 2假如 abc, adc, ebd的周长依次为 m、n、p求证： np5m4证明：设 bca,acb,abca 1 2,de ac,1e abc ebd dac 2b2dc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 dcac ac ,即 dc bbca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2bd bcdca baa 2b 2=a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pbda 2b

9、 2nb2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mbcanpba2b 2bma22bb155精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载maa21aaa244精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6. 已知： abc中, abac,d为三角形内的一点, adb adc求证： dbc dcb分析：为使已知条件 adb adc集中在一起,把 abd围着点 a 旋转,使 ab和 ac重合,即作abd的全等三角形ace证明：作 cae abd,使 aead,连结 ce,de那么 ace abd,ace bd, ace adb adc ade aed, dec edc,dedc

10、ce,即 dc bd dbc dcbbc三.练习 37精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 已知 a2. 已知 b=5 ,那么9 6a的值为3a2 、当 a3 时, b 的取值范畴为a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 已知 a<0、且 ax2a就 x 的取值范畴为x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 四边形 abcd中, ab=2, bc=4, cd=7,就 ad的适合范畴为5. 等边 abc的边长为 1,点 p 为三角形内一点求证 1.5 papbpc 26. 已知梯形 abcd中, ab

11、cd,ad>bc, 求证 a< b7. 已知 abc中,三条角平分线ad,be,cf相交于一点 o,作 ohbc于 h,求证 coh> cao8. 已知： ad,be,cf三条高相交于一点h,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证： 12adbecf1 bccaab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 已知： abc中, a>90 ,ab<ac,边 ab, ac的中垂线,分别交bc于 d 和 e求证： bd<ce10 四边形 abcd中, ab=cd, c>b,就 a> d11. 在 abc中, 如 ad为中线,就 da

12、c>dab 如 ad为角平分线,就ab+cd>ac+bd12. 已知： abc中 ab=ac,点这点 p 为三角形内的一点, pbc> pcb求证： pab<pac apb> apc13. 已知： abc中 m为 bc的中点, d,e 分别在 ab,ac上,dme=rt求证 ：bd+ce de14. abc中, ac2ab,就 b>2c15. 已知：正有理数a1 为3 . 的一个近似值,设a2=1+2a11求证 ：3 介于 a1 和 a2 之间提示：设3 > a 1证3 <a2 ；再设3 >a2证3 <a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习 37 参考答案：1.两边乘以 6,再加上 9 得 96a 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.仿例 1,1 a<13. x>-24. 1<ad<133a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 由 pa+pb>ab、pb+pc>bc、pc+pa得>apca pbpc1.5过点 p 作 efbc, aep afp ape, pa ae pbbeep, pccffp6. 作 ce ad交 a