(完整word版)2018高考全国2卷理科数学带答案(3)

1、理科数学试题第 1 页(共 11 页)2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共注意事项:23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。1.答题前，考生先将自己的姓名、 准考证号码填写清楚， 将条形码准确粘贴在 条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0. 5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带

2、、刮 纸刀。、选择题：本题共 12 小题，每小题 项是符合题目要求的。1 2i1 2i绝密启用前43.4 3.3434A.iB.iC .iD.55555555已知集合A (2 2X, y) | Xy3,x乙 y z,则A中兀素的个数为A. 9B. 8C . 5D. 4函数 f(x)e具的图象大致为2.3.2x5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有丰J1J.L 7kyAac1:orA . 4B . 32 25 .双曲线2每1( a0,b0)的离心率为a bA . y2xB . y.3xC6.在厶ABC中，cos JBC 1, AC25C . 2D.0-3，则其渐近线方程为C . y

3、x2D.3yx25，贝U ABC .29D.2 5开始理科数学试题 第2页(共 11 页)7 为计算 S 1 - - 1 L 丄，设计了右侧的程2 3 499 100序框图，则在空白框中应填入A ii 1B ii 2C.i i 3D.i i 4&我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7 23 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不冋的数，其和等于30 的概率是1111A.B.CD.121415189.在长方体 ABCDABGD1中，AB BC1 ,AA75，则异面直线AD!与 DB!所成角的

4、余弦值为A.-B .-C.D.二565210 .若 f (x) cos xsinx 在a, a是减函数， 则a的最大值疋,nnC.3nD.A.-B .-n42411.已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1 x) f (1 x).若 f(1) 2 , 则 f (1) f (2)f(3) L f(50)A.50B . 0C. 2D . 502 212 .已知 F1, F2是椭圆C:笃与1( a b 0)的左，右焦点，A是 C 的左顶点，点P在a bx 2y 5 0,x 2y 3 0,则 z x y 的最大值为x 5w0,15 .已知 sinacos31, cosasin30 ,贝 U

5、 sin(a3) _16.已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA, SB 所成角的余弦值为7, SA 与圆锥底面所成角为 45过A且斜率为33的直线上,6 PRF2为等腰三角形,RF2P 120，则 C 的离心率为、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13.曲线 y 2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_14.若x, y满足约束条件理科数学试题 第3页(共 11 页)8若ASAB的面积为 5 祈 5，则该圆锥的侧面积为 _ .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 为选考题。考生根

6、据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)记 Sn为等差数列 的前n项和，已知 a 7 , S315 .(1) 求an的通项公式；(2) 求 S，并求 Sn的最小值.18.（12 分）F 图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.模型根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2 丄,17 )建立模型:?30.4 13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,L ,7 )建立模型：? 99 17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投

7、资额的预测值；(2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19.（12 分）设抛物线 C： y24x 的焦点为F，过F且斜率为 k(k 0)的直线 l 与 C 交于A,B两点,|AB| 8.(1) 求 I 的方程；(2) 求过点A,B且与 C 的准线相切的圆的方程.20.（12 分）理科数学试题 第4页(共 11 页)如图，在三棱锥 P ABC 中，AB BC 2 2 ,PA PB PC AC 4 , O 为 AC 的中点.(1) 证明：PO 平面 ABC ;(2) 若点M在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30 , 求 PC 与平面PAM所成角的正弦值.21.( 12 分

8、)已知函数 f(x) exax2.(1)若 a 1，证明：当 x 0 时，f (x) 1;(2)若 f(x)在(0,)只有一个零点，求a.(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22.选修 4 4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x 2cos0,(B为参数)，直线|的参数方 y 4sin0,程为x 1 tCOSa(t 为参数).y 2 tsina(1) 求 C 和 I 的直角坐标方程；(2) 若曲线 C 截直线 I 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 I 的斜率.23.选修 4 5:不等

9、式选讲(10 分)设函数 f (x)5 | x a | | x 2| .(1) 当 a 1 时，求不等式 f (x) 0 的解集；(2) 若 f(x) 1，求a的取值范围.绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案、选择题1.D2. A3. B4. B5. A6. AC理科数学试题 第5页(共 11 页)7. B8. C9. C10.A11. C12. D_ 、 填空题13.y 2x14. 9115.16.40、2 n2三、 解答题17.解：(1)设an的公差为d, 由题意得3a13d15.由a7得 d=2.所以an的通项公式为a2n 9(2) 由 (1)得Snn2

10、18n (n4)216.所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为-16 .1&解:(1) 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为?30.4 13.5 19226.1(亿元).利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y? 99 17.5 9256.5(亿元).(2) 利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.413.5t上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009

11、 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型? 99 17.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看，相对于2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到理科数学试题 第6页（共 11 页）的预测值 226 . 1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明 利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由，考生答

12、出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.解:设A(X1,yJ, B(x2, y2),20.解:(1)因为APCPAC4,O为AC的中点，所以OP AC,且OP 23连结OB. 因为ABBC迈2AC，所以 ABC为等腰直角三角形，且OB AC,OB1AC22(1)由题意得F(1,0), l的方程为yk(x 1)(k0).由y2k(X得k2x2y24X(2 k24)xk20.16k2160，故X12k2所以| AB | | AF |BF |(X11) (X21)4k24由题设知4k24k28， 解得k1（舍去），因此 I 的方程为y（2）由（1 ）得 AB 的中点坐标（3,2）,所以 AB 的

13、垂直平分线方程为y 2 （x 3）,设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则y。x0(X01)25,(yx1)22解得016.y。3,或X011,2 y6.因此所求圆的方程为（x 3）2（y 2）216或(x 11)2(y 6)2144.理科数学试题 第7页（共 11 页）由OP2OB2PB2知PO OB.由OP OB,OP AC知PO平面ABC.uuu（2）如图，以 O 为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz.由已知得0(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0), C(0,2,0), P(0,0,2 . 3),AP(0,2,23),取uuu平面PAC的法

14、向量OB (2,0,0).|cosOB,n|于所以2回a2 3(a 4)23a2a24|2.解得a24（舍去），所以n（学护3）.又器(0,2, 2 3），所以uuu cosPC,n所以PC与平面PAM所成角的正弦值为uuur设M (a,2a,0)(0 a 2)，则AM (a,4 a,0).设平面PAM的法向(x, y,z).uur由APuuun 0, AM2yax23z 0(4 a)y，可取0n(、3(a4),3aa),/ uu所以cosOB,n4)22 3(a 4)23a2a2由已知得理科数学试题 第8页(共 11 页)21 解:(1) 当a 1时，f(x) 1等价于(x21)ex10.设

15、函数g(x) (x21)ex1，则g(x)(x22x 1)ex(x 1)2ex当x 1时，g(x) 0，所以g(x)在(0,)单调递减.而g(0)0，故当x 0时，g(x) 0，即f(x) 1.(2) 设函数h(x) 1 ax2ex.f (x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点.(i) 当a 0时，h(x) 0,h(x)没有零点；(ii)当a 0时，h(x) ax(x 2)ex.当x (0,2)时，h(x)0；当x (2,)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增.4a故h(2)1是h(x)在0,)的最小值.e理科数学试题 第9页(共 11

16、 页)21若h(2) 0，即a -,h(x)在(0,)没有零点；422若h(2) 0，即a ,h(x)在(0,)只有一个零点;420，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点,4由 (1)知，当 x0时，exx2，所以16a316a316a31h(4a)1 F 1/ 2a、2141 0e(e )(2a)a故h(x)在(2,4 a)有一个零点，因此h(x)在(0,)有两个零点.综上，f (x)在(0,)只有一个零点时，2e a422.解：22(1)曲线C的直角坐标方程为-y1.416当cos0时，1的直角坐标方程为y tan x 2 tan当cos0时，1的直角坐标方程为x 1.

17、(2)将I的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1 3cos2)t24(2cos sin )t 80.因为曲线C截直线I所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为tit20.又由得t,t24(2cos，故2cos sin 0,于是直线1 3cosk ta n 2.23.解：2x 4,x1,(1)当a 1时，f (x)2, 1 x 2,2x 6,x 2.若h(2)t,t2，则l的斜率理科数学试题第 10 页(共 11 页)可得f(x) 0的解集为x| 2x3.(2)f (x)1等价于|x a | x 2| 4.而|x a| |x 2| |a 2|,且当x 2时等号成立.故f(x) 1等价于|a 2| 4.由|a 2| 4可得a 6或a 2，所以a的取值范围是(，6U2,).21 ( 12 分)已知函数f (x) exax2.(1) 若a 1,证明：当x 0时，f(x) 1；(2)若f (x)在(0,)只有一个零点，求a.解:(1)f (x) ex2x,f (x)ex2.当x ln2时，f (x)0,当xIn2时，f (x)0,所以f (x)在(,ln 2)单调递减，在(In 2,)单调递增，故f (x)f (In 2)2 2In 20,f (x)在(，)单调递增.因为x 0,所以f(x)f (0)1.ex2(2)当x 0时，设g(x)2a，则f(x