fft结果的解释

1、FFT变换结果的解释作者：dhwikFFT是每个做信号处理都无法回避的问题，大家都在用，在使用的过程中，免不了会产生一些疑惑，变换后横纵坐标的标称值表示的是什么含义，它与原始信号对应频率的幅度是什么关系，为什么在画幅度 -频率图时，对变换后的取模结果直流部分要除以采样数据长度 L，交流部分要除以L/2，而频率轴部分要除以 FFT变换点数N ,为啥要做这么奇怪的处理， 要问答这些问题，还得从傅里叶级数说起。在做解说之前，先交代一下：FFT是DFT的快速算法(废话)，做DFT变换的序列xn 隐含着周期性，是对xn做了周期延拓的，其本质与周期信号的傅里叶级数是一样的。对一L点实序列xn , n=1,

2、2,3丄，做N点FFT产生一个 N点复数Xk , k=1,2,3.N，这里的 讨论都是基于实序列的。下面先说FFT结果对应频点幅度与原始信号的相应频点幅度关系。傅里叶前辈曾告诉我们：任何一个周期信号可以用一系列具有谐波关系的复指数信号之 和来表示(详参文献1),它的周期就是基波周期，这就是傅里叶级数的数学理论，其数学 表达式如下(1)x(t) =akej(2i/To)ktk =-：:其中T。是周期信号x(t)的基波周期，其谐波频率为k/T。，同时假定它是带限信号，否则没法由采样数据重构原始信号了，我们对这个表达式做个变形，重写如下x(t)二 a。*akej(2：/To)kt *ae"

3、/T0)kt(2)k =1k=1由于傅式谱图关于纵轴对称，也即ak = a(实际是共轭对称，即 a*k = a ),对上式的后两项利用逆欧拉公式合并，得到0x(t)二 a。亠二 2ak cos(2二/To)kt)(3)kT对上式中ak由傅里叶级数积分确定，即ak 二丄.：x(t)e"T0)ktdt(4)To对上式积分用nTs( Ts为采样周期，它应满足采样定理)代替t,Ts代替dt,LTs代替T。(L为用Fs采样一个周期To采样得到的采样点数)，积分换成求和，得到上式的一个逼近，其 精度与Fs有关ak1LTsL4x(n Ts)eT(2"s)knTsTsn =0(5 )(6)

4、用采样值x (n)代替采样时刻值 x(nTs),化简得到aka x(n)eSL)kn L n工1对于上式去掉是不是感觉很熟悉了呢，它就是我们常说的DFT，但还不完全是，注意这L里k没有限制。对上式换种写法ak = L-X(k)(7)将其带入(3 )得x(t)二 a0' 2丄 X(k)cos(2二/T0)kt)k 二 L(8)(8)式可看成是一 1x(t)幅度频率的时域表示，(6)是频域表示。(8)中的2X(k)是其时域L对应频点的幅度,用Ak( k非零)表示，得到频域幅度与其时域幅度关系：Ak = 2X(k)，变形得X(k) =LAk，对于X(0)，由(6)和(8)得X(0) = LA

5、q，到此FFT结果对应频2点幅度与原始信号的相应频点幅度关系得到解释。再看频率对应关系，我们对(5)式做个变形，重写如下L Jak =忑 J(nTS)严f式中f，( 4)式的近似是基于抽样数据的，它的频谱X( jw )是离散且周期性的,即有无限多的频率成分，因此要求限制我们的计算在一个频带宽度WS =内，通常选择Ts这个区间是 0 _Wk ：WS，这与FFT是一致的，那么(6)式变化成1 L -1I 寸 /、-j(2Jl/L)knakx(n)e, k=0,1,2.l-1(9)L n=01去掉一后就是我们真正的 DFT 了。通过DFT计算出来的结果中第一个点X (0)表示直流L分量，第L个点X

6、(L )表示抽样频率Fk，中间被L-1个点平分，每点的频率依次增加，k1如第k个频点频率即是 ，其中丄又被称为物理分辨率，它表示 DFT相邻两点间隔LTsLTs所代表的频率宽度，例如L=10 , Ts=0.1表示DFT相邻两点间隔1Hz，这也说明如果两个频点的距离小于1Hz，在DFT的结果中是显示不出来的，要想显示出来必须通过增加采样数1据L的长度，使小于1Hz，也即增加L可以提高频率分辨率。而FFT为了加快计算速LTs度，采用了基2算法，要求计算点数 N必须是2的某次方，对于采样数据长度不足N或大于N分别采用末尾补零和截尾的办法，当采样数据长度不足N，又引出了一个计算分辨率1F，它表示FFT

7、相邻两点间隔频率宽度，补零相当于增加了频域采样点数，有关计算NTs分辨率和物理分辨率的讨论，请参文献2。而FFT中横轴的刻度所表示的频率正是基于计k k算分辨率的，第 n点的频率代表着实际频率Fk = =FS，记作公式(10)，至此频率NTsN对应关系也说完了，还有一点是FFT求出来的谱图关于1/2 Fs对称，这是由于抽样造成的1频域的周期化的结果，可以把Fs : Fk : Fs这部分看成相对于纵轴与 0<Fk<1/2Fs对称的2负频率，具体参看文献1。到此所有解说结束。说了那么多都不如一个具体的例子体会的深切。下面以一个简单的例子说明上述过程。数学表达式如下x(t)=1+2*co

8、s(2*pi*50*t)+3*cos(2*pi*100*t)其中直流幅度为1,2个交流频率：50赫兹和100赫兹的幅度分别为2和3。采样频率Fs=256Hz , 采样点数为256点。256点FFT变换的结果如下图1k先看横轴：计算分辨率F=Fs/N=256/256=1Hz,按照公式(10) Fk =Fs得到第50NTsN点所代表的实际频率为50Hz，同理第100点表示100Hz，结果与测试原信号频点一致。再看纵轴：从图中看到，在第1点、51点、101点、157点、207点附近有较大值，因后两点是负频率，我们只取出前三点来细看y =1.0e+002 *第 1 点：2.5600 第 51 点:2.

9、5600 + 0.0000i第 101 点:3.8400 + 0.0000i计算他们的模值得到，第1点、51点、101点、分别是256、256、384,按照上面的推导结果可以计算出直流幅度 A0=256/L=256/256=1,50Hz 幅值A仁256/L*2=2, 同理100Hz幅值为 3,可见FFT分析出来的结果是正确的。为了看到补零对分析结果的影响，对上面的例子做512点FFT变换结果如下图可以看到纵轴幅度跟上一幅图比没有变化，这也说明了为啥求幅度要用L不用N的原因,也即零值对幅度无贡献而横轴频率点位置加倍，是因为计算分辨率F=Fs/N=2562=0.5Hz减半，相邻两点的间隔所代表的频率减半，利用公式(10)NTs让可算出100点和200点对应的实际频率分别是50Hz和100Hz。同时看出补一倍的零使频域的采样点数也增加了一倍。至于图中出现毛边是由于数据截断造成频谱泄露引起的，详情参考文献1，2，最后一根突起可看成X-1频率。参考文献【1】James H.McClellan等著，周利清等译，信号处理引论，电子工业出版。【2】王艳芬等著，数字信号处理原理及实现。附录Clear;Fs=256; %采样频率N=256;%采样点数t=0:1/Fs:(N-1)/Fs; % 采样时刻x=1+2*cos(2*pi*50*t)+3*