2019研究生数学考试数三真题

1、2019年全国硕士研究生入学统一考试(数学三)试题及答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1当Xr 0时，若x-tanx与xk是同阶无穷小，则 k =()(A ) 1( B) 2(C) 3( D) 42已知方程x5 -5x k = 0有3个不同的实根，贝U k的取值范围是()(A)( B) (4, ：)(C) (-4,4)( D) (-4,4)3.已知微分方程y'ay'by二cex的通解为y = (Ci C2X)e» ex，则a,b,c依次为()(A ) 1, 0, 1(B) 1, 0, 2(C)2,

2、1,3(D) 2, 1,4QO:v4若7 unn绝对收敛，、条件收敛，则()n 4n £ nQOOQ(A )7 unvn绝对收敛(B)unvn绝对收敛n £n £QOQO(C) 7 UnVn 收敛(D)v UnVn发散n A.n A5设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组 Ax=0的基础解系中只有 2个向量， 则 r(A*)=()(A) 0( B) 1(C) 2( D) 36设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A_A = 2E，且A =4，则二次型xTAx 的规范形为(),x2 丄2 丄22 丄22(a )y1 y2 y3( b )yy? - *2

3、 2 2 2 2 2(C)%一讨2-y3(D)- %一讨2 -y37设A , B为随机事件，则 P(A)=P(B)的充分必要条件是(A) P(AUB)二 P(A) P(B)(B) P(AB) = P(A)P(B)(C) P(AB)=P(BA)(D)P(AB)二 P(AB)8设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布)，则 PX -Y V1=(A )与无关，与 I有关(B)与卩有关，与(T无关(C)与卩、l都有关(D)与卩、二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。11 19.何血丑川亦4兀3兀11.已知函数f (x)=J1 +t4dt，则)的拐点坐标为21 2x f(x)dx 二12.以P

4、a, Pb分别表示A, B两个商品的价格，设商品A的需求函数2 2Qa =500-Pa -PaPb 2Pb ,则当Pa=10, Pb=20时，商品 A的需求量对自身价格弹性0-1、13.已知矩阵A =11-1,b =11a _1JOaa( AA> 0)为若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a=10.曲线 y =xsinx 2cosx(vxvx,0< xv 214.设随机变量X的概率密度为f(X)= 2, F(X)为X的分布函数，EX为X的数O其他学期望，则 PF(X)> EX -1二三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分1

5、0分)已知函数f(x)f 2x 、cx ,X>0,xex 1,x0,求f (x)，并求f (x)的极值。16.(本题满分10分)设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，函数g(x,y)=xy-f(xy,x-y),求_2 _ 2 _2:-g :- g:-g2 2x ：x：y :y17.(本题满分10分)x2设函数y(x)是微分方程y，xy = e2满足条件2jxy(1) = . e的特解。(1) 求 y(x)；(2) 设平面区域D二(x, y)1空x乞2,0 < y < y(x)，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积。18.(本题满分10分)求曲线y=e»sin x(x_0)

6、与x轴之间图形的面积。【 19.(本题满分10分)1 设 an xn .1-x2dx(n =0,1,2)(1)证明：数列 忌单调减少，且an二 口為(n=2,3,);n + 2(2) 求 lim 旦- 20.(本题满分11分)TT2T已知向量组 I : ：1=(1,1,4) ,： 2 =(1,0,4) ,： 3=(1,2,a3)II :+=(1,1,a+3)T2=(0,2,1-a)T3=(1,3,a2+3)T若向量组I与向量组n等价，求a的取值，并将 色用a1, 2a 3(线性表示。21.(本题满分11分)"-2-21、210、A =已知矩阵A2x-2与B =0-10相似<00一2100y(1 )求 X, y;(2)求可逆矩阵P,使得P AP二B.22. (本题满分11分)设随机变量 X与Y相互独立，X服从参数为 1的指数分布，Y的概率分布为P(Y 二 -1) = P,P(Y =1) =1 - P(Ov pv1).令 Z 二 XY(1) 求Z的概率密度；(2) p为何值时，X与Z不相关；(3) X与Z是否相互独立；23. (本题满分11分)(x-k2设总体X的概率