《高中试卷》2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）

1、2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，中有一项符合题目要求）1（5分）设命题p：nn，n22n，则p为（）ann，n22nbnn，n22ncnn，n22ndnn，n22n2（5分）双曲线的渐近线方程为（）abcy±2xd3（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若a4，a6是方程x28x+50的两根，那么s9（）a8b36c45d724（5分）“m2”是“椭圆y21离心率为”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件5（5分）中国古代数学著作算法

2、统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（）a3里b6里c12里d24里6（5分）以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）a（x5）2+y216b（x5）2+y29c（x+5）2+y29d（x+5）2+y2167（5分）已知抛物线y24x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）ax2y+10b2xy10c2x+y30dx+2y308（5分

3、）已知四棱锥sabcd中底abcd是正方形，且sdad，sd面abcd，则面sad和面sbc所成的锐角二面角的余弦值为（）abcd9（5分）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p是侧面bb1c1c内一动点，若p到直线bc与直线c1d1的距离相等，则动点p的轨迹所在的曲线是（）a直线b圆c双曲线d抛物线10（5分）如图过抛物线y22px（p0）的焦点f的直线依次交抛物线及准线于点a，b，c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则抛物线的方程为（）ay2xby29xcy2xdy23x11（5分）点p是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的底面a1b1c1d1上一点，则的取值范围是（）a1

4、，b，c1，0d，012（5分）已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项a2019满足（）a1a201910ba201910c0a2019da20191二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分)13（5分）等比数列an中，已知a43，则a3a5 14（5分）若x，y满足约束条件，则目标函数z2x+y的最大值是 15（5分）在平行六面体abcda1b1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90°，baa1daa160°，则ac1的长为 16（5分）在地平面上有一旗杆op（o在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线ab，在a处测

5、得p点的仰角为30°，在b处测得p点的仰角为45°，又测得aob30°，则旗杆的高h等于 m三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（10分）已知集合px|x22ax3a20（a0）；集合qx|0（1）当a1时，若“xpq”是真命题，求实数x的取值范围；（2）若“xp“是“xq”的必要不充分条件，求实数a的取值范围18（12分）已知数列an的前n项和为sn，且满足sn2an1；等差数列bn满足b33，b5+b7+b921（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）令cn，设数列cn的前项和为tn，求证：tn119（12分）已知抛物线y

6、2x，过点p（1，0）的直线l交抛物线于a、b两点（1）求证：oaob；（2）若直线l的倾斜角为45°，求|ab|20（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元，设池底长方形的长为x米（）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（）怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？21（12分）如图，三棱柱abca1b1c1中，b1a1ac1a1a60°，aa1ac4，ab2，p，q分别为棱aa1，ac的中点（1）在平面abc内过点a作am平面pqb1交bc于点m，并写出作图步骤

7、，但不要求证明；（2）若侧面acc1a1侧面abb1a1，求直线a1c1与平面pqb1所成角的正弦值22（12分）已知椭圆c1：1（ab0）过点a（1，），其焦距为2（）求椭圆c1的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1（ab0），则椭圆在其上一点a（x0，y0）处的切线方程为1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点b为c1在第一象限中的任意一点，过b作c1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于c，d两点，求ocd面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆c2：1上任意一点p作c1的两条切线pm和pn，切点分别为m，n当点p在椭圆c2上运动时，是否存在定圆恒与直线mn相切？

8、若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，中有一项符合题目要求）1（5分）设命题p：nn，n22n，则p为（）ann，n22nbnn，n22ncnn，n22ndnn，n22n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：nn，n22n，则p为：nn，n22n故选：c2（5分）双曲线的渐近线方程为（）abcy±2xd【解答】解：双曲线，其渐近线方程，整理得y±x故选：a3（5分）设等差数列an的前n项

9、和为sn，若a4，a6是方程x28x+50的两根，那么s9（）a8b36c45d72【解答】解：等差数列an的前n项和为sn，a4，a6是方程x28x+50的两根，a4+a68，s9（a1+a9）故选：b4（5分）“m2”是“椭圆y21离心率为”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【解答】解：椭圆y21离心率为，可得：m1时，或0m1时，解得m2或“m2”是“椭圆y21离心率为”的充分不必要条件故选：a5（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：

10、“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（）a3里b6里c12里d24里【解答】解：设第一天走a1里，则an是以a1为首项，以为公比的等比数列，由题意得：378，解得a1192（里），19224（里）故选：d6（5分）以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）a（x5）2+y216b（x5）2+y29c（x+5）2+y29d（x+5）2+y216【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为yx，即4x3y0，r4，圆方程为（x5）2+y216，故选：a7（5分）已知抛物线y24x，

11、以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）ax2y+10b2xy10c2x+y30dx+2y30【解答】解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为 y1k（x1），代入抛物线的方程可得ky24y44k0，由 y1+y22 可得，k2，故弦所在直线方程为2xy10，故选：b8（5分）已知四棱锥sabcd中底abcd是正方形，且sdad，sd面abcd，则面sad和面sbc所成的锐角二面角的余弦值为（）abcd【解答】解：四棱锥sabcd中底abcd是正方形，且sdad，sd面abcd，以d为原点，da为x轴，dc为y轴，ds为z轴，建立空间直角坐标系，设sdad1，

12、则s（0，0，1），b（1，1，0），c（0，1，0），（1，1，1），（0，1，1），设平面sbc的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），面sad的法向量（0，1，0），设面sad和面sbc所成的锐角二面角的平面角为，则cos面sad和面sbc所成的锐角二面角的余弦值为故选：c9（5分）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p是侧面bb1c1c内一动点，若p到直线bc与直线c1d1的距离相等，则动点p的轨迹所在的曲线是（）a直线b圆c双曲线d抛物线【解答】解：由题意知，直线c1d1平面bb1c1c，则c1d1pc1，即|pc1|就是点p到直线c1d1的距离，那么点p到直线b

13、c的距离等于它到点c1的距离，所以点p的轨迹是抛物线故选：d10（5分）如图过抛物线y22px（p0）的焦点f的直线依次交抛物线及准线于点a，b，c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则抛物线的方程为（）ay2xby29xcy2xdy23x【解答】解：如图分别过点a，b作准线的垂线，分别交准线于点e，d，设|bf|a，则由已知得：|bc|2a，由定义得：|bd|a，故bcd30°，在直角三角形ace中，|af|3，|ac|3+3a，2|ae|ac|3+3a6，从而得a1，bdfg，求得p，因此抛物线方程为y23x故选：d11（5分）点p是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的底

14、面a1b1c1d1上一点，则的取值范围是（）a1，b，c1，0d，0【解答】解：如图所示：以点d为原点，以da所在的直线为x轴，以dc所在的直线为y轴，以dd1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系则点a（1，0，0），c1 （0，1，1），设点p的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0x1，0y1，z1（1x，y，1），（x，1y，0），x（1x）y（1y）+0x2x+y2y，由二次函数的性质可得，当xy时，取得最小值为；故当x0或1，且y0或1时，取得最大值为0，则的取值范围是，0，故选：d12（5分）已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项a2019满足（）a1a201910

15、ba201910c0a2019da20191【解答】解：将此数列分组为（）（，）（，）（，）第n组有n个数，设数列的第2019项a2019在第n组中，由等差数列前n项和公式可得：（nn*），解得：n64，则前63组共2016，即a2019在第64组的第3项，即a201910，故选：b二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分)13（5分）等比数列an中，已知a43，则a3a59【解答】解：由于等比数列an中，已知a43，则：，故答案为：914（5分）若x，y满足约束条件，则目标函数z2x+y的最大值是3【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：由图易得，当x2，y1时，目标函数z2

16、x+y的最大值为3故答案为：315（5分）在平行六面体abcda1b1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90°，baa1daa160°，则ac1的长为【解答】解：由题意，如图，作a1o底面于o，作oe垂直ab于e，of垂直ad于f，连接a1f，a1e，由于，baa1daa160°，故有a1faa1ea，即a1fa1e从而有a1foa1eo，即有ofoe，由作图知，o在角dab的角平分线上，又底面是矩形，故角dao角bao45°，又ab1，ad2，aa13，baa1daa160°，a1fa1e，aeaf，于是有ao，在直角三角形a1oa

17、中，解得a1o在图中作c1h垂直底面于h，作hr垂直dc延长线与r，由几何体的性质知，hrcr，a1oc1h连接ah，得如图的直角三角形ash，直角三角形ahc1，由已知及上求解得as，shac12ah2+c1h2as2+sh2+c1h223ac1故答案为16（5分）在地平面上有一旗杆op（o在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线ab，在a处测得p点的仰角为30°，在b处测得p点的仰角为45°，又测得aob30°，则旗杆的高h等于20m【解答】解：由题意可得pooa，poob，且oboph，oah，在aob中，由余弦定理可得ab2oa2+o

18、b22oaobcosaob，即4003h2+h22hhcos30°，解得h20，旗杆op的高度为20m故答案为：20三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（10分）已知集合px|x22ax3a20（a0）；集合qx|0（1）当a1时，若“xpq”是真命题，求实数x的取值范围；（2）若“xp“是“xq”的必要不充分条件，求实数a的取值范围【解答】解：集合px|x22ax3a20（a0），可得px|ax3a，a0，集合qx|0x|（x4）（2x+1）0（1）当a1时，p（1，3），pq“xpq”是真命题，实数x的取值范围是（2）若“xp“是“xq”的必要不

19、充分条件，则，解得：a实数a的取值范围：a18（12分）已知数列an的前n项和为sn，且满足sn2an1；等差数列bn满足b33，b5+b7+b921（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）令cn，设数列cn的前项和为tn，求证：tn1【解答】解：（1）数列an的前n项和为sn，且满足sn2an1，可得n1时，a1s12a11，即a11；n2时，ansnsn12an12an1+1，可得an2an1，即an2n1，nn*；等差数列bn的公差设为d，b33，b5+b7+b921，即有b1+2d3，3b1+18d21，解得b1d1，即有bnn，nn*；（2）证明：cn，数列cn的前项和为tn11

20、，由1随着n增大而增大，可得tnt11，可得tn119（12分）已知抛物线y2x，过点p（1，0）的直线l交抛物线于a、b两点（1）求证：oaob；（2）若直线l的倾斜角为45°，求|ab|【解答】解：（1）证明：当直线l斜率不存在时，此时l：x1，解得a（1，1），b（1，1），满足110，oaob；当直线l斜率存在时，设l：yk（x1），联立抛物线方程y2x，可得k2x2（2k2+1）x+k20，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x22，x1x21，则x1x2+y1y2（1+k2）x1x2k2（x1+x2）+k2（1+k2）2k21+k20，即有oaob综上，oaob

21、成立；（2）若直线l的倾斜角为45°，可得直线l的方程为yx1，代入抛物线程y2x，可得x23x+10，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x23，x1x21，则|ab|20（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元，设池底长方形的长为x米（）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（）怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？【解答】解：（）设水池的底面积为s1，池壁面积为s2，则有（平方米）2分池底长方形宽为米，则s28x+88（x）6分（）设总造价为y，则y120&

22、#215;1 600+100×8（x）192000+640002560009分当且仅当x，即x40时取等号10分所以x40时，总造价最低为256000元答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元12分21（12分）如图，三棱柱abca1b1c1中，b1a1ac1a1a60°，aa1ac4，ab2，p，q分别为棱aa1，ac的中点（1）在平面abc内过点a作am平面pqb1交bc于点m，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）若侧面acc1a1侧面abb1a1，求直线a1c1与平面pqb1所成角的正弦值【解答】解：（1）取bb1中点e，连接ae，则aepb1，连接ce，取ce中点n，连接qn，则qnae，qnpb1，即q，n，p，b1四点共面，连接b1n交bc于h，连接qh，则q，h，b1，p四点共面，过a作amqh交bc于m，即为所求（2）作qo平面abb1a1，与a1a延长线交于o，则ao1，qo，ob1，qb1，b1p2，pq2，co