2012年北京中考数学试卷及答案

1、202012年北京市高级中等学校招生考试数学试卷考 生 须 知1.本试卷共8页，共五道大题，25个小题，满分120分。考试时间120分钟。2 在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。3 试题答案一律添涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。4 考试结束，请将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共 32分，每小题4分） 下面各题无有四个选项，其中只有一个符合题意的.1 .-9的相反数是（D ）11A.B.C. -9D. 9992 .首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美兀，将60 110

2、000 000用科学记数法表示应为（C )A. 6.011 汉 109B. 60.11 汉109C.6.011 汇 1010D.0.6011 X10113 正十边形的每个外角等于（B ）A. 18°B. 36°C.45。D.60 °4 .右图是某个几何体的三视图，该几何体是（D )A.长方体B.正方体主视图左视图C.圆柱D.三棱柱俯视图5班主任王老师将 6份奖品分别放在 6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学这些奖品中 3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（B

3、）1A.-6B.C.D.6.如图，直线AB, CD交于点O.射线OM平分 AOC，若 BOD =76 , 则.BOM等于（C ）A. 38B. 104C. 142D. 144B7 某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量，如下表所示:C. 160, 160D. 180, 1808小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示的方向经过30秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翊跑步的时间为 练距离为y （单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图A.点MB.点NC.点PB跑到点C,共用时 t （单位：秒），他与教2,刚这个固定位置可能是图 1的（D

4、）D. QQ图1二、填空题（本题共 16分，每小题4分）29 .分解因式：mn 6mn 9m二210 .若关于x的方程x 2x-m=o有两个相等的实数根，则m的值是11如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边 DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边 DE =40cm , EF =20cm，测得边DF离地图的高度 AC =1.5m , CD =8m，则树高 AB =B0瓦"m.12在平面直角坐标系 xOy中，我们把横纵坐标都是整数点的叫做整点已知点A ( 0, 4)，点B是x正半轴上的整点，记AOB内部（不包括

5、边界）的整数点个数为m,当m=3时,点B的横坐标的所有可能值是当占，=八、B的横坐标为4n （n为正整数）时， m =.（用含n的代数式表示）.三、解答题（本题共13.计算:（二-30分，每小题5分）、祖-2sin 45 - g），.14.解不等式组：Px3x4 ：2x -115. 已知 =2=0，求代数式-5a 2b2 (a-2b)的值.2 3a2 -4b216. 已知：如图，点 E, A, C在同一直线上，AB ° CD , AB =CE , AC =CD . 求证：BC =ED .D417. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y (x . 0)的图象与一次函数xy二kx _k

6、的图象交点为 A ( m, 2).(1 )求一次函数的解析式；(2)设一次函数y=kx_k的图象与y轴交于点B,若P是x轴上一点，且 满足 FAB的面积是4,直接写出P的坐标.18列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化 空气的作用.已知一片银杏树叶一年平均滞尘量比一片国槐树中一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量.四、解答题(本题共 20分，每小题5分)19. 如图，在四边形 ABCD中，对角线AC，BD交于点E

7、，BAC =90， CED =45，. DCE =30 ，DE ， BE =2. 2 .求 CD 的 长和边形ABCD的面积.20. 已知：如图， AB是O O的直径，C是O O上一点，OD _BC于点D，过点C作O O的切线，交 OD 的延长线于点E，连结BE.B(1) 求证：BE与O O相切;(2) 连结AD并延长交BE于点F，若OB =9，sin. ABC ，求BF的长.321. 近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图的一部分.北京市轨道交通已开

8、通线路 相关数据统计表(截至2010年底)截至2020年北京市轨道交通运营总里程分阶段规划统计图2011年规划方案)甲33血甲t截至2010年已开通运营总里程乙土加2到2015年预计新增运营里程丨丙，到20厨年预计新増运营里程 T： 20胡到2020计新増运营里程开通 时间开通线路运营里程(千米)19711号线3119842号线23200313号线41八通线1920075号线2820088号线510号线25机场线2820094号线282010房山线22大兴线22亦庄线23昌平线2115号线20请根据以上信息解答下列部问题：(1 )补全条形图并在图中标明相应数据；(2)按照2011年规划方案，预

9、计 2020年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？(3 )要按时完成截至 2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？122. (1)对数轴上的点P进行如下操作：先把点 P表示的数乘以-，再把所得数对应的点向右平移1个单3位，得到点P的对应点P'.点A, B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A'B',其中点A, B的对应点分别为 A',B'.如图1,若点A表示的数是-3，则点A'表示的数是;若点B'表示的数是2，则点B表示的数是;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到

10、的对应点 E'与点E重合，则点E表示的数是 ;B'di234AII-4-3-2-1(2)如图2,在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的第个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m a。， n>0)，得到正方 形A'B'C'D'及其内部的点，其中点 A，B的对应点分别为 A'，B'.已 知正方形ABCD内部的一点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，求点F的坐标.五、解答题(本题共 22分，第23题7分，第24题7分，第25题8 分)A(-

11、3,0)C'A'(-1,2)B'(2,2)B(3,0) x2323. 已知二次函数y =(t - 1)x2(t 2)x 在x =0与x =2的函数值相等.(1 )求二次函数的解析式；(2)若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象都经过点A ( 3 , m )，求m与k的值;(3)设二次函数的图象与 x轴交于点B, C (点B在点C的左侧),将二次函数的图象 B, C间的部分(含 点B和点C)向左平移n (n 0 )个单位后得到的图象记为 G,同时将(2)中得到的直线y = kx b向上 平移n个单位请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围.2

12、4. 在 ABC中，BA =BC , ZBAC =:； , M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段 PA绕点P顺 时针旋转2得到线段PQ .(1 )若。=60 °且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线 BM于点D，请补全图形，并写出.CDB的度数；(2)在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想/CDB的大小(用含:的代数式表示)，并加以证明；B, M重合)时，能使得线段 CQ(3) 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点 的延长线与射线 BM交于点D，且PQ =QD，请直接写出:-的范围.25. 在平面直角坐标系

13、xOy中，对于任意两点 R（Xi,yJ与卩2化，丫2）的"非常距离”，给出如下定义: 若|x _X2圍y -y2 |，则点P （xi, yi）与点P2（X2, y2）的非常距离为|x -X21 ； 若IX X2 IT y -y2 |，则点P （xi, y）与点巳区，y?）的非常距离为I y y? I ；例如：点Pi（ 1，2），点P2（ 3, 5），因为门3|T25|，所以点R与点P?的“非常距 离”为|2 一5| = 3，也就是图1中线段RQ与线段R2Q长度的较大值（点 Q为垂直于y 轴的直线RQ与垂直于x轴的直线R2Q的交点）.（1）已知点A （1 , 0）, B为y轴上的一个动

14、点，2 若点A与点B的“非常距离”为 2,写出一个满足条件的点B的坐标； 直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.y 152R12二 曹111111Q013x图13（2）已知C是直线y=3x 3上的一个动点，4 如图2,点D的坐标是（0, 1）,求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； 如图3, E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点 C与点E的“非常距离”的最小 值及相应点E和点C的坐标.2012年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程 正确写出即可。2 若

15、考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。3 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 、选择题题号12345678答案DCBDBCAD、填空题11 125.53, 46n - 3题号910答案m( n 3) 2a -4b-1三、解答题13.解:1(二-3)0心稣45寸=13 2-22 -82= 2 2-7 .14.解:4x -3 x ,x 4 ：2x -1.解不等式，得x1 .解不等式，得x5 .不等式组的解集为x 5 .15. 解:5a -2b(a -2b)5a 2b(a 2b)(a -2b)(a 2b)=5a -2b a 2b2亠0,2 3原式=鴛2a4a

16、16. 证明：T AB/ CD,.BAC ECD .在厶ABC和厶CED中,AB =CE,/BAC =/ECD,AC =CD, ABC CED.BC =ED .417. 解：(1厂点A(m,2)在函数y (x 0)的图象上，x2m =4 .解得m = 2 .点A的坐标为(2,2) .分点A(2,2)在一次函数y=kx_k的图象上, 2k -k =2 .解得k = 2 . 一次函数的解析式为y=2x-2.(2)点P的坐标为(3,0)或(-1,0).由题意，得1 0005502x -4 x18 .解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克.解得x=22.经检验，x =22是原方程的解，且符合题意.

17、答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量是22毫克.四、解答题DE19 .解：过点D作DF丄AC于点F .在 RtADEF中, DFE =90 , . DEF =45 , DF 二 EF =1 .在 RtACFD 中，.CFD =90 , . DCF =30 , CD =2DF =2 . FC =再.在 RtAABE 中，.BAE =90 , . AEB = . CED =45 , BE =2 2 ,AB =AE =2 .AC =AE EF FC =33 .边形 ABCD = S. ACDS. ABC1 1AC DF AC AB2 2J (3.3) 1 - (33) 22 23、3.2 2四边形ABC

18、D的面积是93 3 .2 220. （1）证明：连结OC. EC与P O相切，C为切点,.ECO =90 .OB=OC,.OCB =/OBC ./ OD _BC ,DB=DC. 直线OE是线段BC的垂直平分线.EB=EC. ,/ECB ,/EBC . ZECO ZEBO .EBO =90 ./ AB是J O的直径， BE与J O相切.(2)解：过点 D作DM丄AB于点M，贝U DM / FB.在 RtA ODB 中，2/ ZODB =90 , OB =9, sin /ABC 二一,3 OD =OB sin ./ABC =6 .由勾股定理得 BD = .OB2 -OD2 =3 5 .在RtA D

19、MB中，同理得DM =BD sin. ABC =2 5 .BM BD2 - DM 2 =5 ./ O是AB的中点， AB =18 . AM =AB - BM =13 .DM / FB, AMDABF. MD 二 AM BF AB .“ MD AB 36苗 BF =AM 1321. 解：（1）补全统计图如右图，所补数据为 228;（2）预计2020年运营总里程将达到3 3 63 3 . 6 % = 1 （千米）；（3）2010到2015年新增运营里程为10 0 03 6.7 % =千米），其中2010到2011年新增运营里程为372 -336 =36 （千米），北京市2007至2011年轨道交通

20、运营总里程统计图2011到2015年平均每年新增运营里程为 367 36 =82.75 (千米).422.解：(1)点A表示的数是0 ;点B表示的数是3 ;点E表示的数是点 A(-3,0) , B(3,0)的对应点分别为 A (-1,2) , B(2,2),f1ia =2，3a m =2.解得2I1m .2由题意可得 n =2 . 设点F的坐标为(x, y).11解得$=1,W=4.-x x,.22y +2 =y.2点F的坐标为(1,4).五、解答题23323. 解：(1 )由题意得 (t 1) 222(t2)2 2解得t =3 .2二次函数的解析式为 y = 一1%2 * X * 9 .2

21、21 23(2 )点A(-3,m)在二次函数yrJxx，3的图象上，2 21 23 m(-3)2 (-3)6 .2 2点A的坐标为(-3, -6).点A在一次函数y=kx，6的图象上，k 二 4 .(3) 由题意，可得点 B, C的坐标分别为(-1,0) , (3,0).平移后，点B, C的对应点分别为 B(-1 -n,0) , C(3 - n,0).将直线y =4x 6平移后得到直线4x 6 n .如图1,当直线y =4x 6 n经过点B(-1 -n,0)时，图象G (点B 除外)在该直线右侧，可得n ；3如图2,当直线y =4x 6 n经过点C(3 -n,0)时，图象G (点C 除外)在该

22、直线左侧，可得n =6由图象可知，符合题意的n的取值范围是2< n < 6.324. 解：(1 )补全图形，见图1;ZCDB =30 ;(2)猜想：.CDB =90 一：-.证明：如图2，连结AD, PC.BA=BC, M 是 AC 的中点， BM _ AC .点D, P在直线BM 上,PA=PC, DA=DC.又TDP为公共边， ADPA CDP . . DAP = DCP , . ADP 二.CDP . 又 VPA=PQ, PQ=PC.匚 DCP ZPQC . . DAP = PQC . . PQC . DQP =180 , . DAP . DQP =180 .DC图1/IMC 图2在四边形 APQD中，.ADQ . APQ=180 . NAPQ =2g ,.ADQ =180 -2. ZCDB J/ADQ =90.2(3) :的范围是 45：: : <6025解：（1）点B的坐标是（0,2） 或 （0,-2）;（写出一个答案即可）点A与点B的“非常距离”的最小值是（2 过点C作x轴的垂线，过点 D作y轴的垂线，两条垂线交于点 M，连结CD.如图1，当点C在点D的左上方且使 CMD是等腰直角三角形时，点 C与点D的“非常 距离”最小理由