2010固体物理复习习题课内容

1、第一章晶体结构习题例1晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位 置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵+基元=实际晶体结构例2、.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的 特点。解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：3e由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示:(b)从上图（玄）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结 晶学原胞

2、中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。例3、倒格子的实际意义是什么？ 一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关 系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为 a 1、a2、a3，根据倒格子基矢的定义:2r a 2工 a 3bi =Q2r a 3 汉 a 1b 2 =>Q2兀az a2b3=J式中门是晶格原胞的体积，即门二ai a2 a3，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一

3、对应的关系。例4、各类晶体的配位数(最近邻原子数)是多少?例5在立方晶体中画出(101),(021),(122),(21 0)晶面。(101)(021)解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示:晶体结构配位数晶体结构配位数面心立方六角密积12氯化钠型结构6体心立方8氯化铯型结构8简立方6金刚石型结构4(1)第二章习题0例题1.若NaCI晶体的马德隆常数 M=1.75,晶格常数a=5.64A ,幕指数n=9。晶体拉伸而 达到稳定极限时，求：离子间距增加多少？（刀摩干间的相互作用(«)互作用第能和原子间距的关系；)互作用力和原子间距的关系解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原

4、子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，f(r) ：0，而相互作用势能 u(r)逐渐减小；当2个原子慢慢接近到平衡距离ro时，此时，引力等于斥力，总的作用为零，f(r) =0，而相互作用势能u(r)达到最小值；当 2个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开始大于引力，总的作用为斥力，f(r)0，而相互作用势能u(r)也开始急剧增大。9设该NaCI晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为U(r)一曲£2( 4兀8 or r上式中的r指NaCI晶体中相邻两离子间的距离。1又设NaCI晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为r0，则有r0a 。2由平衡条件

5、可知dU(r)drr =£oN Mq222 | 4二；or2nB(2)由（2）式可得：B二卫Jr；4兀名o n当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有d2U(r)dr2N 2Mq4 二；0 r3亠 n(n +1)Brn2-0(3)也Jron°代入（3）式可得4 二；o n119十1 护 5.64I汉=3.45I 2丿20因而离子间距增加了Ar = A -r0 =3.45 -2.82 =0.63 A例题2、对于由N个惰性气体原子组成的一维单原子链，设平均每2个原子势为:二 12 ：-1' 6 u(x)* 七。求：(1)原子间的平均距离X。；(2

6、)每个原子的平均晶格能;(3 )压缩系数k。解：(1)在平衡时，有下式成立du(x)dx x刍一12二12=U0 |13ILx02 6二67X。(1)由上式可得Xo = ；丁那么有(2)(2)设该N个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为U (x),. N /、仁U(x)=uo()-2()-2 jx1 jx1 j设X为2个原子间的最短距离，则有x1i = ajX，那么(2)式可化为(3)Nu o O' 12 O' 6 U(X) 0 A( )-B()2 XX1 1 1其中(3)式中A 厉=2 (1 飞 p )2.00048, j aj23111B = 26 = 2 2

7、 (166) ： 4.07809。j aj23那么每个原子的平均晶格能为UjXo = 一也 2.00048(二)12 -4.07809(二)6 : u0N2 _二二(3)根据压缩系数的定义可知,1 dVk =V dPd2UdVNx(吗N2dX dX(4)将(3)式代入(4)式得:1#k =彳NXNu0 2.00048 12 13；124.07809 6 7二6CJ70u0X14X8第三章习题例1、在三维晶体中，利用德拜模型：(1) 证明高温时，0*：m范围内声子总数量与 T成正比；(2) 证明甚低温下，0 -m范围内声子总数量与 T3成正比解：德拜模型是把晶体视为一连续介质，晶格振动的所有格波

8、都是弹性波，在三维晶体中 存在三支弹性波，即一支纵波，两支横波，它们的色散关系：(q)二Viqi =1，纵向弹性波，i =2,3横向弹性波，由色散关系知道：d i(q)-vidq晶格振动理论表明，波矢空间一个q点，总有一个与之对应，而给定一组(，q)就代表原子的一种振动形式，称之为振动模式，由于边界条件，波矢并不任意，根据周期性边界条件，允许的q值在波矢空间形成均匀分布的点子。 在三维情况下，其分布密度，或模式密度 为V(2兀3三维情况下，在(q (q) d (q)两个等频面之间的振动模式数为：DC )d =dVq11式中dVq为两等频面之间在波矢 q空间所占的体积，由于波的传播速度与波的传播

9、方向q无 关，在q空间等频面是球面，选用球坐标，则dvq =0 sin 询®q2dq = 4兀q 2dq故 DiC ).4二q2(2兀J1d i(q)V 4-q2 V - (2兀 f Vi2兀2 V2dq因此在德拜模型中，三维晶体的振动模式密度3D()八imDi ()'2(丄ViVt1112令+ J丄令)，则 vp “(1)D( J 二兴-32兀Vp-格波的声子数为:声子服从玻尔兹曼分布，频率为/ 1 M ） 如 _1故声子总数目为：= n( JD( Jd，(1)、(2)代入上式:3VVP3V2 - Vp一 DkBT2 kBT22十kBT丿2 kBT2 e kBT -1kBT

10、3VkBT3一 DkBT 2.kBTkBTd令x二kBTD称为德拜温度，有，D U'D kpT 一 T三维晶体的声子总数目芈4dx0 ex -1（1 ）高温时,N二込N2二 23vp心DD > 0, e ：T早xdx_泌工D o2二 2 3vp2T21 x，故（3）式变为3VkBD t I4二 23vp 1所以高温时，晶体声子数与T成正比。（2）甚低温时,OrD ，于是由（3）式（将被积函数按二项式定理展成级数）To'”30ex -12vQOfx2Xdx】kBTOTT2fi,302 兀2-nxp n=12/3 3Vp启X T3n3#因此在甚低温时，晶体中声子数与T3成正比

11、。第五章习题例、金属自由电子论和布洛赫单电子能带论的比较性质索末菲自由电子论布洛赫单电子能带论单电子波函数波矢k的电子的波函数带指标n，波矢k的布洛赫波"3)=加屮 nk(x)二 eikrUnk(r),U nk (r+R n )=u nk (r)量子数及其取值量子数为k取值于整个k量子数n-能带指标范围空间，周期边条件的许可 值K-波矢，取分立正整数K独立的取值，限在倒格子空间中第一布里渊区内。取周期边条件的许可值单电子能量A 2 k 2E(k)没有简单的形式，但有普遍E(k)2m的规律，在倒格子空间中的周期性和偶函数(反演对称性).En(k)是k的多值函数，形成能带。E(k)=E(

12、k + Kh) E (k ) = E (- k )电子平均速度你v -m准经典近似1 dE (k ) v")二 1 En(k)卉0k电子质量m包含了晶格内部周期场的作用，是k的函数，一般情况是一个张量。-111 Q2E (k)Im*®齐 ck.dk例1、一维周期场中电子的波函数'- k(x)应当满足布洛赫定理。若晶格常数为a，电子的波函数为(1) k(x)二 Sin x ；a3兀(2) '- k(x)二 i cos x ；aoO(3) '-： k(x) = v f(x-ia)(其中f为某个确定的函数)。i =joO试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫

13、函数可写成k(x) = eikxuk(x)，其中，uk(x a) = uk (x)或写成 ' (x a) =e-(x)x + ax(1) - k(x a)二 sinsin- 二 k(x)aa故eika 八1k =-a兀ix即k(x)=ea |e a si lx =eauk(x)a显然有uk(x a) = uk(x)丄,nk故k(x)=sin x的波矢是一。aa(2)(x a)二 i cos 二二-i cos3 二=- - k (x)aa所以eika = -1k 二ai 氏-ix3x Ik?x即k(x)=ea |e a ico3-兀 j = ea uk(x)a显然有uk(x - a) =

14、uk(x)3兀兀故k (x) = i cos x 的波矢一。aaQOOOQO(3)'- k(x a) =、 f(x aia)=， f x -(i 1)a =、 f (x 一 ma)k (x)i =- ： ：i =- ： ：m =：故eika =1k = 0-k(x) =ei0a、f(x-ia) = ei0xUk (x)_ioC故 t k(x)二f (x -ia)的波矢为 0。i =joO要说明的是，上述所确定的波矢 k并不是唯一的，这些k值加上任一倒格矢都是所需的 解。因为k空间中相差任一倒格矢的两个k值所描述的状态是一样的。21例2、已知电子在周期场中的势能为U(x)U(x) =0,

15、当(b2 -(x -na)2，当 na - n - 1)a b 込 x 込 na - b时其中：a =4b , - 为常数。(1) 画出势能曲线，并求出其平均值；(2) 用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。 解：(1)该周期场的势能曲线如下所示：-7bf11 2 2 m灼b2-5b-3b3b5b x其势能平均值为:U(x)dxU -feedxbU(x)dxJ3b bdxJ3b4b= -m2b26(2)根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为AE2U1：E2 二 2U2其中U1和U 2表示周期场U (x)的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。于是有U1如汇24&qu

16、ot;U2故此晶体的第1及第2个禁带宽度为* =258m 2b2TL 3 E2 =2Um - 2b2例3、已知一维晶体的电子能带可写成：护71E(k)=2 (coska cos2ka)。ma 88式中a是晶格常数。试求(1) 能带的宽度；(2) 电子在波矢k的状态时的速度；(3) 能带底部和顶部电子的有效质量。解：(1)在能带底k = 0处，电子能量为E(0) =03T在能带顶k =处，电子能量为a故能带宽度为=EnE()二 E()ma-E(0)(2)电子在波矢k的状态时的速度为1 dEdk(3)电子的有效质量为mi/Wdkma氏1(si nkasin 2ka)ma41coska cos2ka

17、2于是有在能带底部电子的有效质量为m； =2m* 2在能带顶部电子的有效质量为 m2 = -m3例4、一矩形晶格，原胞边长 a=2 10 J0m , b=4 10 J°m。(1 )画出倒格子图；(2 )画出第一布里渊区和第二布里渊区;(3) 画出自由电子的费米面。解：由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为aj =ai，a2二bj，由此可求得其倒格子基矢2汀为b1i = 3.14 1°10 i，b2 =1.57 1°10 j，由此可做出此矩形晶格的倒格子图如下图a所示：10 -11.57 X 10 m44l4<卜443i b 2b 1*1bOL*d*hjP*1s*1

18、4卩*1>4矩形晶格的倒格子(2)该矩形晶格的第一布里渊区和第二布里渊区如下图所示:第一布里渊区矩形晶格的第一和第二布里渊区(3)设该二维矩形晶格晶体含有 N个电子，由于费米面是k空间占有电子与不占有电 子区域的分界面，所以有下式成立S222 - kF = N(2二)由此得kF = 2二(£)1/2 二. 2二 n1/2N上式中n为该二维晶格晶体的电子密度。S于是可求得该二维晶格晶体的费米面的半径为kF = .2 3.14 ()1/2 = 0.89 1010mJ8 10由此可做出自由电子的费米面如下图中圆面所示：二维矩形晶格的费米面圆例5、已知某简立方晶体的晶格常数为 a,其价

19、电子能带可表示成E(k)二 Acos( kxa)cos(kya)cos( kza) B卉2a) 如果已测得该晶体价带顶的电子有效质量 m2，试求能带表达式2a中的参数A。b) 试求该晶体的价电子能带宽度。c) 试求该晶体在简约布里渊区中心点处的电子平均速度。d) 如果在x方向上施加外场:,试求简约布里渊区中心点处电子的平均加 速度。解.1、由题给出的价电子能带色散关系可知价带顶处在kx二ky二匕=0，处,Aa价带顶处的电子有效质量可表示成:1 ：2E(k)kz 二02所以价带顶电子的有效质量为一标量 mAa2而题中给出22a225由此可得A = 2。2、价电子的能带宽度 E =2A=43、简约布里渊区中心点(kx = ky